Relación entre la Permutación $p_1$ y la Permutación $p_2$.

Como es de suponer existe una fuerte relación entre ambas permutaciones, ya que estan compuestas por los mismos conjuntos $L_\phi$ y $R_\phi$, pero jugando un distinto rol en ambos casos, mientras que para $\phi$ los bloques se forman por la concatenación $XY$, en $\phi ^{-1}$ la concatenación es $YX$; ademas, en el primer caso $L_\phi$ representa extremos izquierdos y en el segundo forman extremos derechos, cuestión que es análoga para $R_\phi$.

Para $r=1/2$, a cada bloque de $6r=3$ células le corresponde dos permutaciones, dependiendo de su evolución; para $(0 \leq i < Lk$ y $(0 \leq j < Rk)$ con $\vert K\vert=k$, tenemos que $p_1$ se especifica como indica la construcción en la Figura 5.6.

Figura 5.6: Permutación $p_1$ que se especifica con los bloques $(a_le_l)$ y $(a_re_r)$

En la Figura 5.6; se observa que $(a_le_l) \in L_\phi$ y $(a_r,e_r) \in R_\phi$. Ahora, para la construcción de la Figura 5.7, $p_2$ funciona de la siguiente manera:

Figura 5.7: Permutación $p_2$ que se especifica con los bloques $(e_ra_r)$ y $(e_la_l)$

Como indica la Figura 5.7; se cumple que $(e_ra_r) \in L_{\phi^{-1}} = R_\phi$ y $(e_l,a_l) \in R_{\phi^{-1}} = L_\phi$. De esta manera concluimos que las permutaciones $p_1$ y $p_2$ varían dependiendo del papel que jueguen $(a_l, a_r, e_l, e_r)$, ya sea como parte de los ancestros o como evolución.