Basados en la teoría de dinámica de fluídos

Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina.

Las ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos son las conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemá-tico irlandés George Stokes. El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente. A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar.

Los modelos basados en la teoría de dinámica de fluídos han sido desarrollados desde los 1950's y se han utilizado en la ciencia de tránsito con un éxito considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con enfoque macroscópico sobre el flujo de tránsito de autos se puede desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a derecha.

Sean $\rho (x,t)$ y $J(x,t)$ la densidad y el flujo en una posición arbitraria $x$ en un instante arbitrario de tiempo $t$. La ecuación de continuidad que relaciona a la densidad y el flujo del tránsito vehicular como un fluido en una carretera donde no hay ningun tipo de intersección es:

$$\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial J(x,t)}{\partial x} = 0.$$ (2.1)

Sin embargo, la ecuación 2.1 no se puede resolver debido a que existen dos funciones des-conocidas: $\rho (x,t)$ y $J(x,t)$. En uno de los primeros modelos para flujo de tránsito, Lighthill y Whitham asumen que la función $J(x,t)$ es determinada por la función $\rho (x,t)$, es decir, $J(x,t)$ = $J(c(x,t))$. Insertando esto en la ecuación de continuidad 2.1 se obtiene la ecuación denominada Lighthill-Whitham

$$\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} + vg \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial x} = 0,$$ (2.2)

donde $vg(\rho) = \frac{dJ(c)}{dc}$.

En los modelos basados en la teoría de dinámica de fluidos también se contempla la posibilidad de que surgan atascamientos mediante la incorporación de variables que representan elementos tales como presión del gas vehicular y viscosidad. También se incorpora la varianza de las velocidades como una variable adicional dependiente del espacio y del tiempo, haciendo una analogía con las ecuaciónes de Navier-Stokes para fluidos. Con esto se observa un comportamiento más realista de los atascamientos que se desarrollan.

Al igual que en la teoría cinética, existe un diagrama fundamental que indica de que manera se comporta el flujo bajo diferentes concentraciones o densidades.