Potencial electrostático

Hasta ahora no hemos tomado en cuenta el efecto de las cargas eléctricas (si es que hay) de los centros. A estas corresponde un potencial de la forma.

$$V = \frac{z_1e}{r_1}+\frac{z_2e}{r_2} = \frac{1}{2md^2(\... ...} \left\{ \: 2mde\xi(z_1+z_2)+2mde\eta(z_1-z_2) \: \right\}$$ (I-4-1)

$z_1$ y $z_2$ son las cargas eléctricas de los dos centros. Cuando existe potencial eléctrico el hamiltoniano toma la forma:

$$H = \frac{1}{2m}\left[{\bf p}-\frac{e}{c}{\bf A}\right]^2+V$$ (I-4-2)

ya conocemos cada uno de los términos de esa expresión. Tomamos la convención:

$$2md^2H = h$$

$$\frac{e}{c}(g_1+g_2) = g_+$$ (I-4-3)

$$\frac{e}{c}(g_1-g_2) = g_-$$

$$2e^2\frac{g_1g_2}{c^2} = \frac{g_+^2-g_-^2}{2} = \kappa$$

Así logramos simplificar un poco nuestra álgebra. Para simplificar también los términos de origen electrostático vamos a definir:

$$2mde(z_1+z_2) = \varepsilon_+$$ (I-4-4)

$$2mde(z_1-z_2) = \varepsilon_-$$

Usando ahora (I-4-3) y (I-4-4), la hamiltoniana quedará como sigue:

$$h = \frac{1}{\xi^2-\eta^2}\left\{(\xi^2-1)p_{\xi}^2+ (1-... ...a^2}+\varepsilon_+\xi+ \varepsilon_-\eta+\kappa\right\}+V_r$$ (I-4-5)

Donde $V_r$ representa a la expresión

$$V_r = -2mde\frac{(g_1^2+g_2^2)(\xi^2+\eta^2)-2(g_1-g_2)\xi... ... = -2mde\left(\frac{g_1^2}{r_1^2}+\frac{g_2^2}{r_2^2}\right)$$ (I-4-6)

La expresión (I-4-5) es la hamiltoniana que usamos en nuestras ecuaciones de movimiento, siendo dichas ecuaciones de la forma

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}$$ (I-4-7)

$$\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$$ (I-4-8)

donde las $p_i$ y las $q_i$ corresponden a las coordenadas y momentos generalizados. En nuestro caso las ecuaciones (I-4-8) quedaran así

$$\dot\xi = \frac{2p_{\xi}(\xi^2-1)}{\xi^2-\eta^2}$$ (I-4-9)

$$\dot\eta = \frac{2p_{\eta}(1-\eta^2)}{\xi^2-\eta^2}$$ (I-4-10)

$$\dot\phi = \frac{2}{\xi^2-\eta^2}\left\{ \frac{p_{\phi}+g_-\xi}{\xi^2-1}+ \frac{p_{\phi}+g_+\eta}{1-\eta^2}\right\}$$ (I-4-11)

$$\dot{p_\xi} = -\frac{1}{\xi^2-\eta^2}\left\{2\xi\left[ p_{\xi}^2-h-\frac{(p_{\p... ...xi^2-1)^2}\right] +\frac{2g_-(p_{\phi}+g_-\xi)}{\xi^2-1} +\varepsilon_+\right\}$$ (I-4-12)

$$\dot{p_\eta} = -\frac{1}{\xi^2-\eta^2}\left\{2\eta\left[ h+p_{\eta}^2-\frac{(p_{... ...eta^2)^2}\right] -\frac{2g_+(p_{\phi}+g_+\eta)}{\xi^2-1} -\varepsilon_-\right\}$$ (I-4-13)

$$\dot{p_\phi} = 0$$ (I-4-14)

Las expresiones $\frac{\partial H}{\partial x_i}$ y $\frac{\partial h} {\partial x_i}$ (donde $x_i$ representa coordenadas o momentos) difieren solamente por el factor $2md^2$, lo que significa que la escala de tiempos va a quedar multiplicada por dicha cantidad, por lo tanto debemos considerar ese factor si queremos ajustar dicha escala de tiempos. La expesión (I-4-5) no contiene al tiempo explícitamente, por lo que $h$ va a ser una constante de movimiento. Además debido a que la coordenada $\phi$ no aparece explícitamente en la expresión para la hamiltoniana, su momento conjugado $p_{\phi}$ va a ser también constante como se ve en la ecuación (I-4-14). Que tanto $h$ como $p_{\phi}$ sean constantes facilita la separación de variables en el caso de omitir el término $V_r$ (cuando dicho término aparece no se puede separar) en la expresión (I-4-5). En efecto, al multiplicar ambos miembros de (I-4-5) por el factor $(\xi^2-\eta^2)$ y omitiendo $V_r$ se obtiene

$$\begin{eqnarray*} (\xi^2-\eta^2)h &=& \left\{(\xi^2-1)p_{\xi}^2+(1-\eta^2)p_{\... ...repsilon_+\xi + \varepsilon_-\eta+\frac{g_+^2-g_-^2}{2}\right\} \end{eqnarray*}$$

rearreglando términos se tiene

$$\xi^2h-(\xi^2-1)p_{\xi}^2-\frac{(p_{\phi}+g_-\xi)^2}{\xi^2-1}... ...frac{(p_{\phi}+g_+\eta)^2}{1-\eta^2} -\varepsilon_-\eta+g_+^2$$

El primer miembro es función sólo de $\xi$ mientras que el segundo sólo depende de $\eta$; la igualdad sólo podrá cumplirse si ambos miembros son iguales a una constante que llamaremos $\alpha$; en esa forma hemos logrado obtener dos expresiones separadas:

$$h\xi^2-(\xi^2-1)p_{\xi}^2-\frac{(p_{\phi}+g_-\xi)^2}{\xi^2-1} -\varepsilon_+\xi+g_-^2 = \alpha$$ (I-4-15)

$$h\eta^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\frac{(p_{\phi}+g_+\eta)^2}{1-\eta^2} +\varepsilon_-\eta+g_+^2 = \alpha$$ (I-4-16)

Una manera alternativa de presentar a (I-4-15) y (I-4-16) es usando el parámetro $\kappa$ en vez de la cantidad $\frac{1}{2} (g_+^2-g_-^2)$. Así vamos a usarlas también muchas veces. Las nuevas expresiones van a diferir únicamente en eso y serán.

$$h\xi^2-(\xi^2-1)p_{\xi}^2-\frac{(p_{\phi}+g_-\xi)^2}{\xi^2-1} -\varepsilon_+\xi = \alpha$$ (I-4-17)

$$h\eta^2+(1-\eta^2)p_{\eta}^2+\frac{(p_{\phi}+g_+\eta)^2}{1-\eta^2} +\varepsilon_-\eta +\kappa = \alpha$$ (I-4-18)

Despejando $p_{\xi}^2$ de (I-4-17) se tiene:

$$p_{\xi}^2 = \frac{1}{(\xi^2-1)^2}\left\{h\xi^4-\varepsilon... ...p_{\phi}g_-)\xi \right. \left. -(\alpha-p_{\phi}^2)\right\}$$ (I-4-19)

Así mismo, despejando $p_{\eta}^2$ en (I-4-18) obtendremos:

$$p_{\eta}^2 = \frac{1}{(1-\eta^2)^2}\left\{h\eta^4+\varepsi... ...ilon_-+2p_{\phi}g_+)\eta + (\alpha-\kappa-p_{\phi}^2)\right\}$$ (I-4-20)

Estas dos últimas expresiones serán discutidas con más detalle en la siguiente sección. Las ecuaciones (I-4-9) a (I-4-14) pueden tomarse como las componentes de un vector en seis dimensiones. Dicho vector correspondería a un gradiente de $h$ en el espacio fase; este aspecto lo discutiremos más adelante en la sección correspondiente a la parte numérica del problema.