Analizando la regla $HighLife$ $R(2,3,3,6)$

La regla de evolución HighLife presenta comportamientos muy interesantes como se vio en la Sección 2.3, pero tiene la característica que desde cualquier configuración inicial aleatoria en su evolución no presenta comportamientos interesantes por si solo, como lo hace la regla Life.

El polinomio del campo promedio para la regla $R(2,3,3,6)$ queda como:

$$p_{t+1}=28p_{t}^{3}q_{t}^{6}+56p_{t}^{3}q_{t}^{6}+56p_{t}^{4}q_{t}^{5}+28p_{t}^{6}q_{t}^{3}$$ (3.4.7)

simplicando se tiene:

$$p_{t+1}=84p_{t}^{3}q_{t}^{6}+56p_{t}^{4}q_{t}^{5}+28p_{t}^{6}q_{t}^{3}.$$ (3.4.8)

Se puede suponer que la curva de probabilidad de HighLife debe ser mas alta que la de Life, ya que el intervalo entre $N_{min}$ y $N_{max}$ originan muchos nacimientos en cada generación, se gráfica su curva del campo promedio en la Figura 3.13.

Figura 3.13: Curva de probabilidad de la regla HighLife

La Figura 3.13 muestra la curva de probabilidad para la regla HighLife, nótese la existencia de dos puntos fijos, un punto fijo inestable aproximadamente en 0.17 que indica la existencia de comportamientos inpredecibles donde la densidad de las células es difícil de definir, el otro punto fijo estable se encuentra aproximadamente en 0.52 que indica la existencia de densidades uniformes en el espacio de evoluciones, es decir, la densidad de células que existe en ese momento se conservará con muy poca alteración en la siguiente generación, ahora comparemos la curva de HighLife con la curva de Life en la Figura 3.14.

Figura 3.14: Comparando HighLife con Life en el campo promedio

En la Figura 3.14 se puede ver que la probabilidad promedio de obtener 1's en el espacio de evoluciones de HighLife es mas alta que la de Life, también una diferencia importante es la existencia de un punto fijo estable que no existe en Life y que si existe en HighLife, este punto fijo estable determina que las configuraciones aleatorias $c_{i}$ con una densidad de células vivas en ese momento se mantendrá en las evoluciones siguientes y ésto provoca que se tenga un comportamiento uniforme a través del tiempo a partir del momento en que se alcanza una densidad que no variará en todo el tiempo en que sea evolucionado el autómata celular, es decir, no se tendrá la formación de regiones aisladas dentro del espacio de evoluciones por lo tanto HighLife no puede tener configuraciones complejas aleatoriamente, si puede crecer ilimitadamente, no puede desaparecer rápidamente y no puede crear gliders de manera natural y su densidad se mantiene uniforme a través del tiempo.

Esto es un problema importante en HighLife porque en el supuesto de que pudiera soportar comportamientos tan complejos como los que produce Life, entonces estas estructuras tendrían que construirse con mucho cuidado, sin embargo se han probado diversas densidades en varias configuraciones $c_{i}$ aleatorias, comprobando que el rango de densidades es un poco mas grande que el de Life.

Por ejemplo si en la regla de Life se trabajan con configuraciones aleatorias de densidades mayores o iguales a 0.8, es muy difícil obtener 1's en la siguiente generación prácticamente todas las configuraciones $c_{i}$ con esa densidad desaparecen en una evolución. Por otra parte si ambas reglas manejan densidades menores o iguales a 0.01 es poco probable que puedan llegarse a construir cualquier tipo de estructuras, aunque si se manejan densidades que se encuentren en el intervalo $0.03 < c_{i} < 0.1$ la regla de evolución Life puede llegar a generar varias de sus estructuras típicas y rápidamente establecer su densidad; por el contrario con la regla HighLife se obtienen estructuras que crecen rápidamente y en unas cuantas generaciones se cubre todo el plano sin mostrar algún patron o estructura interesante, además de que la variedad de estructuras fijas entre ambas reglas es muy notable.

Figura 3.15: Curva de probabilidad de la regla HighLife, segunda, tercera y cuarta generación

En la Figura 3.15 se muestran las curvas de probabilidad de HighLife para el comportamiento de las estados en el espacio de evoluciones bidimensional en la segunda, tercera y cuarta generación. A diferencia de Life la regla HighLife amplia el rango de probabilidad de la densidad promedio, donde este rango indica que el número de células que se encuentran vivas se mantendrán vivas en la siguiente generación y en otro paso mas las células vivas serán mas, hasta cubrir la mayor parte de el espacio $\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}$ pero sin cubrirlo por completo, a diferencia de Life la densidad promedio de células vivas se va acotando rápidamente lo que no sucede con HighLife.

Los autómatas celulares en dos dimensiones tienen una amplia variedad de reglas con comportamientos interesantes, por lo tanto HighLife no es la única variante de Life. Michael Magnier, Claude Lattaud y Jean-Claude Heudin en [38] presentan varias reglas de evolución que pueden soportar comportamientos complejos, caóticos, cíclicos o desaparecer rápidamente; algunas de ellas tienen sus propios gliders y estructuras periódicas como se ilustra en la Figura 3.16. El enfoque principal de este estudio es mostrar las clases de Wolfram que pueden existir en dos dimensiones, haciendo una comparación en cada una de las clases. Estos comportamientos pudieron ser reproducidos con los programas desarrollados en esta tesis.

Figura 3.16: Reglas complejas en dos dimensiones