Autómata $(4,1/2)$ Regla $F5A0F5A0$.

Ahora nuestro caso de estudio es un auómata de: 4 estados, radio de vecindad $r=1/2$, regla de evolución $F5A0F5A0$ y la regla inversa $EEEE4444$. Para este caso los índices de Welch tienen valores $L=2$ y $R=2$ tanto para la regla $F5A0F5A0$ como para la regla $EEEE4444$; que a continuación se muestran.

Tabla 4.22: Autómata $(4,1/2)$, regla $F5A0F5A0$ y regla $EEEE4444$

Regla F5A0F5A0

Regla EEEE4444

	0	1	2	3
0	0	0	2	2
1	1	1	3	3
2	0	0	2	2
3	1	1	3	3

	0	1	2	3
0	0	1	0	1
1	0	1	0	1
2	2	3	2	3
3	2	3	2	3

Los conjuntos $L_{F5A0F5A0}$ y $R_{F5A0F5A0}$ se presentan a continuación y como se ha dicho anteriormente, se obtuvieron de la misma forma que en el primer ejemplo.

Tabla 4.23: Conjuntos $L_{F5A0F5A0}$ y $R_{F5A0F5A0}$

$L_{F5A0F5A0}=\left\{ \begin{array}{cccc} \begin{array}{cccccc} \cline{1-4} \mu... ...multicolumn{4}{\vert c\vert}{3} \\ \cline{3-6} \end{array}\end{array}\right\}$

$R_{F5A0F5A0}=\left\{ \begin{array}{cccc} \begin{array}{cccccc} \cline{3-6} \mul... ...c\vert}{3}&\multicolumn{2}{c}{} \\ \cline{1-4} \end{array}\end{array}\right\}$

En ambos casos se cumple que $\vert L_{F5A0F5A0}\vert=Lk^{2r}=8$ y $\vert R_{F5A0F5A0}\vert=Rk^{2r}=8$. Tomemos los conjuntos $X=\{x_0,...,x_7\}$ y $Y=\{y_0,...,y_7\}$, y especifiquemos los siguientes mapeos $b_L$ y $b_R$.

Tabla 4.24: Mapeos $b_{L_{F5A0F5A0}}$ y $b_{R_{F5A0F5A0}}$

$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \\ \begin{array}{cccc} \begin{array}{ccccc... ...\\ \cline{1-4} \end{array}\rightarrow y_7 \end{array}\\ \\ \hline \end{array}$

Obtengamos las permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$.

Tabla 4.25: Permutaciones $\pi _1$ y $\pi _2$

Bloque		$\pi _1$
000	$\leftrightarrow$	$x_0y_0$
001	$\leftrightarrow$	$x_0y_2$
002	$\leftrightarrow$	$x_0y_4$
003	$\leftrightarrow$	$x_0y_6$
010	$\leftrightarrow$	$x_0y_1$
011	$\leftrightarrow$	$x_0y_3$
012	$\leftrightarrow$	$x_0y_5$
013	$\leftrightarrow$	$x_0y_7$

Bloque		$\pi _1$
020	$\leftrightarrow$	$x_1y_0$
021	$\leftrightarrow$	$x_1y_2$
022	$\leftrightarrow$	$x_1y_4$
023	$\leftrightarrow$	$x_1y_6$
030	$\leftrightarrow$	$x_1y_1$
031	$\leftrightarrow$	$x_1y_3$
032	$\leftrightarrow$	$x_1y_5$
033	$\leftrightarrow$	$x_1y_7$

Bloque		$\pi _1$
100	$\leftrightarrow$	$x_2y_0$
101	$\leftrightarrow$	$x_2y_2$
102	$\leftrightarrow$	$x_2y_4$
103	$\leftrightarrow$	$x_2y_6$
110	$\leftrightarrow$	$x_2y_1$
111	$\leftrightarrow$	$x_2y_3$
112	$\leftrightarrow$	$x_2y_5$
113	$\leftrightarrow$	$x_2y_7$

Bloque		$\pi _1$
120	$\leftrightarrow$	$x_3y_0$
121	$\leftrightarrow$	$x_3y_2$
122	$\leftrightarrow$	$x_3y_4$
123	$\leftrightarrow$	$x_3y_6$
130	$\leftrightarrow$	$x_3y_1$
131	$\leftrightarrow$	$x_3y_3$
132	$\leftrightarrow$	$x_3y_5$
133	$\leftrightarrow$	$x_3y_7$

Bloque		$\pi _1$
200	$\leftrightarrow$	$x_4y_0$
201	$\leftrightarrow$	$x_4y_2$
202	$\leftrightarrow$	$x_4y_4$
203	$\leftrightarrow$	$x_4y_6$
210	$\leftrightarrow$	$x_4y_1$
211	$\leftrightarrow$	$x_4y_3$
212	$\leftrightarrow$	$x_4y_5$
213	$\leftrightarrow$	$x_4y_7$

Bloque		$\pi _1$
220	$\leftrightarrow$	$x_5y_0$
221	$\leftrightarrow$	$x_5y_2$
222	$\leftrightarrow$	$x_5y_4$
223	$\leftrightarrow$	$x_5y_6$
230	$\leftrightarrow$	$x_5y_1$
231	$\leftrightarrow$	$x_5y_3$
232	$\leftrightarrow$	$x_5y_5$
233	$\leftrightarrow$	$x_5y_7$

Bloque		$\pi _1$
300	$\leftrightarrow$	$x_6y_0$
301	$\leftrightarrow$	$x_6y_2$
302	$\leftrightarrow$	$x_6y_4$
303	$\leftrightarrow$	$x_6y_6$
310	$\leftrightarrow$	$x_6y_1$
311	$\leftrightarrow$	$x_6y_3$
312	$\leftrightarrow$	$x_6y_5$
313	$\leftrightarrow$	$x_6y_7$

Bloque		$\pi _1$
320	$\leftrightarrow$	$x_7y_0$
321	$\leftrightarrow$	$x_7y_2$
322	$\leftrightarrow$	$x_7y_4$
323	$\leftrightarrow$	$x_7y_6$
330	$\leftrightarrow$	$x_7y_1$
331	$\leftrightarrow$	$x_7y_3$
332	$\leftrightarrow$	$x_7y_5$
333	$\leftrightarrow$	$x_7y_7$

Bloque		$\pi _2$
000	$\leftrightarrow$	$y_0x_0$
001	$\leftrightarrow$	$y_0x_2$
002	$\leftrightarrow$	$y_0x_1$
003	$\leftrightarrow$	$y_0x_3$
010	$\leftrightarrow$	$y_2x_0$
011	$\leftrightarrow$	$y_2x_2$
012	$\leftrightarrow$	$y_2x_1$
013	$\leftrightarrow$	$y_2x_3$

Bloque		$\pi _2$
020	$\leftrightarrow$	$y_0x_4$
021	$\leftrightarrow$	$y_0x_6$
022	$\leftrightarrow$	$y_0x_5$
023	$\leftrightarrow$	$y_0x_7$
030	$\leftrightarrow$	$y_2x_4$
031	$\leftrightarrow$	$y_2x_6$
032	$\leftrightarrow$	$y_2x_5$
033	$\leftrightarrow$	$y_2x_7$

Bloque		$\pi _2$
100	$\leftrightarrow$	$y_1x_0$
101	$\leftrightarrow$	$y_1x_2$
102	$\leftrightarrow$	$y_1x_1$
103	$\leftrightarrow$	$y_1x_3$
110	$\leftrightarrow$	$y_3x_0$
111	$\leftrightarrow$	$y_3x_2$
112	$\leftrightarrow$	$y_3x_1$
113	$\leftrightarrow$	$y_3x_3$

Bloque		$\pi _2$
120	$\leftrightarrow$	$y_1x_4$
121	$\leftrightarrow$	$y_1x_6$
122	$\leftrightarrow$	$y_1x_5$
123	$\leftrightarrow$	$y_1x_7$
130	$\leftrightarrow$	$y_3x_4$
131	$\leftrightarrow$	$y_3x_6$
132	$\leftrightarrow$	$y_3x_5$
133	$\leftrightarrow$	$y_3x_7$

Bloque		$\pi _2$
200	$\leftrightarrow$	$y_4x_0$
201	$\leftrightarrow$	$y_4x_2$
202	$\leftrightarrow$	$y_4x_1$
203	$\leftrightarrow$	$y_4x_3$
210	$\leftrightarrow$	$y_6x_0$
211	$\leftrightarrow$	$y_6x_2$
212	$\leftrightarrow$	$y_6x_1$
213	$\leftrightarrow$	$y_6x_3$

Bloque		$\pi _2$
220	$\leftrightarrow$	$y_4x_4$
221	$\leftrightarrow$	$y_4x_6$
222	$\leftrightarrow$	$y_4x_5$
223	$\leftrightarrow$	$y_4x_7$
230	$\leftrightarrow$	$y_6x_4$
231	$\leftrightarrow$	$y_6x_6$
232	$\leftrightarrow$	$y_6x_5$
233	$\leftrightarrow$	$y_6x_7$

Bloque		$\pi _2$
300	$\leftrightarrow$	$y_5x_0$
301	$\leftrightarrow$	$y_5x_2$
302	$\leftrightarrow$	$y_5x_1$
303	$\leftrightarrow$	$y_5x_3$
310	$\leftrightarrow$	$y_7x_0$
311	$\leftrightarrow$	$y_7x_2$
312	$\leftrightarrow$	$y_7x_1$
313	$\leftrightarrow$	$y_7x_3$

Bloque		$\pi _2$
320	$\leftrightarrow$	$y_5x_4$
321	$\leftrightarrow$	$y_5x_6$
322	$\leftrightarrow$	$y_5x_5$
323	$\leftrightarrow$	$y_5x_7$
330	$\leftrightarrow$	$y_7x_4$
331	$\leftrightarrow$	$y_7x_6$
332	$\leftrightarrow$	$y_7x_5$
333	$\leftrightarrow$	$y_7x_7$

Con una configuración aleatoria inicial, obtengamos $3$ evoluciones de este autómata y tratemos de reproducir el mismo resultado aplicando las permutaciones en bloque.

Figura 4.21: Autómata $(4,1/2)$ con regla de evolución $F5A0F5A0$, aplicando las permutaciones en bloque

Como en el ejemplo anterior, se obtuvo la misma evolución por las dos formas; observemos que al aplicar las permutaciones del instante $t_1$ al instante $t_2$, la permutación $p_1$ se efectuó en las mismas posiciones en que lo había hecho la permutación $p_2^{-1}$ del instante $t_0$ a $t_1$; esto se hizo para hacer más claro el diagrama pero no obedece a alguna condición necesaria, la permutación $p_1$ se puede empezar a aplicar en donde se quiera y el proceso funcionará igual siempre y cuando $p_2^{-1}$ se empiece a aplicar con un corrimiento igual a uno con respecto a $p_1$, lo que es similar a un corrimiento de tamaño $3r$ entre configuraciones.