Espacios Compactos

La cubierta abierta de un espacio topológico $\mathcal{C}$ es una familia de conjuntos abiertos cuya unión es el mismo espacio $\mathcal{C}$. Un espacio toplógico $\mathcal{C}$ se dirá compacto si cada cubierta abierta de éste tiene una subcubierta finita. Esto significa que $\mathcal{C}$ es compacto si cumple con lo siguiente.

$$\begin{array}{r} \mathcal{F}= \{\mathrm{F}_i : 0< i < \infty,... ...pliendo que } \bigcup_i \mathrm{F}_i = \mathcal{C}. \end{array}$$ (18)

Figura: Cubierta finita de $\mathcal{C}$ con $\left\vert\mathcal{F}\right\vert =6$.

En el caso del espacio de configuraciones $\mathcal{C}$ de un autómata celular lineal, tomemos el siguiente cilindro:

$$\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})=\{ \mathrm{C}\in \mathcal{C}: \mathrm{C}_{[0]}=i i \in K \}.$$ (19)

$$\mathcal{F}=\{\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}}) : \forall i \in K\}.$$ (20)

Es decir, $K$ indexará al conjunto de cilindros donde cada cilindro cumple con que $\mathrm{C}_{i[0]}=i$ donde $i \in K$. Entonces, $\left\vert\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})\right\vert = k < \infty$ pues $K$ es un conjunto finito de estados, por lo que:

$$\mathcal{F}=\bigcup_i \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}}) = \mathcal{C}.$$ (21)

Como cada cilindro $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}}) \subset \mathcal{C}$ es abierto, entonces $\mathcal{F}$ establece una cubierta finita para $\mathcal{C}$.

Es aquí donde se puede apreciar la importancia que tiene la elección de un centro para definir una distancia en el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$, pues dado este centro se puede definir el conjunto de cilindros y con esto generar una cubierta finita de $\mathcal{C}$ concluyendo que dicho espacio es compacto. El que un espacio topológico sea compacto es muy útil ya que podemos tratar el espacio con un número finito de subconjuntos del mismo lo que facilita su estudio, veamos ahora como podemos elegir un representante de cada subconjunto.

En base al trabajo de Lind y Marcus en [LM95], para el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$, tomemos un cilindro $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$ como se establece en la ecuación 19, cons-truyamos una subsecuencia convergente de $\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$. Para $r \geq 1$, encontremos una secuencia de subconjuntos $S_r$ de enteros positivos tal que:

$$\mathrm{C}_{p[-r \ldots r]}=\mathrm{C}_{q[-r \ldots r]} \forall p,q \in S_r; \mathrm{C}_{p},\mathrm{C}_{q} \in \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}}).$$ (22)

Definamos la configuración $\mathrm{C}$ donde $\mathrm{C}_{[-r \ldots r]} = \mathrm{C}_{p[-r \ldots r]}$ para toda $p \in S_r$ e inductivamente definamos $p_r$ como el elemento más pequeño de $S_r$ el cual excede a $p_{r-1}$. Entonces $\mathrm{C}_{p_r[-r \ldots r]}$ converge a $\mathrm{C}$ conforme $r \rightarrow \infty$.

Figura: Convergencia de $\mathrm{C}_{p[-r \ldots r]}$ a $\mathrm{C}$ conforme $r \rightarrow \infty$.

Utilizando la idea de convergencia, podemos decir que el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$ es compacto si cada secuencia de configuraciones en $\mathcal{C}$ converge a un configuración dada [LM95], pues esta convergencia asegura la existencia de los conjuntos de cilindros.