Interacción con el campo electromagnético

Se desarrollará ahora la energía cinética de la partícula, tomando en cuenta la presencia de un potencial vectorial A. Como es bien sabido, hay que seleccionar A de tal manera que

$$\nabla \times {\bf A} = {\bf B}$$ (I-3-1)

Donde B es el campo magnético. Además, la función hamiltoniana toma la forma

$$H = \frac{1}{2m}({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A})^2$$ (I-3-2)

Estamos considerando el caso en que el campo de fuerzas producido por la carga magnética es coulombiano, es decir que

$${\bf B} = \frac{q}{r^3} {\bf r} = \frac{q}{r^2}{\hat{\bf r}}$$ (I-3-3)

Lo que significa que al integrar el campo sobre una superficie esférica se tendrá:

$$\int{\bf B}\cdot\hat{\bf r}\ d\Omega = \frac{4}{3}\pi q$$ (I-3-4)

Como el segundo miembro es constante, la expresión (I-3-4) indica que la disminución del campo con la distancia es compensada por el crecimiento del área. Nuestro problema consiste ahora en encontrar la forma que debe tener A para dar lugar a un campo magnético como el que se ha mencionado. Por el momento vamos a verificar que la función que nos interesa puede tomarse como

$${\bf A} = g\left(\frac{yz}{r^3\rho}, -\frac{xz}{r^3\rho},0\right)$$ (I-3-5)

donde $g$ es la carga magnética, $\rho$ es la posición de la carga de prueba, $r$ es el radio cilíndrico, $x$, $y$ y $z$ son las componentes de $\rho$ en coordenadas cartesianas.

Figure 1.2: coordenadas $r$ y $\rho$

Nótese que los coeficientes de $\rho$ dentro del paréntesis son adimensionales, teniéndose por consiguiente un potencial de la forma $1/r$ que es también el caso del potencial electrostático, y su gradiente es de la forma $-1/r$. Debe observarse también que cuando $r = 0$ (sobre el eje $Z$) el potencial ${\bf A}_0$ es infinito. Además, cuando $X$ o $Y$ valen cero, se anula dicha función lo que significa que tiene una dependencia angular, dependencia que por el momento no nos interesa. Una vez que se tiene ${\bf A}_0$ dada por (I-3-5) encontramos usando (I-3-1) que

$$\begin{eqnarray*} {\em B}_x & = & (\nabla \times {\bf A})_x = \frac{\partial {\bf A}_y}{\partial z} - \frac{\partial {\bf A}_z}{\partial y} \end{eqnarray*}$$

Como ${\bf A}_z=0$ al desarrollar se tiene

$$\begin{eqnarray*} {\bf B}_x & = & -\frac{gx}{\rho^2} \end{eqnarray*}$$

Para ${\bf B}_y$ y ${\bf B}_z$ las expresiones son semejantes aunque la derivación para la componente $z$ es algo más complicada, así

$${\bf B} = \left(\frac{gx}{\rho^2},\frac{-gy}{\rho^2}, \frac{-gz}{\rho^2}\right) = -\frac{g}{\rho^2} {\bf r}$$ (I-3-6)

Ese es precisamente el resultado que se buscaba para B. Entonces da lugar al campo deseado. Es bien sabido que el rotacional de un gradiente es nulo por lo que nuestro potencial vectorial no está completamente determinado sino que puede sumársele el gradiente de una función $\Phi$ cualquiera, es decir:

$${\bf A} = {\bf A}_0 + \nabla\Phi$$ (I-3-7)

Dicha operación se conoce como selección de norma, y se sabe que el potencial vectorial es ambiguo ante una operación de este tipo, de la misma manera que el potencial escalar es ambiguo ante el cero de energía potencial; por eso no se afecta un problema cuando se añade a $V$ una constante. En el caso del campo eléctrico, la energía de una partícula con carga e en su posición actual viene expresada como el trabajo necesario para llevarla ahí desde una posición de referencia fijada de antemano; normalmente se fija el cero de energía en el infinito. Es claro que el cambiar el punto de referencia, el nuevo valor diferirá del antiguo solo por una constante; esa es la razón por la que únicamente interesa conocer diferencias de energía entre dos posiciones. Lo mismo pasa cuando se tiene un elemento de corriente, solo que por ser este un vector, debe asignarse a la posición de referencia un valor y una posición determinados; el momento que tiene un elemento de corriente en cualquier punto, en presencia de campos eléctricos y magnéticos es la diferencia de momentos entre las dos posiciones [2]. En la literatura corrientemente se trabaja con dos normas y aunque eso no afecta nuestro problema, es importante señalar que en mecánica cuántica, por ejemplo, hay aspectos que dependen de la elección de norma. La norma que usamos aquí difiere por ${\rm arctan}(y/x)$ de la usada tradicionalmente por la literatura y que en coordenadas polares se escribe como [3]

$${\bf A}_r = 0, \qquad {\bf A}_{\theta} = 0, \qquad {\bf A}_{\phi} = \frac{g}{r}\tan\frac{\theta}{2}$$

Esta tiene singularidades en $\theta=\pi$ en la dirección negativa del eje $Z$. La otra norma tiene singularidades sólo en la parte negativa de dicho eje, pero el inconveniente que presenta en nuestros desarrollos es el hecho de que la separabilidad sí depende de la norma. El problema que nos ocupa, como hemos dicho, consiste en dos centros coulombianos separados por una distancia $2d$ y en ese caso las dos partes del potencial vectorial son:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A}_1 & = & g_1\left(\frac{y(z+d)}{r^2r_1}, \frac{-x(z... ...ft(\frac{y(z-d)}{r^2r_2}, \frac{-x(z-d)}{r^2r_2},0\right) \\ \end{eqnarray*}$$

Entonces el potencial en cualquier punto es la suma de ${\bf A}_1$ y ${\bf A}_2$. Al desarrollar la suma se tiene:

$${\bf A} = \frac{z(g_1r_2+g_2r_1)+d(g_1r_2-g_2r_1)}{r^2r_1r_2} \left(y,-x,0\right)$$ (I-3-8)

El hamiltoniano al desarrollarse queda así:

$$H = \frac{1}{2m}\left({\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right)^2 = \frac{{\bf p}^2}{2m}-\frac{e}{mc}{\bf p}\cdot{\bf A} + \frac{e^2}{2mc^2}{{\bf A}^2}$$ (I-3-9)

Sin tomar en cuenta el potencial electrostático podemos encontrar ahora el hamiltoniano en coordenadas elipsoidales. De acuerdo con (I-3-8). ${\bf A}$ toma la forma:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A} & = & \frac{(g_1+g_2)(\xi^2-1)\eta+(g_1-g_2)(1-\eta^2)\xi}{ d^2(\xi^2-1)(1-\eta^2)(\xi^2-\eta^2)}\left(y,-x,0\right) \end{eqnarray*}$$

El primer término en (I-3-9) ya se calculó en (I-2-4), el segundo se encuentra fácilmente quedando expresado en coordenadas elipsoidales como:

$$\begin{eqnarray*} \frac{e}{c}{\bf p}\cdot{\bf A} & = & -\frac{p_{\phi}}{d^2}... ..._1-g_2)(1-\eta^2)\xi}{(\xi^2-1)(1-\eta^2)(\xi^2-\eta^2)}\right] \end{eqnarray*}$$

Para el tercer término se tiene:

$$\begin{eqnarray*} {\bf A}^2 & = & \left[\frac{(g_1+g_2)(\xi^2-1)\eta+ (g_1-g_2)(1-\eta^2)\xi}{(\xi^2-1)(1-\eta^2)(\xi^2-\eta^2)}\right]^2 \end{eqnarray*}$$