Puntos de retorno

Otra cosa que debemos discutir es la determinación de los puntos clásicos de retorno. Esto lo podemos hacer utilizando las relaciones (I-4-14). Vemos que hay entonces dos potenciales efectivos, uno para la variable $\xi$ y otro para la variable $\eta$, y ambos tienen la forma de polinomio de cuarto grado (en realidad es la raíz de un polinomio de ese grado pero es más conveniente quitar la raíz cuadrada y el denominador, porque estos no cambian las raíces de la función).

Figure 1.3: puntos de retorno

Un potencial de este tipo no es verdadero, sino que pasa algo semejante a lo que ocurre cuando se usan coordenadas polares para describir un potencial central de la forma $\:1/r$. Con el cambio a dichas coordenadas aparece además el potencial atractivo, una parte repulsiva de la forma $1/r^2 \:$ y a la combinación de esos términos se le conoce como ``potencial efectivo''. El término adicional es conocido como ``potencial virtual''; la partícula se mueve bajo la influencia del potencial efectivo y el radio tendrá un valor mínimo y otro máximo, la órbita como es sabido, es una elipse con uno de sus focos en el centro de atracción (en general la curva es una cónica, dependiendo de la energía de la partícula). El radio toma valores entre el máximo y el mínimo. Se tiene lo que se llama una ``barrera centrífuga'' que consiste en que la partícula no puede acercarse al centro si tiene un momento angular diferente de cero. Algo de esa naturaleza ocurre al separar el movimiento en coordenadas elipsoidales. $\xi$ y $\eta$ tiene potenciales efectivos que corresponden a curvas de cuarto grado:

$$R(\xi) = h\xi^4-\varepsilon_+\xi^3+(g_-^2-h+\alpha)\xi^2 -(\varepsilon_++2p_{\phi}g_-)\xi-(\alpha-p_{\phi}^2)$$ (I-5-1)

$$R(\eta) = h\eta^4+\varepsilon_-\eta^3-(g_+^2+h+\alpha-\kappa)\eta^2- (\varepsilon_-+2p_{\phi}g_+)\eta+ (\alpha-p_{\phi}^2-\kappa)$$

puede pensarse que se tiene graficada la energía potencial en función de $\xi$ y $\eta$ en la Figura 1.4.

Figure 1.4: curva de potencial

En la región que hemos sombreado, la energía total es mayor que la energía potencial, eso quiere decir que la parte restante puede ser interpretada como la energía cinética. La dirección del movimiento sólo puede cambiar en los puntos donde la energía cinética en esta coordenada es nula. Esto ocurre en los puntos donde la curva intersecta al eje horizontal, la partícula estará confinada a moverse entre dos elipses en el caso de $\xi$ y entre dos hipérbolas para el caso de $\eta$. En tres dimensiones el movimiento será posible en la región comprendida en la intersección de dos elipsoides y dos hiperboloides de revolución. En la Figura 1.5 mostramos una sección transversal del caso más general.

Figure 1.5: regiones prohibidas

Si nosotros consideramos el potencial producido por las cargas eléctricas y magnéticas de nuestros centros, se tendrá una superficie en el espacio de $(x,y,z)$. Si se toman las curvas de nivel de dicha función entonces tendremos una manera de calcular la región permitida y la región prohibida del movimiento, más adelante veremos la manera de hacerlo. El potencial efectivo va a ser:

$$\begin{eqnarray*} V &=& \frac {z_1e}{r_1}+\frac {z_2e}{r_2}+\frac {g_1^2}{r_1^... ..._2(\xi^2-1)}+ \frac {(p_\phi + g_+\eta)^2}{r_1r_2(1-\eta^2)} \end{eqnarray*}$$

Podemos considerar muchas posibilidades, por ejemplo, el caso:

$$z_1 = a \qquad g_1 = b \qquad z_2 = 0 \qquad g_2 = 0$$

que es el problema de un solo centro, aún mas, podemos reducirlo al problema de Kepler haciendo $g_1 = 0$ lo que nos daría secciones cónicas con cierta excentricidad, como es bien sabido. Veamos lo que ocurrirá en general para dos centros, sin tomar en cuenta la carga magnética. Si la energía es muy pequeña en el sentido de ser muy negativa, cuando el movimiento ocurre cerca de un centro, podemos esperar que la trayectoria de la partícula sea aproximadamente una elipse alrededor de dicho centro y fuera de toda influencia del otro. Debido a que dicha influencia no es nula habrá precesión. En Astronomía este fenómeno es bien conocido, por ejemplo el movimiento de un satélite alrededor de un planeta (la Luna alrededor de la Tierra) dada la influencia del Sol; hay dos centros atractivos pero el satélite se mueve más cerca del planeta y el movimiento es casi kepleriano, de no ser por la perturbación debida al Sol. Lo mismo ocurre con un satélite alrededor de la Tierra si se considera el efecto por la Luna e ignorando la influencia del Sol. En toda esta discusión se considera que los dos centros pemanecen fijos y sólo en éste caso es válido nuestro razonamiento. Para una energía un poco mayor, la partícula puede girar en torno a los dos centros dando lugar a varios tipos de trayectorias como se ilustra en la Figura 1.6. Con energías cada vez mayores pueden observarse diversas fases de trayectorias hiperbólicas, para las cuales escapa la partícula. En las gráficas que se anexan pueden verse diferentes casos.

Figure 1.6: contornos de energía

Otro caso que nos interesa es aquel en que hacemos las cargas eléctricas de un centro iguales a cero, variamos la carga magnética en el otro. Como dijimos anteriormente, va a ocurrir una precesión de la trayectoria sobre un cono, en ausencia de potencial repulsivo, pero, si éste último es incluido para que el movimiento sea separable, entonces, curiosamente se tiene un plano que interseca al cono dando una elipse u otra cónica dependiendo de la energía de nuestra partícula y la única diferencia de este movimiento no contiene al centro de atracción, ésto se debe a la desviación que se provoca por la fuerza magnética sobre el movimiento de la partícula.

Figure 1.7: cono de Poincaré

Podemos ver otras posibilidades tales como poner cargas eléctricas y magnéticas juntas, un lado con carga eléctrica y el otro con carga magnética etc., al final pueden verse diferentes ejemplos.