Clases de Wolfram

La clasificación de Wolfram es de tipo fenotípico como lo discute Gutowitz en [26]. Se dice que es de tipo fenotípico porque su clasificación es realizada en base al comportamiento de las células a través del tiempo dentro del diagrama de evoluciones, es decir, en base a la observación.

• Clase I. Evolución a un estado constante.
• Clase II. Evolución a segmentos periódicos aislados.
• Clase III. Evolución que es siempre caótica.
• Clase IV. Evolución a segmentos caóticos aislados.

Figura 2.11: Clases de Wolfram

Los diagramas de evolución de la Figura 2.11 ilustran las clases de Wolfram, su clasificación la presentó en autómatas celulares de una dimensión, los autómatas celulares de la Figura 2.11 son autómatas celulares en una dimensión de diferentes ordenes, esta clasificación de tipo fenotípico es extendida a autómatas celulares de dos y tres dimensiones.

Esta clasificación no es general ya que pueden existir reglas de evolución que tienen comportamientos no triviales pero que se pueden describir perfectamente, por ejemplo un autómata celular reversible. Los autómatas celulares reversibles son autómatas que evolucionan con una regla de evolución y con esta regla se va construyendo su comportamiento en el espacio de evoluciones, pero este comportamiento puede ser reconstruido con una regla de evolución inversa, es decir, se puede reconstruir cada una de las configuraciones $c_{i}$ hacia atrás en el tiempo. Por lo tanto su transformación local tiene la característica de tener una correspondencia biyectiva en cada una de sus vecindades, es decir, de manera local y consecuentemente de manera global, ésto implica que existe una función inversa $\varphi^{-1}$ de la regla original $\varphi$ que es única como se ilustra en la Figura 2.12.

Figura 2.12: Autómata celular reversible en una dimensión

En la Figura 2.12 se ilustra un autómata celular reversible en una dimensión de orden $(k=6,r=h)$ donde $h=1/2$, es decir medio vecino a cada lado de la célula central, pero como eso no es posible se unen los dos medios vecinos en un solo vecino, por lo que se tiene una célula central y un vecino a la derecha que representa los dos medios vecinos. Los autómatas celulares con vecindades fraccionarias no son discutidos en esta tesis, tampoco los autómatas celulares reversibles, ni la representación hexadecimal de las reglas de evolución, únicamente se empleó como un ejemplo ilustrativo, para mas detalle de este tipo de autómatas celulares y representaciones puede consultarse el trabajo [33].

La complejidad en los autómatas celulares es muy difícil de describir, como se ilustró con el autómata celular reversible de la Figura 2.12, sin embargo varias contradicciones pueden ser encontradas en cada una de las clases que propone Wolfram.

La clase I se caracteriza porque a partir de cualquier configuración aleatoria al momento de aplicar la regla de evolución, rápidamente el espacio de evoluciones es dominado por un solo estado del conjunto $\Sigma$. Entonces ¿la clase I puede tener estructuras caóticas aisladas en su espacio de evoluciones?, como se ilustra en la Figura 2.13. Nótese que estas estructuras caóticas aisladas pueden evolucionar por un tiempo mayor y despues entrar a un comportamiento uniforme o dominado por un solo estado, dando una falsa información si el autómata celular puede ser clasificado como clase IV en vez de ser clasificado como clase I, por lo tanto se puede ver que a nivel fenotípico la clasifación no es del todo confiable ni general.

Figura: Autómata celular $(4,t)$ ¿clase I o clase IV?

La clase II se caracteriza porque a partir de cualquier configuración aleatoria se obtienen comportamientos periódicos desde las primeras generaciones y estos comportamientos periódicos se repiten hasta el infinito. Entonces ¿la clase II puede tener estructuras caóticas y despues de algunas generaciones tener un comportamiento periódico?, como se ilustra en la Figura 2.14.

Figura: Autómata celular $(2,5)$ ¿clase II o clase IV?

La Figura 2.14 muestra que este autómata celular tiene comportamientos caóticos al empezar a evolucionar la regla de evolución y despues de algunas generaciones entra en comportamientos periódicos.

Figura: Autómata celular $(5,1)$ ¿clase II o clase IV?

La evolución de la Figura 2.15 presenta comportamientos periódicos, también presenta estructuras caóticas aisladas, pero además nótese que estas estructuras caóticas aisladas pueden llegar a ser periódicas. En la clasificación de Wolfram este autómata celular sería del tipo clase II por tener comportamientos periódicos, pero es claro notar que algunas estructuras complejas pueden tener evoluciones muy largas y entonces esta regla de evolución ¿a que clase pertenece?.

Algunas reglas de evolución con comportamientos mas extremos y mas complejos se muestran en la Figura 2.16; cabe mencionar que estos ejemplos fueron hallados aleatoriamente.

Figura 2.16: Autómatas celulares de clases no definidas

La clasificación de Wolfram ha sido discutida y refutada por varios autores como en [3], [15], [23], [26], [39], [44] y [60], determinando que dicha clasificación no es general, inclusive se pueden encontrar diferencias a nivel fenotípico y ver que la clasificación de Wolfram no contiene todos los comportamientos posibles, porque existen autómatas celulares que no se encuentran clasificados en ninguna de las clases de Wolfram.

La clasificación en los autómatas celulares es mas compleja de lo que se puede suponer, como lo hace notar Culik en [15], la clasificación de los autómatas celulares es indecidible. Esta discrepancia en la clasificación de Wolfram puede ser llevada a autómatas celulares de dos y tres dimensiones, aunque es mas complicado tratar de encontrar aleatoriamente reglas de evolución con diferencias de tipo fenotípico. Los análisis estadísticos y probabilísticos tratan de ayudar a explicar parte de la complejidad de dichos autómatas celulares, la teoría del campo promedio permite diferenciar el comportamiento de las reglas de evolución sin llegar a una clasificación. Es importante notar que es útil tener un análisis analítico que permita caracterizar de alguna manera las reglas de evolución en los autómatas celulares y apoyarnos en las simulaciones para tener un mejor entendimiento de sus comportamientos, en lugar de tener un análisis fenotítipo únicamente.