Otro método

El tratamiento anterior sobre los puntos clásicos de libración consiste como hemos visto, en graficar polinomios de cuarto grado y encontrar sus raíces que corresponden a los puntos clásicos de retorno. Si se escribe la ecuación separada de manera un poco diferente podran apreciarse los efectos de variar ligeramente los diferentes parámetros que intervienen en el problema. Reescríbanse las ecuaciones ( I-4-15 ) y ( I-4-16 ) como sigue:

$$\left. \begin{array}{ccc} h\xi^2 -(\xi^2-1)p_\xi^2-\frac... ...{g_+^2}{2}-\alpha & = & 0 \end{array} \right\} \eqno{(1)}$$

Para los puntos de libración los momentos se anulan, en ese caso las ecuaciones (1) quedarán en la forma:

$$\left. \begin{array}{ccc} h \xi^2-\varepsilon_+\xi+\left... ...phi + g_+\eta)^2}{\eta^2-1} \end{array} \right\} \eqno{(2)}$$

Las expresiones ( 2 ) permiten definir un conjunto de funciones $f_1$, $f_2$, $s_1$ y $s_2$ de la manera siguiente:

$$\left. \begin{array}{ccl} f_1(\xi) &=& h\xi^2-\varepsilo... ...hi +g_+\eta)^2}{\eta^2-1} \end{array} \right\} \eqno{(3)}$$

Es decir, hay un par de funciones para $\xi$ y otro para $\eta$, su forma es la misma para cada variable con la diferencia de que las funciones de $\xi$ están determinadas por los parámetros: $h$, $\varepsilon_+$, $g_-$, $\alpha$ y $p_\phi$ en tanto que las funciones de $\eta$ dependen del conjunto: $h$, $\varepsilon_-$, $g_+$, $\alpha$ y $p_\phi$ de manera que es suficiente hacer el análisis para las curvas que se obtienen con una variable y adaptan los resultados del análisis a las funciones de la otra utilizando sus propios parámetros haciendo también las consideraciones en que cada variable tiene sentido físico. En base a lo anterior vamos a estudiar las curvas para la variable $\xi$. Hemos quedado en que para los puntos de libración se satisface la igualdad

$$f_1(\xi) = f_2(\xi)$$

Es decir, dichos puntos corresponden a las intersecciones de las curvas dadas por $f_1$ y $f_2$. Analizaremos entonces con algún detalle dichas funciones.

Análisis de la Función $f_1$. Esta función corresponde a una parábola vertical que interseca al eje de las abscisas en los puntos.

$$\xi = \frac {\varepsilon_+ \pm \sqrt{\varepsilon_+^2+ 4h\left(\frac{g_-^2}{2}-\alpha\right)}}{2h} \eqno{(4)}$$

La intersección de la curva con el eje vertical tiene el valor $(\frac{g_-^2} 2-\alpha)$ y no depende directamente de $h$, lo que indica que si se hace variar la energía en nuestra función manteniendo fijos los demás parámetros resultará una familia de parábolas con un punto en común que es precisamente la intersección con el eje vertical. Debe observarse también que cuando la energía vale cero la parábola degenera en la recta:

$$-\varepsilon_-\xi+\left(\frac{g_-^2}{2}-\alpha\right)$$

con la misma intersección que la familia de parábolas, siendo también un miembro de dicha familia. La recta tiene como pendiente el valor $-\varepsilon_-$ y de acuerdo con el signo del parámetro $\varepsilon_-$ habrá tres configuraciónes posibles para la familia de parábolas. Eso se ilustra en las siguientes figuras:

Figure 1.8: unas curvas

Figure 1.9: más curvas

Es posible obtener todavía mayor información si escribimos la primera ecuación de (3) en la siguiente forma.

$$\begin{eqnarray*} h \left(\xi-\frac{\varepsilon_+}{2h}\right)^2 &=& f_1+(\alpha-g_-^2)+\frac{\varepsilon_+^2}{4h} \end{eqnarray*}$$

o bien

$$\left(\xi+\frac{\varepsilon_+}{2h}\right)^2 = \frac{1}{h} ... ...a-g_-^2+\frac{\varepsilon_+^2}{4h}\right)\right] \eqno{(5)}$$

La expresion (5) corresponde a la ecuación de una parábola [22] con vértice en el punto $(\varepsilon_+/2h, \alpha-g_-^2/2+\varepsilon_+^2/4h)$ y cuyo lado recto es $1/h$. Esto permite ver cómo $h$ influye en la anchura de la curva, por ejemplo, si $h$ es muy grande se tendrá una parábola muy aguda y muy ancha cuando $h$ es pequeña, degenerando en una recta cuando dicho parámetro se anula. El signo de $h$ determina si la curva se extiende hacia arriba o hacia abajo, cuando $h$ es negativa la curva se extiende hacia abajo siendo su vértice un máximo y para $h$ positiva la curva se extiende hacia arriba siendo entonces su vértice un mínimo. El valor del radicando en la expresion (4) determina si la función cruza o no al eje horizontal. Si dicha cantidad es negativa las raíces de la ecuación son imaginarias y la curva no tiene ningún punto en común con el eje. Cuando el radicando es igual a cero hay una raíz doble que corresponde a tener el vértice de la curva sobre el eje y cuando el radicando es positivo la parábola corta al eje en dos puntos. El parámetro $\varepsilon_+$ influye en el desplazamiento horizontal de la curva pero dicho desplazamiento depende también de $h$, y como para una configuración de las cargas este último parámetro puede variar con mayor facilidad podrá decirse que es el que más influye en el corrimiento lateral del vértice. Por lo que respecta al movimiento vertical del vértice este depende de los parámetros $g_-$, $\alpha$, $\varepsilon_+$ y $h$, pero $h$ y $\alpha$ varían con mayor libertad, y variar estos dos parámetros significa cambiar las condiciones iniciales del movimiento en tanto que variar $\varepsilon_+$ y $g_-$ implica una alteración de las cargas en los dos centros del sistema que estamos estudiando. En la Figura 1.10 mostramos cualitativamente los diferentes puntos de la curva que pueden tener algún interés. En otra sección serán presentados varios ejemplos sobre diferentes posibilidades que tiene el problema donde se aprovechan las ventajas que tiene el usar computadoras para realizar todos los cálculos.

Figure 1.10: parábola

Analisis de la Función $f_2$. Se vió ya qué posibilidades existen para la función $f_1$; enseguida veremos cómo se comporta $f_2$. Lo primero que puede verse es que dicha función tiene singularidades en los puntos $\xi=\pm1$ excepto en el caso: $p_{\phi}=\pm g_-$ para el que se elimina una de ellas. Fuera del rango $(-1,+1)$ la función no puede ser negativa, teniendo además como asíntota horizontal a la recta dada por $g_-^2$. Dentro de ese rango la función toma valores negativos y su intersección con el eje vertical tiene el valor $-p_{\phi}^2$. Igualando a cero el numerador de la función se encuentra que la curva toca el eje horizontal en el punto $-p_{\phi}/g_-$ y sólo en ese punto teniéndose por lo tanto un valor extremo en esa posición. Hay otro valor extremo en $\xi=-g_-/p_{\phi}$, siendo entonces recíprocos ambos valores, eso significa que uno de ellos esta dentro del intervalo $(-1,1)$ y el otro fuera de él. Si la curva toca o no al eje dentro de ese intervalo depende de la relación que haya entre $p_{\phi}$ y $g_-$; además, los dos puntos mencionados están situados del mismo lado, a la izquierda si $p_{\phi}$ y $g_-$ tienen el mismo signo y a la derecha si tienen signo contrario. En caso de que los dos parámetros en cuestión tengan el mismos valor los puntos extremos coinciden dando lugar a un punto de inflexion que puede estar en $\xi=\pm1$, según los signos de $p_{\phi}$ y $g_-$. La discusión anterior permite que se tenga una idea acerca de los tipos de curvas que pueden resultar. Eso se ilustra en las figuras 1.11. La función no es simétrica en general, lo es sólo en el caso de que el parámetro $g_-$ sea nulo y en esas condiciones la forma de las curvas es como la de la Figura 1.12.

Figure 1.11:

Figure 1.12:

Los parámetros $p_{\phi}$ y $g_-$ son los únicos que caracterizan a la función $f_2$ y la manera en que afectan a las curvas es más fácil de precisar que en el caso de $f_1$; $g_-$ determina la posición de la asíntota horizontal y $p_{\phi}$ la intersección de la curva con el eje vertical. Además, combinados dichos parámetros permiten localizar en qué posiciones se encuentran los valores extremos. Al variar nuestros parámetros resultarán familias de curvas, pudiendo haber transiciones entre los diferentes tipos que hemos mostrado en las figuras anteriores. Por lo que respecta a las funciones para la variable $\eta$ hay bastante simetría, lo único que debe hacerse es cambiar los sufijos de las cantidades $\varepsilon$ y $g$ por el signo opuesto, fuera de eso, el tratamiento que hay que dar a las curvas es exactamente el mismo. En el capítulo IV se verán algunos detalles más sobre estas funciones, para casos especiales y en el apéndice C hay algunos ejemplos realizados haciendo uso de una computadora digital; posiblemente algunos detalles sobre las curvas no sean muy pronunciados en los ejemplos, pero nuestras figuras fueron construidas así para ilustrar diferentes posibilidades, además, el tamaño de las hojas de papel en la computadora no permite graficar rangos muy grandes.