Espacios Separables

Otra propiedad importante para clasificar a un espacio topológico es el grado de separación que tiene [Haj68] [Hus66]; así, un espacio topológico $\mathcal{C}$ se clasifica como:

$T_0$

(Espacio de Riesz) si para cualesquiera dos elementos distintos en $\mathcal{C}$ existe una vecindad de uno que no contiene al otro.

$T_1$

(Espacio de Kolmogorov) si para cualesquiera dos elementos distintos en $\mathcal{C}$ existen vecindades de ambos que no contienen al otro.

$T_2$

(Espacio de Hausdorff) si cualesquiera dos elementos distintos en $\mathcal{C}$ tiene vecindarios disjuntos.

$T_3$

(Espacio Regular) si cada vecindad de cualquier elemento en $\mathcal{C}$ contiene una vecindad cerrada del mismo.

$T_Q$

(Espacio de Tychonov o Completamente Regular) si el espacio es $T_2$ y para cada elemento $\mathrm{C}\in \mathcal{C}$ y cualquier vecindario $\mathcal{U}$ del mismo, existe un mapeo contínuo $f:\mathcal{C}\rightarrow [0,1]$ con $f(\mathrm{C})=0$ y $f(\mathcal{C}-\mathcal{U})=1$.

$T_4$

(Espacio Normal) si el espacio es $T_2$ y cualesquiera dos subconjuntos cerrados disjuntos de $\mathcal{C}$ tienen vecindarios disjuntos.

En particular, el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$ de un autómata celular lineal es de tipo $T_2$ o de Hausdorff, para mostrar esto, tomemos dos configuraciones distintas $\mathrm{C}_{i},\mathrm{C}_{j} \in \mathcal{C}$. Seleccionemos la posición de una célula en la cual ambas configuraciones difieran (por lo menos existe una pues de otra forma $\mathrm{C}_{i}=\mathrm{C}_{j}$) y definamos ésta como la posición central de las configuraciones, de aquí establezcamos lo siguiente:

$$\begin{array}{l} \mathrm{C}_{i[0]} \neq \mathrm{C}_{j[0]} ... ...ht\} \mbox{ para } i,j \in K \mbox{ con } i \neq j. \end{array}$$ (23)

Utilizemos nuevamente el conjunto de cilindros $\mathcal{F}$ como se definió en la ecuación 20, entonces se cumple que:

$$\begin{array}{l} \mathrm{C}_{i} \in \mathfrak{C}_{0}({\mathrm... ...athrm{C}_{j[0]}}) \mbox{ con } \mathrm{C}_{j[0]}=j. \end{array}$$ (24)

Para $\mathrm{C}_{i}$ tomemos la secuencia de estados definida por $\mathrm{C}_{i[-1 \ldots 1]}$, entonces tenemos que

$$\mathrm{C}_{i} \in \mathfrak{C}_{-1}({\mathrm{C}_{i[-1 \ldots 1]}}).$$ (25)

lo cual es análogo para $\mathrm{C}_{j}$

$$\mathrm{C}_{j} \in \mathfrak{C}_{-1}({\mathrm{C}_{j[-1 \ldots 1]}}).$$ (26)

Dado que el cilindro especificado en las ecuación 25 cumple que sus elementos comparten la misma parte central y el mismo caso se presenta para el cilindro en la ecuación 26, podemos concluir que:

$$\begin{array}{l} \mathrm{C}_{i} \in \mathfrak{C}_{-1}({\mathr... ...]}}) \subset \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{j[0]}}). \end{array}$$ (27)

Por lo que $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$ es una vecindad de $\mathrm{C}_{i}$ y $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{j[0]}})$ es una vecindad de $\mathrm{C}_{j}$. Por último, sabemos que toda $\mathrm{C}_{i} \in \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$ cumplen con que $\mathrm{C}_{i[0]}=i$ siendo esto si-milar para todo $\mathrm{C}_{j} \in \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{j[0]}})$ con $\mathrm{C}_{j[0]}=j$; como $i \neq j$ entonces $\mathrm{C}_{i} \neq \mathrm{C}_{j}$     $\forall \mathrm{C}_{i},\mathrm{C}_{j}$, de aquí que:

$$\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}}) \cap \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{j[0]}}) = \varnothing.$$ (28)

Figura 11: Los conjuntos de cilindros son disjuntos.

Por lo que las vecindades de $\mathrm{C}_{i}$ y $\mathrm{C}_{j}$ son disjuntas, para cualquier $\mathrm{C}_{i},\mathrm{C}_{j} \in \mathcal{C}$ con lo que el espacio de configu-raciones $\mathcal{C}$ es separable $T_2$ o de Hausdorff.