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Conmutadores y desviaciones geodésicas

Sea ${\bf v}\in\mathbb{R}^4$ un vector de velocidad y sea ${\bf p}\in\mathbb{R}^4$ uno de momento. Entonces, la energía está dada como $e=-{\bf v}\cdot{\bf p}$. Consideremos el $(2,0)$-tensor $\overline{h} = G^{-1} + {\bf v}\otimes{\bf v}$ con componentes $\overline{h}_{ij} = \overline{g}_{ij} + v_iv_j.$ Al considerar el $(0,2)$-tensor $h$ con componentes $h_{ij} = \sum_{k,\ell=0}^3g_{ki}g_{\ell j}\overline{h}_{k\ell}$, se tiene $\sum_{i=0}^3h_{ij}v_i = 0 = \sum_{j=0}^3h_{ij}v_j$. Por tanto $\overline{h}$ y $h$ tienen como arreglo de componentes a $\mbox{diag}[1 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0]$. Se tendrá entonces ${\bf p} = e{\bf v} + Gh({\bf p})$, y ésta es una descomposición del momento ${\bf p}$ como una suma de una componente paralela a ${\bf v}$ y otra ortogonal a ${\bf v}$.

Sea $E=\left({\bf e}_j\right)_{j=0}^3$ la base canónica de $\mathbb{R}^4$, que es ortonormal respecto a la métrica de Minkowski $G=\left(g_{ij}\right)_{i,j\in[\![0,3]\!]}$. Sea $F=\left({\bf f}_j\right)_{j=0}^3$ otra base ortonormal respecto a $G$ tal que el cuarto vector ${\bf f}_3$ coincida con el cuarto de la base canónica $(0,0,0,1)$. Entonces ${\bf f}_3^TG{\bf f}_3=-1$ y los primeros tres vectores constituyen una base ortonormal en el espacio de tres dimensiones. La base $F$ es una cuarteta de observador. Sea $\phi=(x_0,x_1,x_2,x_3)$ el sistema de coordenadas respecto a la base $E$. Entonces $\forall{\bf x}\in\mathbb{R}^4$: ${\bf x}=\sum_{j=0}^3 x_j{\bf e}_j$. En consecuencia, el elemento de longitud es $dx=\sum_{j=0}^3 dx_j\,{\bf e}_j$, y el de superficie es tal que $(ds)^2 = (dx)^TGdx = \sum_{i,j=0}^3 g_{ij}\,dx_i\,dx_j$. De acuerdo con la fórmula de cambio de bases (2.1), si $E=FL$ entonces $\forall{\bf x}\in\mathbb{R}^4$, ${\bf u} = L{\bf x}$ donde ${\bf u}$ son las coordenadas respecto a $F$. El producto escalar $({\bf x}_0,{\bf x}_1)\mapsto\left\langle {\bf x}_0 \vert {\bf x}_1 \right\rangle ={\bf x}_0^TG{\bf x}_1$ es independiente de las coordenadas: ${\bf u}_0^TG{\bf u}_1 = {\bf x}_0^TL^TGL{\bf x}_1 = {\bf x}_0^TG{\bf x}_1.$

Generalizando la relación (10.4), para dos vectores ${\bf u},{\bf v}\in T_p$ definamos

$$[\nabla_{\bf u},\nabla_{\bf v}]= (\nabla_{\bf u}\nabla_{\bf v} - \nabla_{\bf v}\nabla_{\bf u})$$

o equivalentemente, utilizando (7.5),

$$[\nabla_{\bf u},\nabla_{\bf v}]= \sum_{i,j\in[\![0,3]\!]}\lef... ... \sum_{i,j,k\in[\![0,3]\!]} (c_{i,jk} - c_{jik})u_iv_j\,dx_k.$$ (11.1)

De aquí se sigue que respecto a vectores en la base canónica, los conmutadores se anulan:

$$i\not=j\ ,\ {\bf u}={\bf e}_i\ ,\ {\bf v}={\bf e}_j\ \ \Longrightarrow\ \ [\nabla_{\bf u},\nabla_{\bf v}] = 0,$$

pero respecto a cualquier otra base ortonormal $F$:

$$i\not=j\ ,\ {\bf u}={\bf f}_i\ ,\ {\bf v}={\bf f}_j\ \ \Longr... ... u},\nabla_{\bf v}] = \sum_{k\in[\![0,3]\!]}\omega_{ijk}\,dx_k,$$

donde

$$\forall i,j,k\in[\![0,3]\!]:\ \omega_{ijk} = \sum_{i_1,j_1\in... ...ft(\partial_{i_1}\ell_{kj_1} - \partial_{j_1}\ell_{ki_1}\right)$$

y $L=\left(\ell_{ij}\right)_{i,j\in[\![0,3]\!]}$ es la matriz de cambio de base, $E=FL$.

De manera similar a (11.1), se define

$$[{\bf u},{\bf v}]= \sum_{i\in[\![0,3]\!]}\left(u_i\,\partial_i{\bf v} - v_i\,\partial_i{\bf u}\right).$$ (11.2)

Viendo en cada punto $p\in M$ al tensor de torsión, definido por (10.3), como una aplicación $T:T_p\times T_p\to T_p$ entonces se ha de tener

$$T({\bf u},{\bf v}) = \nabla_{\bf u}{\bf v} - \nabla_{\bf v}{\bf u} - [{\bf u},{\bf v}]$$ (11.3)

y el tensor de Riemann visto como una aplicación $R:T_p\times T_p\times T_p\to T_p$ queda:

$$R({\bf u},{\bf v},{\bf w}) = \nabla_{\bf u}\nabla_{\bf v}{\b... ... v}\nabla_{\bf u}{\bf w} - \nabla_{[{\bf u},{\bf v}]}{\bf w}.$$ (11.4)

Sea $M$ una $C^k$-variedad de dimensión $n$, con sistema de coordenadas $\phi={\bf x}=(x_0,\ldots,x_{n-1})$, y sea $\left(\gamma_s\right)_{s\in\mathbb{R}}$ una familia de geodésicas tales que

• no se cruzan: $\left[s_0\not=s_1\ \Longrightarrow\ \forall t\in\mathbb{R}:\ \gamma_{s_0}(t)\not=\gamma_{s_1}(t)\right]$, y
• la transformación $\gamma:\mathbb{R}^2\to M$, $(s,t)\mapsto\gamma(s,t)=\gamma_s(t)$ es diferenciable.

La imagen de $\gamma$ es naturalmente una variedad de dimensión 2 y los parámetros $s$ y $t$ forman propiamente un sistema de coordenadas en ella. Se tiene que ${\bf t}=\partial_t{\bf x}$ es el campo de vectores tangentes y ${\bf s}=\partial_s{\bf x}$ el de vectores de desviación. La velocidad relativa de las geodésicas se define como ${\bf v}=\sum_{i=0}^{n-1}\partial_tx_i\,\nabla_i{\bf s}$ y la aceleración relativa de las geodésicas como ${\bf a}=\sum_{i=0}^{n-1}\partial_tx_i\,\nabla_i{\bf v}=\sum_{i,j=0}^{n-1}\partial_tx_i\partial_tx_j\,\nabla_i\nabla_j{\bf s}.$

Por un lado, al ser ${\bf t}$ y ${\bf s}$ ortonormales, $[{\bf t},{\bf s}]={\bf0}$. Supongamos que la torsión de ${\bf t}$ y ${\bf s}$ es nula. De (11.3) se tiene $\nabla_{\bf t}{\bf s} = \nabla_{\bf s}{\bf t}$. Entonces:

$$\begin{eqnarray*} {\bf a} &=& \nabla_{\bf t}{\bf v} \\ &=& \nabla_{\bf t}(\nab... ...+ R({\bf s},{\bf t},{\bf t}) \\ &=& R({\bf s},{\bf t},{\bf t}) \end{eqnarray*}$$

pues, en efecto, $\nabla_{\bf t}\nabla_{\bf s}{\bf t} = - \sum_{i=0}^{n-1}\partial_s(\nabla_{\bf t}x_i)\,\nabla_i{\bf t}$ (hay que aplicar la Regla de Leibniz para comprobarlo), donde $R$ es el tensor de Riemann. La ecuación de desviación geodésica es pues

$${\bf a} = R({\bf s},{\bf t},{\bf t})$$ (11.5)

y asevera que la aceleración es proporcional a la curvatura del espacio.

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