Eigenvalores y eigenvectores de la matriz de movimiento

El siguiente paso es diagonalizar la matriz de movimiento $A$, para lo cual existen varios métodos de los cuales emplearemos el de Givens y el de Jacobi [8] en este trabajo. Para la obtención de los eigenvalores de la matriz de movimiento $A$ se parte de la ecuación que las contiene explícitamente y que esta dada por:

$$\ddot{Y} = A \ Y = \lambda \ Y$$ (I-7 )

Que para la partícula $i$ queda expresada como:

$$\frac{d^{2} Y_{i}}{dt^{2}} = \lambda_{i}Y_{i}$$

cuya solución general es del tipo:

$$Y_{i} = C_{1} \mbox{{\large e}}^{i\sqrt{\lambda}_{i}t} + C_{2}\mbox{{\large e}}^{-i\sqrt{\lambda}_{i}t}$$ (I-8 )

Donde se sabe que la raíz cuadrada del eigenvalor $\lambda_{i}$ representa la frecuencia temporal o característica con que vibrará la partícula ``i''.

Debido a que en la cadena la partícula ``i'' interacciona con sus segundos vecinos; esta frecuencia de la partícula ``i'' es la frecuencia de algunos de los modos normales de vibración de la cadena, ya que de la ecuación (I-6) se puede ver que a cada eigenvalor $\lambda_{i}$ de la matriz $A$ le corresponde un eigenvector $X_{i}$; por lo tanto la interpretación física que se les da a la raíz cuadrada de los eigenvalores de la matriz de movimiento es que representan a las frecuencias características de la cadena y los eigenvectores $X_{i}$ los modos normales de vibración.

Tomando en cuenta que a cada modo normal le corresponde una frecuencia característica.