Inversión

La inversión tiene la forma general

$$w = \frac 1 z$$

y lo podemos ver como una multiplicación con un factor fraccionario, por lo que de nuevo es conveniente verla desde la forma polar

$$re^{i\theta} = \frac 1 {Re^{i\alpha}} = \frac 1 R e^{-i\alpha}$$

esto muestra que

$$r = \frac 1 R\ \ \ \ \ \theta = - \alpha$$

Con esto podemos notar que hay una inverción en la magnitud del vector por lo que sí, por ejemplo, tenemos un punto en el círculo unitario después de la tranformación estará afuera. También se nota que el ángulo de $w$ será igual al de $\overline{z}$.

Si representamos esta transformación con coordenadas cartesianas tendremos

$$u = \dfrac x {x^2+y^2} v =- \dfrac{y}{x^2+y^2}$$ (1)

$$x = \dfrac u {u^2+v^2} y = \dfrac{v} {u^2+v^2}$$ (2)

Un círculo con centro en el origen y de radio $r$ está dado por

$$x^2+y^2 = R^2$$

si substituimos con las ecuaciones tendremos

$$\frac {u^2} {(u^2 + v^2)^2} + \frac {v^2} {(u^2+v^2)^2} = R^2$$

simplificando

$$u^2 + v^2 = \frac 1 {R^2} = r^2$$

y esto es un círculo con centro en el origen en el plano $w$.

Si tomamos la línea $y = c$

$$-\frac v {u^2+v^2} = c$$

$$u^2 +\left( v + \frac 1 {(2c)^2} \right)^2 = \frac 1 {(2c)^2}$$

esto representa un círculo en el plano $w$ de radio $1/(2c)^2$ y con centro en $(0,-1/(2c)^2)$.

Figura: Inversión

Existen las posibilidades de que la recta sea positiva (como en éste caso) o negativa, también existe la posibilidad de que la recta en vez de ser horizontal sea vertical, así que en algunos casos nos transformará en rectas o en círculos, como en este caso. En general una inversión transformara círculos y líneas en círculos en líneas, no necesariamente en ese orden.