Ecuación de Schrödinger para el problema

Ya que se usarán las coordenadas cuadrático parabólicas, es necesario poner el Hamiltoniano en estas coordenadas. Hay más de una manera de hacer esto. De acuerdo con una de ellas, hay que partir del Hamiltoniano clásico (ec.(2), sección I.C) y siguiendo el método de Schrödinger [49] obtener el Hamiltoniano cuántico en coordenadas cartesianas, para usar después las ecs. (3, 4, 5), sección I-C y la regla de la cadena con el cambio a las coordenadas $\mu$ y $\nu$, etc. De acuerdo con otro de los métodos, se puede escribir directamente el Hamiltoniano cuántico en las coordenadas que se usarán, empleando el procedimiento de Podolsky [50] para pasar de la descripción cuántica en unas coordenadas a la correspondiente en otro sistema arbitrario. El procedimiento de cuantización canónica [51] no puede usarse en este caso, pues las coordenadas y momenta $[X, P_x,.....]$ no están conectados con los $[\mu, P_{\mu},.....]$ por una transformación unitaria, lo cual es claro del hecho de que no tienen los mismos rangos las variables $[x,y,z]$ y $[\mu, \nu, \phi]$( $(-\infty,\infty)$ las primeras y $(0,\infty)$ y $(0,2\pi)$ respectivamente, las segundas).

Se usó el primer método de los anotados anteriormente, pues la aplicación del mismo resulta muy larga en el paso de coordenadas cartesianas a cuadrático-parabólicas. El procedimiento de Podolsky se basa en una forma de normalización de las funciones de onda que es independiente de Jacobianos, y en el uso de una expresión para el Hamiltoniano en las nuevas coordenadas la cual no es trivial, pues contiene términos del tipo $g^{ij}$, los cuales denotan los menores del tensor métrico; debido a la longitud de las expresiones algebraicas resultantes, no se empleó este método.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

$$H\Psi=E\Psi$$ (1)

El Hamiltoniano clásico es: (ec. (2), sección I.C):

$$H = \frac {(\overline{p}-\frac{e_2}{c}\overline{A})^2} {2m... ... + \frac {\varepsilon ^2} {2m} \left( \frac 1 {p^2} \right)$$ (2)

Siguiendo el procedimiento de cuantización de Schrödinger [45] y usando la ec. (2-a) de la sección I.C, se puede escribir:

$$H = \frac{1}{2m}\; \left[\overline{p}^2 - \varepsilon \; \left[P_x \l... ...\left(\frac {ZX}{p(x^2+y^2)}\right) + \frac{ZY}{p(x^2+y^2)} P_x \right.\right.$$

$$\left. \left. - \frac{ZX}{p(x^2+y^2)} P_y\right] + \frac {\varep... ...] + \frac{e_1 e_2}{p} + \frac{\varepsilon^2}{2m} \left( \frac{1} {p^2} \right)$$ (3)

Trabajando en la representación de coordenadas [52] ( en la cual hay que hacer las substituciones $P_x \rightarrow -i \hbar \frac \partial {\partial x}, P_y \rightarrow - i \... ...\partial {\partial y}, P_z \rightarrow -i \hbar \frac \partial {\partial z}$), se obtiene:

$$H = - \frac {\hbar^2} {2m} \nabla^2 + \frac {i \hbar \varep... ...2+y^2 )} + \frac {{e_1}{e_2}} p +\frac{\varepsilon^2}{2mp^2}$$ (4)

Se pasará ahora a las coordenadas $\left [ \mu ,\nu ,\phi \right ]$. Usando las ecs. (3,4,5) de la sección I.C se puede escribir [53].

$$\nabla^2 = \frac 1 { \mu^2+ \nu^2 } \left [ \frac {\partial^2} {\... ... \partial {\partial \mu} + \frac 1 { \nu} \frac \partial {\partial \nu} \right]$$ (5)

$$Y \frac \partial { \partial x}- X \frac \partial { \partial y}=- \frac \partial {\partial\phi}$$ (6)

De las ecs. (4,5,6) se obtiene:

$$H = \frac 1 {2m ( \mu^2+ \nu^2)} \left \{ \left(-i \hbar \frac \parti... ... \hbar \frac \partial { \partial \phi}\right)- \varepsilon \right ]^2 \right. +$$

$$\left. + \frac 1 {\nu^2} \left [ \left(-i \hbar \frac \partial { ... ...rtial \mu} + \frac 1 { \nu} \; \frac \partial {\partial \nu } \right) \right \}$$ (7)

Comparando la ec.(7) con la ec. (17) de la sección I.C, se vé que excepto por el término $\frac {- \hbar^2}{ 2m (\mu^2 + \nu^2) } \left(\frac 1 { \mu} \frac \partial {\partial \mu} + \frac 1 { \nu} \frac \partial {\partial \nu }\right)$, la expresión (7) se obtiene de la (17) (sección I.C) haciendo las substituciones $P_ \mu \rightarrow - i \hbar \frac \partial {\partial \mu}, P_ \nu \rightarr... ...{\partial \nu } , P_ \phi \rightarrow - i \hbar \frac \partial {\partial \phi}$; éstas son las substituciones que indicaría el proceso de cuantización canónica [47]. El último término de la ec. (7) proviene de que, como se dijo anteriormente, las coordenadas $\left [ \mu ,\nu ,\phi \right ]$ no se obtiene de las $\left [\ X, Y, Z \right]$ por una transformación unitaria, por lo que el proceso de cuantización canónica no es aplicable.

De la ec. (7), se tiene que la coordenada $\phi$ es cíclica en la ec. de Schrödinger, por lo cual [54] se tiene una solución del tipo siguiente para la ec. (1):

$$\Psi( \mu, \nu, \phi )= \Psi_1( \mu, \nu )\mbox{{\Large$e$}}^{ik \phi}$$ (8)

Suponiendo que:

$$\Psi_1(\mu,\nu)= F(\mu) G(\nu)$$ (9)

se obtiene, de las ecs. (1) y (7):

$$\left [ \frac 1 {F} \; \left( \frac{ d^2 F} {d \mu^2} + \frac 1 {... ...alpha ^2 - \frac {2m e_1 e_2}{\hbar^2} + \frac {2mE }{\hbar^2} \mu^2 \right ] +$$

$$+\left [ \frac 1 {G} ( \frac {d^2 G }{d \nu^2} + \frac 1{\nu}\; \... ...\beta^2 - \frac {2m e_1 e_2}{\hbar^2} + \frac {2mE}{\hbar^2} \nu^2 \right ] = 0$$ (10)

En la ec. (10):

$$\alpha = \hbar k- \varepsilon$$ (11)

$$\beta = \hbar k + \varepsilon$$ (12)

Es claro de la ec. (10) que se ha obtenido la separación completa de variables en la ecuación diferencial (1). Llamando $\gamma$ a la constante de separación y definiendo las cantidades (constantes):

$$A = -\frac{ \alpha^2} {\hbar^2}$$ (13)

$$B = \frac {2 m E}{\hbar^2}$$ (14)

$$C = -\frac {2 m e_1 e_2}{\hbar^2} + \gamma$$ (15)

$$A_1 = -\frac{ \beta^2} {\hbar^2}$$ (16)

$$D = -\frac {2 m e_1 e_2}{\hbar^2} - \gamma$$ (17)

Se obtienen las ecuaciones diferenciales que debe satisfacer $F ( \mu )$ y $G ( \nu )$:

$$\frac{ d^2F} {d\mu^2} + \frac 1 \mu \; \frac {dF}{d\mu}+ \left(\frac A {\mu^2} +B\mu^2 + C \right) F = 0$$ (18)

$$\frac{ d^2G} {d\nu^2} + \frac 1 \nu \; \frac {dG}{d\nu}+ \left(\frac {A_1} {\nu^2} +B\nu^2 + D \right) G = 0$$ (19)

Es claro, de las ecs. (18,19) que $F ( \mu )$ y $G ( \nu )$ satisfacen ecuaciones diferenciales esencialmente idénticas. Basta, entonces, resolver una de ellas para obtener la solución de las dos, pues la solución de la otra ecuación se obtiene haciendo los cambios $A \longleftrightarrow A_1$ , $D \longleftrightarrow D_1$. Era de esperarse lo anterior de la simetría de la expresión (7) con respecto a $\mu$ y $\nu$, y de las ecs. (3,4,5) de la sección I.C, en las cuales $\mu$ y $\nu$ aparecen también simétricamente. Se trabajará con la ecuación (18).

La ecuación (18) se puede resolver de dos maneras: directamente, por series o transformándola para identificar una ecuación diferencial conocida. Ya que el resultado esencial es obtener la cuantización de $\varepsilon = \frac{e^2 g}{c}$ y, debido a que dicha cuantización no pudo obtenerse de las consideraciones comunes sobre la función de onda ( integrabilidad cuadrática y finitud de la densidad de corriente de probabilidad), se incluirán los dos procedimientos, para apreciar más claramente las dificultades.

a) Solución de la ec. (18) por series:

La ec. (18) no es soluble directamente por serie de potencias, pues la relación de recursión obtenida para los coeficientes de la misma involucra 3 índices, complicando su cálculo. Como es usual en esto casos [55], se hallará primero el comportamiento asintótico de la solución (cuando $\mu \rightarrow \infty$ ). El procedimiento que se sigue es matemáticamente incompleto, pues no se demuestra el hecho en el cual se basa, el cual es el siguiente: el problema de resolver una ecuación diferencial lineal ordinaria es realmente el problema de hallar el Kernel de un operador lineal en un espacio de funciones apropiado [56]; así, para ecuaciones de 2o. orden, el Kernel es un espacio vectorial generado por combinaciones lineales de dos funciones linealmente independientes (las soluciones independientes de la ecuación); entonces, cuando se tiene que dos operadores diferenciales $D_1, D_2$ son tales que, al variar apropiadamente un parámetro o la variable de la cual dependen las funciones del espacio sobre el cual actúan $D_1$ y $D_2, D_1 \rightarrow D_2$, se espera ( éste es el hecho que no se demuestra, pues dicha demostración no es esencial en lo que sigue) que, siendo $K_1$ y $K _2$ los Kernels de $D_1$ y $D_2$, cuando el parámetro o variable antes dicho se varía, $K _1 \rightarrow K_2$. En otras palabras, se espera que las soluciones independientes de $D_1 f= 0$ y $D _2 f = 0$ sean muy parecidas cuando $D_1$ y $D_2$ lo son. Las condiciones para que ésto suceda no son tenidas en cuenta aquí, siguiendo el pensamiento de que es un proceso que ha funcionado en otras ocasiones [55].

De acuerdo con lo anterior, de la ec. (18) se tiene que, cuando $\mu \rightarrow \infty$, para $\frac {dF} {d \mu }$ acotada (lo cual es esencial para la finitud de la densidad de corriente de probabilidad, que se define [57] en términos del gradiente de la función de onda), se obtiene la ecuación diferencial:

$$\frac {d^2 F_a} {d \mu^2} + B \mu^2 F_a = 0$$ (20)

En la ec. (20), $F_a ( \mu )$ denota la función a la cual tiende F cuando $\mu \rightarrow \infty$ ; o sea, $F_a ( \mu )$ es tal que $\lim_{\mu \rightarrow \infty} \left(\;F( \mu )-F_a( \mu )\;\right)= 0$.

Se comprueba por substitución en (20) que, siendo $\alpha_1, \alpha_2$ constantes:

$$F_a (\mu)= \alpha_1 \mbox{{\Large$e$}}^ {\frac 1{2} (-B)^ ... ...ha_2 \mbox{{\Large$e$}}^ {-\frac 1{2} (-B)^ \frac 1 {2}\mu^2}$$ (21)

es solución de (20) para $\mu \rightarrow \infty$.

Se tiene, de la ec. (14), que:

$$B= \frac { 2mE }{\hbar^2} \eqno{(21\mbox{-a})}$$

Entonces, para $E < O \:\; ( \Rightarrow B > O)$, la función $F_a ( \mu )$ dada por (21) es oscilatoria: corresponde a una onda plana la función de onda (pues se tiene lo mismo para la función G y para la dependencia en $\phi$ ), lo cuál era de esperarse, pues el problema corresponde al movimiento de una partícula de masa $m$ y carga eléctrica $e_2$ que sufre Scattering por el monopolo electromagnético, ya que, muy lejos de éste, la partícula se mueve en forma libre ( no sujeta a potenciales ); en este caso, se usa para normalizar a la función de onda alguno de los métodos usuales [58] (normalización en una caja - ``box normalization" etc. ). Para $E < O,\; -B> O$, lo que implica que $F_a$ da un comportamiento aceptable (se puede normalizar la función de onda) sólo para $\alpha_1=0$ ; ya que en el caso clásico se estudiarán los estados de moviento acotado $(E < O)$, se continuará la presente discusión con esta hipótesis, o sea, se tomará como comportamiento asintótico aceptable de F, la función:

$$F_a(\mu)= \alpha_2 \mbox{{\Large$e$}}^ {-\frac 1{2} (-B)^ \frac 1 {2} \mu^2}$$ (22)

Entonces, todo lo que sigue es válido para $E<O$ :

Se probará ahora [55] como solución de (18) a:

$$F(\mu)= \mbox{{\Large$e$}}^ {\delta \mu^2} f(\mu)$$ (23)

Con:

$$\delta= - \frac 1 {2} (-B)^\frac 1 {2}= - \frac 1 {2 \hbar} (-2mE)^ \frac 1 {2}$$ (24)

Por substitución de (23) en (18), se obtiene que la ecuación diferencial que debe satisfacer $f ( \mu )$ es:

$$\frac {d^2f} {d \mu^2}+ \left(4 \delta \mu + \frac 1 { \mu... ...ac {df}{d \mu} + ( 4 \delta + C ) f + \frac A {\mu ^2 }f =0$$ (25)

Suponiendo posible para $f ( \mu )$ una expansión en serie de potencias:

$$f( \mu) = \sum_{\ell =0}^ \infty a_\ell\; \mu ^{\ell+s}$$ (26)

con [54] $a _ 0 \neq 0$, se obtiene la ecuación, indicial:

$$S^2 + A = 0$$ (27)

y la relación de recursión para los coeficientes $a_\ell$ :

$$a _{\ell + 2} = \frac { - [ 4\delta(\ell+S+1) + C ] } { (\ell+2) (\ell + 2S + 2)} \: a_ \ell$$ (28)

De las ecs. (13,11) se tiene que $A =\: - \frac {\alpha^2 }{\hbar^2 } = \: - \frac 1 { \hbar^2} ( \hbar K- \varepsilon )^2$ , por lo que, de la ec. (27), se obtiene:

$$S^2= \left(K - \frac\varepsilon{\hbar} \right)^2$$ (29)

La ec. (29) tiene las raíces:

$$S_1 = K - \frac\varepsilon{\hbar}$$ (30)

$$S_2 = - K + \frac\varepsilon{\hbar}$$ (31)

Al considerar las potencias de $\mu$ que aparecen al substituir (26) en (25), se tiene, para el coeficiente de $\mu \; (\ell = 1), \left[(s + 1)^2 + A\right] a_1 = 0$, pero, de (27), ésto implica que $a_1 =0$, lo cual implica, de (28), que todos los coeficientes de índice impar son $0$.

Entonces, la solución general de (25) se puede escribir en la forma [59]:

i)

Para $S_1,\; S_2 \; \ni \; S_1 - S_2 \neq p$ con $p$ un entero:

$$f(\mu) = \beta_1 \mu^{s_1} \sum^\infty_{\ell = 0} a_{2\ell}... ...beta_2 \mu^{s_2} \sum^\infty_{\ell = 0} a_{2\ell} \mu^{2\ell}$$ (32)

con $\beta_1, \beta_2$ constantes.

ii)

Para $S_1, S_2 \; \ni \; S_1 - S_2 = p$, con $p$ entero, siendo $f_1 (\mu) = \sum^\infty_{\ell = 0} a_{2\ell}\;\mu^{2 \ell}$:

$$f(\mu) = \gamma_1 \mu^{s_1}(f_1 (\mu)\;\ell\mu (\mu)) + \mu^{s_2} \sum^\infty_{n = 0} \mbox{b}_n \mu^n$$ (33)

Con $\gamma_1$ una constante. Los coeficientes $b_n$ que aparecen en (33) son hallados [59] substituyendo (33) en (25).

De hecho, como se demostrará más adelante, $S_1 - S_2 = 2 (K - \frac \varepsilon{\hbar})$ es siempre un entero, por lo que la solución adecuada a (25) será de la forma (33).

Se estudiará ahora el comportamiento de la función $f_1 (\mu) = \sum^\infty_{\ell = 0} a_{2\ell} \mu^{2\ell}$; de dicho estudio y de uno similar para la solución correspondiente de la ec. (19), se obtendrá una fórmula para le energía.

De la ec. (28), se tiene que, para $\ell$ grande:

$$\frac{a_{\ell +2}}{a_\ell} \longrightarrow - \frac{4\delta}{\ell}$$ (34)

Pero, del estudio de la serie de potencias para $\mbox{{\Large$e$}}^{bx^2}$:

$$\mbox{{\Large$e$}}^{bx^2} = \sum^\infty_{n=0} \frac{b^n}{n!... ...} X^\ell = \sum^\infty_{\ell = 0 (\ell par)} d_\ell\;X^\ell$$ (35)

se tiene que, para $\ell$ grande:

$$\frac{d_{\ell + 2}}{d_\ell} \rightarrow \frac{2b}{\ell}$$ (36)

De las expresiones (34,36), se tiene que $f_1 (\mu)$ se comporta, esencialmente, como la función $\mbox{{\Large$e$}}^{-2 \delta \mu^2}$; pero, de la ec. (23), se tiene que $F ( \mu )$ se comporta, en este caso, como la función $\mbox{{\Large$e$}}^{-\delta \mu^2}$. Ya que (ec. (24)) $\delta < 0$, éste no es un comportamiento aceptable para $F ( \mu )$, si se quiere integrabilidad cuadrática de la función de onda. Entonces, para obtener un comportamiento de $F ( \mu )$ tal que se pueda tener integrabilidad cuadrática, es necesario cortar la serie para $f_1 (\mu)$ o sea, obtener polinomios de ella, para cada valor de $\ell$. Lo anterior es posible si y sólo si para un valor dado $n$ de $\ell,\;a_{n+2} = 0$ (en este caso, se obtiene un polinomio de grado $n$), ésto es posible si y sólo si (ec. (28)):

$$4\delta (n + s + 1) + C = 0$$ (37)

Haciendo para la ec. (19) el mismo análisis que para (28), se encuentra, si $q$ toma el papel que tenía $S$ para la ec. (25), que las ecuaciones correspondientes a (29,30,31,37) son:

$$q^2 = \left(K + \frac\varepsilon{\hbar}\right)^2$$ (38)

$$q_1 = K + \frac\varepsilon{\hbar}$$ (39)

$$q_2 = -\left(K + \frac\varepsilon{\hbar}\right)$$ (40)

$$4\delta (j + q + 1) + D = 0$$ (41)

De las ecs. (37,44,15,17,24), se obtiene la siguiente fórmula para la energía:

$$E_{n,j} = -\frac{2me^2_1\;e^2_2}{\hbar^2}\;\left\{\frac{1}{[(n + j + 2) + (s + q)]^2}\right\}$$ (42)

Ya que $n$ y $j$ pueden tomar cualquier valor entero par no-negativo, se tiene de la fórmula (42) que la energía toma valores negativos de módulo arbitrariamente grande cuando $S + q$ es próximo a un entero negativo de módulo mayor o igual que 2. Esto sugiere que la suma $S + q$ debe estar cuantizada de tal manera que lo anterior no suceda. Esta última cuantización no es implicada por (42), pues puede evitarse ese resultado físicamente absurdo si $S + q$ es un número tal que $\arrowvert S + q \arrowvert - P \ge \eta$, siendo $p$ un entero positivo y $\eta > 0$, sin embargo, esta condición no es nada conclusiva sobre $S + q$ y es muy artificial. De las ecs. (30, 31, 34, 40), se tiene que $S + q$ puede tomar los valores $\pm 2K, \pm 2 \frac{\varepsilon}{\hbar}$; entonces, la ec. (42) sugiere la cuantización de $K$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$.

Si $s$ y $q$ están cuantizados según lo anterior, $K$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$ lo están también. Sin embargo, como se dijo al principio de esta sección, esta cuantización no se puede obtener de las condiciones usuales de integrabilidad cuadrática de las funciones de onda y de la finitud de la densidad de corriente de probabilidad; la razón de ésto es que dichas condiciones definen tan sólo rangos de valores para $s$ y $q$, como se verá a continuación:

i)

Condición de integrabilidad cuadrática de las funciones de onda.

Esta condición es equivalente a uno de los requerimientos para que las funciones de onda formen un espacio de Hilbert: convierte a su conjunto en un espacio métrico (el otro requerimiento se refiere a la completez de este espacio métrico). Tomando, por ejemplo, la función $f ( \mu )$ dada por (32) (la serie que allí aparece, según se vió, debe ser cortada en un polinomio) y, para la variable $\nu$, una solución semejante, se tiene, ya que al jacobiano en las coordenadas $[\mu, \nu, \phi]$ es [61] $\mu \nu (\mu^2 + \nu^2)$ que hay integrabilidad cuadrática para $S, q \ge 1$.

ii)

Condición de finitud de corriente de probabilidad.

Tomando la función $f ( \mu )$ dada por (32) de tal manera que al polinomio que aparece en el lugar de la serie se le llama $P_n (\mu)$ y considerando $\beta_2 = 0$ por simplicidad (para $\beta_2 \neq 0$ se obtiene el mismo resultado y se alargan las expresiones) y haciendo algo similar para la variable $\nu$ en cuyo caso se toma un polinomio $q_\ell (\nu)$ en el papel de $P_n (\mu)$, se tiene que:

Ya que la densidad de corriente de probabilidad se define como [57]

$$\overline{S} = - \frac{i \hbar}{2m} [\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*] \eqno{(42\mbox{-a})}$$

siendo $\psi$ la función de onda y por la expresión del gradiente [62] en las coordenadas $[\mu, \nu, \phi]$:

$$\nabla = \left [ \frac 1 { (\mu^2+ \nu^2)^ \frac 1 {2}} \;\... ... \frac 1 {\mu \nu }\; \frac \partial {\partial \phi} \right ]$$ (43)

Y tomando en cuenta que (con $S \equiv S_1,\; q \equiv q_1$):

$$\frac { \partial \psi } {\partial \mu} = \left ( 2 \delta \mu + \frac S {\mu} + \frac {P^1_n (\mu)} {P_n (\mu)} \right ) \psi$$ (44)

$$\frac { \partial \psi } {\partial \nu} = \left ( 2 \delta \nu + \frac q {\nu} + \frac {q^1_\ell (\nu)} {q_\ell (\nu)} \right )\psi$$ (45)

$$\frac { \partial \psi } {\partial \phi} = iK \psi$$ (46)

Se comprueba que, cuando $\mu \to 0$, hay finitud de $\overline S$ para $s \ge 1$; cuando $\nu \to 0$, hay finitud de $\overline S$ para $q \ge 1$.

Se ve entonces que, como se dijo anteriormente, la directa aplicación de las condiciones de integrabilidad cuadrática de la función de onda y de finitud de $\overline S$ no implican la cuantización de $\frac{\varepsilon}{\hbar}$, que es un resultado al cual se quiere llegar en forma esencial. En lugar de usar las expresiones para $\mbox{f} (\mu)$ (y las correspondientes para $\nu$) que se usaron, se pudo haber trabajado con las funciones del tipo (33), pero no se tiene ninguna razón aparente para rechazar a las que se usaron, pues dicho rechazo es a posteriori: después de demostrar la cuantización de $K$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$.

b) Solución de la ec. (18) por identificación con la ecuación confluente hipergeométrica.

Como se vió anteriormente, si se supone que $F (\mu) = \mbox{{\Large$e$}}^{\delta\mu^{2}} (\mbox{f} (\mu)), \mbox{f}(\mu)$ satisface la ecuación (25). Suponiendo ahora que:

$$\mbox{f} (\mu) = \mu^s g (\mu)$$ (47)

con $S$ dada por la ec. (27), se obtiene, substituyendo en (25), que $g (\mu)$ debe satisfacer la ecuación;

$$\frac{d^2 g}{d \mu^2} + \Big[\frac{2S + 1}{\mu} + 4\delta \mu\Big] \frac{d g}{d \mu} + [ 4\delta (S + 1) + C ] g = 0$$ (48)

Haciendo ahora el cambio de variable;

$$\xi = -8 \delta \mu^2$$ (49)

se obtiene ($S$ está dada por la ec. (24)) la ecuación:

$$\xi \frac{d^2 g}{d \xi^2} + [4\delta (S + 1) - \xi] \frac{... ...} - \Big[\frac{1}{2} (S + 1) + \frac{C}{8 \delta}\Big] g = 0$$ (50)

La ec. (50) es idéntica a la ecuación confluente hipergeométrica [65].

$$\xi \frac{d^2 \mu}{d \xi^2} + (\mbox{b} - \xi) \frac{d \mu}{d \xi} - a \mbox{u} = 0$$ (51)

Haciendo las indentificaciones:

$$\mbox{b} = 4(S + 1)$$ (52)

$$a = \frac{1}{2} (S + 1) + \frac{C}{8 \delta}$$ (53)

Entonces [63], la función $g$ se puede escribir en la forma general:

$$g(\xi) = \gamma_1 \Phi (a, b, \xi) + \gamma_2 \xi^{1-b} \Phi (a - b + 1, 2 - b, \xi) =$$

$$= \gamma_1 \Phi \left(\frac{1}{2} (S + 1) + \frac{C}{8 \delta}, 4(S + 1), \xi \right) +$$

$$+\gamma_2 \xi^{1-b} \Phi \left(-\frac{7}{2} (S + 1) + \frac{C}{8 \delta} + 1, 2 - 4(S + 1), \xi \right)$$ (54)

con $\gamma_1, \gamma_2$ constantes y:

$$\Phi (a, b, \xi) = \frac{\Gamma (b)}{\Gamma (a)} \sum^\... ...amma (a + \eta)}{\Gamma (b + \eta) \Gamma (n + 1)} \xi^\eta$$ (55)

Entonces, de las ecs. (49,47,23), se obtiene;

$$F (\mu) = \mbox{{\Large$e$}}^{\delta \mu^2} \mu^s g (-8 \delta \mu^2)$$ (56)

Del estudio del comportamiento de $\Phi (a, b, \xi)$ se encuentra [64] que sólo se puede cuantizar en el caso en que la serie (55) se reduce a un polinomio, lo cual sucede, siendo $K_1, K_2$ enteros positivos, para:

$$\mbox{b} \neq - K_1$$ (57)

$$a = - K_2$$ (58)

De las ecs. (53, 58) se obtiene:

$$\frac{1}{2} (S + 1) + \frac{C}{8 \delta} = - K_2$$ (59)

Se puede hacer un análisis análogo al anterior para la ec. (19), en cuyo caso, según se dijo anteriormente, sólo hay que hacer los cambios $A \leftrightarrow A_1, C \leftrightarrow D$: la ecuación análoga a (59) resultante es:

$$\frac{1}{2} (q + 1) + \frac{D}{8 \delta} = -\ell_2$$ (60)

Con $q$ dado por la ec. (38) y $\ell_2$ entero positivo. Usando las ecs. (59,60) y las definiciones (24,15,17) y llamando $n = 2K_2, j = 2\ell_2$, se obtiene una fórmula para la energía:

$$E = - \frac{2me^2_1 e^2_2}{\hbar^2}\left[\frac{1}{((n + j + 2) + (s + q))^2}\right]$$ (61)

Esta fórmula es idéntica a la obtenida anteriormente al resolver las ecs. (18,19) por series (lo cual es un resultado obligatorio). Sin embargo, ésto indica que de las condiciones comunes sobre el comportamiento de la función obtenida, no se obtienen resultados más completos que los que da el primer método de solución. En conclusión, la cuantización de $K$ y $\frac{\varepsilon}{\hbar}$ no puede obtenerse de propiedades directas de la función confluente hipergeométrica.

Como se ve, entonces, hay que utilizar otros métodos para obtener el resultado de cuantización deseado.