Producto Topológico

En la ecuación 5 se presentó que $\mathcal{C}=K^\mathbb{Z}$, denotando al conjunto de todos los mapeos con la siguiente forma :

$$p:\mathbb{Z}\rightarrow \mathcal{C} p(i)=e_i \in K_i i \in \mathbb{Z}.$$ (12)

Con lo anterior, $\mathcal{C}$ es el producto directo o cartesiano de los conjuntos $K_i$ donde $K_i = K,$     $\forall i \in \mathbb{Z}$, cada $e_i$ es la proyección de $p$ sobre $K_i$ y cada mapeo $p$ construye una configuración $\mathrm{C}$ que pertenece al conjunto de configuraciones $\mathcal{C}$. El mapeo:

$$p_i:p \rightarrow K_i i \in \mathbb{Z}.$$ (13)

se dirá el $i$-ésimo mapeo de proyección; o sea, $p_i$ es el mapeo que va de cada configuración $\mathrm{C}$ sobre el conjunto de estados $K_i$.

Al conjunto de estados $K$ lo podemos ver como un espacio topológico cuya topología discreta es él mismo, en otras palabras, podemos ver a $K$ como un conjunto abierto. Entonces, el conjunto de mapeos $p(i)^{-1}: K_i \rightarrow p$ forma un producto topológico que da origen a un elemento $\mathrm{C}$ en $\mathcal{C}$.

Figura 7: Los mapeos $p(i)^{-1}: K_i \rightarrow p$ forman las configuraciones en $\mathcal{C}$.

De esta forma, se puede ver que el espacio métrico de configuraciones $\mathcal{C}$ coincide con el producto topológico generado por la topología discreta de $K$ como se señala en [Hed69].