Características generales del movimiento
en el campo de un monopolo magnético

Muchas de las características del movimiento en el campo de un monopolo magnético son independientes de la interacción de algún otro tipo que tenga con la partícula móvil, siempre y cuando dicha interacción dependa tan sólo del módulo del vector que lo une a ella. Lo anterior será evidente del tratamiento siguiente, el cual se da en términos de vectores para que sea independiente del sistema de coordenadas que se use. Se basa el estudio en la Mecánica Newtoniana.

La segunda ley de Newton, $\bar F = m \frac {d^2\bar p }{d t^2}$, adquiere, en el presente caso, la forma siguiente, usando unidades Gaussianas y las ecuaciones (2) y (9) de la Introducción:

$$m \frac {d^2 \bar p }{dt^2} = \frac{e_2 g}c \frac{d\bar p }{dt} \times \frac{\bar p }{p ^3} - \nabla(U(p))$$ (1)

El primer término corresponde a la interacción Lorentziana de la partícula móvil de carga eléctrica $e_2$ con el campo magnético del monopolo (fijo); g es la carga magnética de éste y $\bar p$ el vector que lo une con la partícula móvil; m es la masa de esta última. $-\nabla$U es la fuerza de interacción no Lorentziana y lo único que se supone de ella es que es radial y derivable de un potencial U = U(p).

De (1):

$$\frac{d^2 \bar p}{dt^2} = \frac{\varepsilon_1}{p^3} \frac {... ...dt} \times \bar p - \frac{\partial U_1}{\partial p}\widehat p$$ (2)

Siendo:

$$U_1(p) = \frac{1}{m} U(p) \qquad \mbox{y} \qquad \varepsilon_1 = \frac{\varepsilon_2 g}{mc}$$ (3)

Multiplicando vectorialmente ambos miembros de la ec. (2) por $\bar{p}$ se obtiene:

$$\bar{p} \times \frac{d^2\bar{p}}{dt^2} = \frac{\varepsilon_... ...\bar{p} \times \Big(\frac{d\bar{p}}{dt} \times \bar{p}\Big)$$ (4)

Desarrollando el producto triple y tomando en cuenta que $\frac {d p} {dt} = \widehat{p}\cdot \frac {d \bar{p}} {dt}$:

$$\bar{p}\times \frac {d^2 \bar{p}} {dt^2}=\varepsilon_1 \frac{d\widehat{p}} {dt}$$ (5)

Pero $\bar{p}\times \frac {d^2 \bar{p}} {dt^2}= \frac d {dt} (\bar{p}\times \frac{d\bar{p}}{dt})$, por lo que, integrando en la ec. (5), se obtiene:

$$\bar{p} \times \frac{d \bar{p}}{dt} = \varepsilon_1 \widehat p + \bar D_1$$ (6)

En la ec. (6), $\bar D_1$ es un vector constante (la constante de integración depende sólo de las condiciones iniciales). Siendo $\bar L = \bar{p} \times (m \frac{d\bar{p}}{dt}) = \bar{p} \times \bar \pi$, con $\bar{\pi} = m \frac{d\bar p}{dt}$ el moméntum mecánico, $\bar D = m \bar D_1$ y $\varepsilon = m \varepsilon_1 = \frac{e_2 g}{c}$ se obtiene de (6):

$$\bar D = \bar L - \varepsilon \widehat{p}$$ (7)

La ecuación anterior indica que el moméntum angular $\bar L = \bar{p} \times \bar \pi$ no es una constante del movimiento, lo cual era de esperarse, pues la fuerza de Lorentz en la ec. (1) no es central. Sin embargo, se ha encontrado que el vector $\bar D$ relacionado con $\bar L$ por la ec. (7) es una constante del movimiento. Es claro que, para $g = 0 \Rightarrow \varepsilon = 0 \Rightarrow \bar D = \bar L$ y se obtiene el resultado esperado para potenciales que dependen sólo de $p : \frac{d\bar L}{dt} = \bar 0$.

De la ec. (7), es directo deducir que la trayectoria de la partícula móvil se confina a la superficie de un cono circular recto pues, multiplicando escalarmente por $\widehat p$ :

$$\bar D \cdot \widehat p = -\varepsilon$$ (8)

Entonces, el vector de posición de la partícula móvil forma un ángulo $\theta$ constante con un vector constante $\bar D$, el cual define el eje del cono que se ha mencionado. $\theta$ es tal que:

$$\mbox{cos } \theta = - \frac{\varepsilon}{\arrowvert\bar D \arrowvert}$$ (9)

Es claro de (8, 9) que, siendo $\varepsilon = \frac {e_2\;g} c$ para $\frac {e_2\;g} c \le 0$, sea, para cargas eléctricas (de la partícula móvil) y magnética (del monopolo) de signos contrarios, $\theta \le \frac \pi 2$ , teniéndose un movimiento como el esquematizado en la Figura I.1. Este es el tipo de movimiento cuando se tiene, por ejemplo, un protón $(e_2 >0)$ moviéndose en el campo de un ``polo sur" $(g<0)$ ó un electrón $(e_2<0)$ moviéndose en el campo de un ``polo norte" $(g>0)$.

Para $e_2 g > 0$, se tiene que $\theta > \frac{\pi}2$, o sea, se tiene un movimiento como el de la Figura I.2. Este es el tipo de movimiento esperado cuando se tiene, por ejemplo, un protón moviéndose en el campo de un ``polo norte" $(e_2 > 0, g > 0)$, o un electrón moviéndose en el de un ``polo sur" $(e_2 < 0, g < 0)$.

Figura I.1:

Figura I.2:

De las ecs. (7,8), se obtiene que:

$$L^2 = \bar L \cdot \bar L = D^2 - \varepsilon^2$$ (10)

O sea, $L = \arrowvert \bar L \arrowvert$ es una constante pues $D$ y $\varepsilon$ lo son. También,

$$L^2 \ge 0 \Rightarrow D^2 \ge \varepsilon^2 \Rightarrow$$

$$\arrowvert \bar D \arrowvert \ge \arrowvert \varepsilon \arrowvert$$ (11)

Como se verá en el tratamiento cuántico del problema, se obtiene un resultado análogo al de la expresión (11): siendo $\ell(\ell + 1) \hbar^2$ los eigenvalores del operador ${\cal D}^2$ asociado a $\bar {D}^2$, se obtiene que:

$$\ell \ge \hbar^{-1} \arrowvert \varepsilon \arrowvert$$ (12)

$$\Rightarrow [\ell(\ell + 1)]^\frac{1}{2} \hbar \ge \arrowvert \varepsilon \arrowvert \eqno{(12\mbox{-a})}$$

Siendo $[\ell(\ell + 1)]^\frac{1}{2} \hbar$ los eigenvalores del operador $\mathcal D$ asociado a D.

Se puede ver también directamente de la ec. (1) que $L$ debe ser una constante, pues, haciendo $g(p) = - \frac{\partial U}{\partial p}$ en dicha ecuación:

$$\bar F = m \frac{d^2 \bar p}{dt^2} = \frac{\varepsilon}{p^3... ...at p = - \frac{\varepsilon_1}{p^3} \bar L + g(p)\widehat p$$ (13)

El torque $\bar{N}$ está dado por:

$$\bar N + \bar p \times \bar F = - \frac{\varepsilon_1}{p^3} \bar p \times \bar L$$ (14)

Pero $\bar N = \frac{d\bar L}{dt} \Rightarrow \frac{d\bar L}{dt}$ es perpendicular a $\bar L$ (de la ec. (14)).

Entonces:

$$\frac{dL}{dt} = \widehat L \cdot \frac{d\bar L}{dt} = 0$$ (15)

En el problema general de fuerzas centrales (derivables de un potencial $U = U(p)$), se tiene que $\bar L = \bar p \times (m \frac{d\bar p}{dt})$ es un vector constante. Es directo demostrar que, siendo $\widehat p = \frac{\bar p}p$ :

$$\frac{d\widehat p}{dt} = \frac{\bar L}{mp^2} \times \widehat p \eqno{(15\mbox{-a})}$$

La fórmula anterior, para fuerzas centrales $(\Rightarrow \bar L = \mbox{cte}.)$, implica la 2a. ley de Kepler (la ley de las áreas), pues, de la definición de $\bar L$, $\bar p \cdot \bar L = 0$, ó sea, el movimiento tiene lugar en un plano. Definiendo coordenadas polares $(\rho, \theta)$ en este plano y tomando magnitudes en la ec. (15):

$$\Big\arrowvert \frac{d\widehat p}{dt}\Big\arrowvert = \dot{... ...frac{L}{mp^2} \Rightarrow mp^2 \dot{\theta} = L = \mbox{cte}.$$

Pero siendo $\frac{dA}{dt}$ el área ``barrida" por $\bar p$ por unidad de tiempo, se demuestra fácilmente que:

$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} p^2 \dot{\theta} = \frac{1}{2m} mp^2 \dot{\theta} = \frac{L}{2m} = \mbox{cte.}$$ (16)

Entonces ya que $\bar D$ en nuestro caso parece jugar el mismo papel que $\bar L$ para fuerzas centrales, se espera una fórmula análoga a (15), sólo que involucrando a $\bar D$:

$$\frac{d\widehat{p}}{dt} = \frac{\bar D}{mp^2} \times \widehat p = \frac{\bar D_1}{p^2} \times \widehat{p}$$ (17)

Pero, de (6), multiplicando vectorialmente por $\widehat p$ y recordando que $\widehat{p} \cdot \frac{d\bar{p}}{dt} = \frac{dp}{dt}$, se obtiene la fórmula (17), o sea, el análogo a la 2a. ley de Kepler.

De (17), se puede obtener una ley de áreas como sigue: tomando magnitudes en ambos lados de la ecuación, se obtiene una relación:

$$\Big\arrowvert \frac{d\widehat p}{dt}\Big\arrowvert = \frac{d\alpha}{dt} = \frac{D_1}{p^2} \mbox{sen}\theta$$ (18)

En la ec. (18), $\alpha$ es el ángulo que el vector de posición $\bar{p}$ de la partícula móvil forma con una recta fija en la superficie del cono, la cual contiene al vértice (que es donde está el monopolo); $\theta$ es el semiángulo del cono, definido por la ec.(9). Pueden apreciarse $\theta$ y $\triangle \alpha = \alpha (t_2) - \alpha (t_1)$ siendo $t_1 , t_2$ instantes cercanos, en la Figura I.3:

Figura I.3:

De (18):

$$p^2 \dot{\alpha} = D_1 \mbox{sen} \theta = \mbox{cte}.$$ (19)

Pero, de la Figura I.3, es fácil ver que, llamando $\triangle A$ al área sobre el cono barrida por el vector $\bar{p}$ en el tiempo $\triangle t = t_1 - t$ con $t$ un tiempo arbitrario tal que $\triangle t$ es pequeña:

$$\triangle A = \frac{1}{2} p^2_1 (\triangle\alpha) + \mathcal{O} (\alpha)$$ (20)

Al obtenerla, se ve que la fórmula (20) depende de que $\Big\arrowvert\frac{\partial\bar{p}}{\partial\alpha} \Big\arrowvert < \infty$, o sea, de que $\arrowvert\bar{L}\arrowvert = \Big\arrowvert m\bar p \times \frac{d\bar{p}}{dt}\Big \arrowvert > 0$ . Esto es de esperarse pues, si $\Big\arrowvert \frac{\partial \bar{p}}{\partial\alpha}\Big\arrowvert \to \infty$, quiere decir que $\bar{p}$ y $\frac{d\bar{p}}{dt}$ son paralelos: no se barre ninguna área sobre la superficie del cono. De las ecs. (19,20), con $p_1 = p$ :

$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} p^2 \dot{\alpha} = \mbox{cte.}$$ (21)

Cuando $g = 0$, lo que implica que el cono degenera en un plano (fuerzas centrales), la ley de áreas (21) se reduce a la convencional dada por la ec.(16), pues $\bar{D}$ se reduce a $\bar{L}$.

Particularizando ahora para el caso en que:

$$U(p) = V(p) = \frac{e_1 e_2}{p} + \frac{\varepsilon^2}{2mp^2}$$ (22)

que es el potencial escalar que se usará en el tratamiento Hamiltoniano del problema, se demuestra que el vector:

$$\bar{R} = \bar{D} \times \bar {\pi} - me_1 e_2 \widehat p = m \bar{D} \times \frac{d\bar{p}}{dt} - me_1 e_2 \widehat p$$ (23)

es una constante del movimiento. $\bar R$ es el llamado vector de Runge (o de Runge-Lenz-Pauli).

De las ecs. (23,17):

$$\frac{d\bar R}{dt} = \bar{D} \times (m \frac{d^2\bar p}{dt^2}) - \frac{e_1 e_2}{p^2} \bar{D} \times \widehat{p}$$ (24)

Pero, de las ecs. (1,3,22):

$$m \frac{d^2\bar{p}}{dt^2} = - \frac{\bar D}{mp^3} + \frac{e_1 e_2}{p^2} \widehat p$$ (25)

Sustituyendo la ec. (25) en (24), se obtiene que $\frac {d\bar{R}}{dt} = \bar{0}$.