Potencial repulsivo

Vamos a considerar ahora el efecto de omitir los términos:

$$\frac{g_1^2}{r_1^2}+\frac{g_2^2}{r_2^2}$$

éstos se deben al paso de coordenadas cartesianas a elipsoidales, podemos ilustrar este hecho para el caso de un centro usando coordenadas polares. Se tiene para ese caso:

$$\begin{eqnarray*} r^2 & = & x^2 + y^2 + z^2 \\ \cos\theta & = & \frac{z}{r} \\ \tan\theta & = & \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$$

En esas coordenadas, se tiene para $p$ lo siguiente:

$$\begin{eqnarray*} p^2 & = & p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2{\mbox{sen}^2\theta}} \end{eqnarray*}$$

Entonces si aparece un término de la forma $\frac{\alpha^2}{\gamma^2}$, escribimos:

$$\begin{eqnarray*} p^2 +\frac{\alpha^2}{r^2} & = & p_r^2 + \frac{p_\theta^2 + \alpha^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2{\mbox{sen}^2\theta}} \end{eqnarray*}$$

Un cambio en el potencial por una cantidad $\frac 1 {r^2}$ produce un efecto equivalente a cambiar el momento angular efectivo. Cuando se considera una trayectoria sin el término $\frac 1 {r^2}$ en el potencial, el movimiento ocurre en un plano, lo que indica que el momento angular se conserva. Con el nuevo término, veremos que el incremento del ángulo barrido por el radio vector de la partícula va a ser modificado en todo momento por una cantidad dependiente de $\alpha$, la trayectoria precederá alrededor de un centro; este fenómeno se presenta independientemente del plano donde ocurra el movimiento. Dicho resultado es muy antiguo y se conoce como ``Teorema de Newton'' [23]. Es necesario considerar estos hechos tratándose del monopolo magnético por la razón de que la trayectoria se desarrolla sobre la superficie de un cono. Se ha visto que un cono al desenvolverse sobre la superficie de un plano da lugar a un sector circular cuyo arco tiene una longitud igual a la circunferencia de una sección recta del cono. Una trayectoria elíptica sobre el cono al desenvolverse dará lugar a curvas como la que indicamos en la Figura 1.13.

Figure 1.13: cono desenrollado

No se va a tener una visión completa del movimiento porque éste, aunque es continuo sobre el cono no lo es sobre el plano. Se tendrá además una precesión de la órbita (que puede ser una elipse) de tal manera que el máximo acercamiento ocurre en diferentes puntos. Sin entrar en todos los detalles diremos que esa es la motivación para considerar los términos que hemos mencionado en la energía cinética. Realmente, al desarrollar (I-3-9) se tenía en la hamiltoniana un término de la forma:

$$\begin{eqnarray*} -\frac{(g_1^2 + g_2^2)(\xi^2 + \eta^2) - 2(g_1^2 - g_2^2)\x... ...)} &=& -\left(\frac{g_1^2}{r_1^2} + \frac{g_2^2}{r_2^2}\right) \end{eqnarray*}$$

Este término se omitió para poder separar variables. Dicha omisión corresponde a sumar a la ecuación (I-4-5) un potencial centrífugo de la forma $-V_r$, eso significa que los resultados van a incluir el efecto producido por dicho potencial, que como se ha dicho, produce una precesión de las órbitas, vease la referencia [23].