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Ecuaciones estructurales

Sea $p\in M$ un punto en la variedad, y sea $G$ una métrica en el espacio tangente $T_p$. En éste, consideraremos la base dada por las derivadas direccionales $D=\left(\partial_i\right)_{i\in[\![0,n-1]\!]}$ y en el cotangente $T_p^*$ la base dada por las diferenciales $D^*=\left(\mbox{d}x_j\right)_{j\in[\![0,n-1]\!]}$, que es la base dual de la base de derivadas direccionales considerada en $T_p$. Se tiene que la base $D$ en $T_p$ es ortonormal en el sentido de que

$$\forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ \left\langle \partial_i \vert \partial_j \right\rangle _G = g_{ij},$$

donde $\left\langle \cdot \vert \cdot \right\rangle _G:({\bf u},{\bf v})\mapsto{\bf u}^TG{\bf v}$. Sea $E=\left({\bf e}_i\right)_{i\in[\![0,n-1]\!]}$ otra base de $T_p$. Expresemos a los elementos de la base inicial en términos de los de la nueva: $\partial_j = \sum_{i\in[\![0,n-1]\!]}e_{ij}{\bf e}_i$. Por la ortonormalidad de $D$:

$$\begin{eqnarray*} \forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ g_{ij} &=& \left\langle \partial... ...left\langle {\bf e}_{k_0} \vert {\bf e}_{k_1} \right\rangle _G. \end{eqnarray*}$$

Por tanto, si denotamos por $\tilde{\bf e}_j$ al vector columna de componentes $e_{ij}$ de $\partial_j$ respecto a la base $E$ se tiene

$$\forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ g_{ij} = \tilde{\bf e}_i^T H\tilde{\bf e}_j$$ (12.1)

donde

$$H=\left(\left\langle {\bf e}_{k_0} \vert {\bf e}_{k_1} \right\rangle _G\right)_{k_0,k_1\in[\![0,n-1]\!]}.$$

Por la relación (12.1) se dice que $H$ es el tensor raíz cuadrada de la métrica $G$.

Sea $\tilde{E}=\left[\tilde{\bf e}_0\ \ \cdots\ \ \tilde{\bf e}_{n-1}\right]$ la matriz cuyas columnas son los vectores columna $\tilde{\bf e}_j$. Sea ahora $E^*=\left({\bf e}^*_i\right)_{i\in[\![0,n-1]\!]}$ la base de $T^*_p$, dual de la base $E$. Entonces

$$\forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ \left\langle {\bf e}^*_i \vert {\bf e}_j \right\rangle = \delta_{ij}$$

por tanto la matriz $\tilde{E^*}=\left(\overline{e}_{ij}\right)_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$ que expresa a la base $D^*$ en términos de $E^*$ es tal que $\tilde{E^*}= \tilde{E}^{-1}$.

Si un vector ${\bf u}\in T_p$ se expresa por los vectores columna $\tilde{{\bf x}}$ e $\tilde{{\bf y}}$ respecto a las bases $D$ y $E$ respectivamente, se tiene $\tilde{{\bf y}} = \tilde{E}\tilde{{\bf x}}$, en concordancia con (2.1). Si $T\in{\cal T}^{(k,\ell)}$ es un tensor, entonces sus componentes se cambian, respecto a las bases iniciales y a las nuevas, similarmente a (3.3).

De manera general se puede suponer que los cambios de base están dados por transformaciones de Lorentz, $\tilde{E}=L$, o sea $L^TGL=G$.

Sea $T$ un $(2,2)$-tensor. Supongamos que el arreglo de componentes $\left(T_{ij,k\ell}\right)_{i,j,k,\ell\in[\![0,n-1]\!]}$ lo representa respecto a la base $D^*\otimes E^*\otimes D\otimes E$ (es pues un tensor representado en una base mixta). Al representarlo respecto a $E^*\otimes D^*\otimes E\otimes D$, las componentes se transforman, según (3.3), como:

$$\tilde{T}_{i'j',k'\ell'} = \sum_{i,j,k,\ell} \overline{e}_{i... ...ial_{x_k}y_{k'}\, \partial_{y_{\ell'}} x_{\ell}\ T_{ij,k\ell}$$ (12.2)

Ahora bien, si ${\bf u}=\sum_{j=0}^{n-1}u_j\,\partial_j$ es un vector en $T_p$, de manera similar a (7.4) y (7.5), su derivada covariante es el $(1,1)$-tensor

$$\nabla({\bf u}) = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \left(\nabla_iu_j\right)\,\mbox{d}x_i\otimes\partial_j$$

$$= \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \left[\partial_iu_j + \sum_{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij}\right]\,\mbox{d}x_i\otimes\partial_j$$

$$= \left[\mbox{d}x_0\ \ \cdots\ \ \mbox{d}x_{n-1}\right]\,M\, \left[\begin{array}{l} \partial_0\\ \vdots\\ \partial_{n-1} \end{array}\right]$$

$$= (\mbox{d}{\bf x})^T\,M\, \mbox{\boldmath$\partial$}_{\bf x} ,$$ (12.3)

donde $M = \left[\mu_{ij}\right]_{i,j,k\in[\![0,n-1]\!]}$ con

$$\mu_{ij} = \partial_iu_j + \sum_{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij} = \partial_iu_j + {\bf c}_{ij}^T{\bf u}.$$ (12.4)

Sea $\left(\omega_{i,jk}\right)_{i,j,k\in[\![0,n-1]\!]}$ el arreglo de componentes del tensor de conexión respecto a la base $D^*\otimes E\otimes E$. Sea ${\bf v}$ el vector columna que representa a ${\bf u}\in T_p$ respecto a la base $E$. Al hacer el cambio de bases, resulta ${\bf v}=\tilde{E}{\bf u}$, y (12.4) queda:

$$\mu_{ij}^{\mbox{\scriptsize nvo}} = \partial_{y_i}v_j + \mbo... ..._k)\right) + \mbox{\boldmath$\omega$}_{ij}^T\tilde{E}{\bf u}.$$ (12.5)

Como $E =\tilde{E}^{-1}\mbox{\boldmath$\partial$}_{\bf x}$ el análogo a (12.3) queda:

$$\nabla({\bf u}) = (\mbox{d}{\bf x})^T\,M^{\mbox{\scriptsize ... ...tsize nvo}}\,\tilde{E}^{-1}\mbox{\boldmath$\partial$}_{\bf x}$$ (12.6)

donde $M^{\mbox{\scriptsize nvo}} = \left[\mu_{ij}^{\mbox{\scriptsize nvo}}\right]_{i,j,k\in[\![0,n-1]\!]}$. Comparando (12.6) con (12.3) se tiene $M=M^{\mbox{\scriptsize nvo}}\,\tilde{E}^{-1}$, y al comparar (12.5) con (12.4) se obtiene

$$c_{i,jk} = \sum_{i_1=0}^{n-1} \left(\hspace{1em}\overline{e}... ...=0}^{n-1} \overline{e}_{ii_1}e_{kk_1}\omega_{j,i_1k_1}\right),$$ (12.7)

o equivalentemente

$$\omega_{i,jk} = \sum_{j_1=0}^{n-1} \left(-\overline{e}_{j_1k... ..._{k_1=0}^{n-1} e_{jk_1}\overline{e}_{kj_1}c_{k_1,ij_1}\right).$$ (12.8)

Se tiene de aquí que vale el postulado de la cuarteta (debido a que fue planteado inicialmente en un espacio-tiempo de dimensión 4):

$$\forall i,j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ \nabla_{i}e_{jk} = 0.$$

Si se pasa a una segunda base $E'$, al componer (12.8) (yendo de la base $E'$ a $D$) con (12.7) (yendo de la base $D$ a $E$) se tiene que el arreglo $\left(\omega'_{i,jk}\right)_{i,j,k\in[\![0,n-1]\!]}$ de componentes del tensor de conexión respecto a la base $D^*\otimes E'\otimes E'$ queda

$$\omega'_{i,jk} = -\sum_{i_1=0}^{n-1} \overline{e}_{i_1k}\,\p... ...j_1,k_1=0}^{n-1} e_{jj_1}\overline{e}_{kk_1}\omega_{i,j_1k_1}.$$ (12.9)

Por otro lado, si $A$ es un $(1,1)$-tensor y el arreglo de coeficientes $\left(a_{i,j}\right)_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$ lo representa respecto a una base $E^*\otimes E$, entonces sus derivadas covariantes quedan expresadas como

$$\forall i,j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ \nabla_i(a_{j,k}) = \partial... ...mega_{i,j\ell}a_{\ell,k} - \omega_{i,\ell k}a_{j,\ell} \right]$$ (12.10)

El $(1,1)$-tensor $A$ puede ser visto como una función lineal:

$$T_p\to {\cal T}^{(1,0)}\ ,\ {\bf x}\mapsto A({\bf x}) \mbox{ donde }A({\bf x}):{\bf y}^*\mapsto A({\bf y}^*;{\bf x}).$$ (12.11)

Como ${\cal T}^{(1,0)}\approx T_p$ mediante una identificación natural, se tiene que (12.11) determina de hecho una aplicación lineal $T_p\to T_p$, una $1$-forma vectorial. También $A$ puede ser visto como la aplicación lineal:

$$T_p^*\to {\cal T}^{(0,1)}\ ,\ {\bf y}^*\mapsto A({\bf y}^*) \mbox{ donde }A({\bf y}^*):{\bf x}\mapsto A({\bf y}^*;{\bf x}),$$ (12.12)

y ésta es de hecho una aplicación lineal $T_p^*\to T_p^*$, una $1$-forma funcional o covectorial.

Similamente, si $A=\left(a_{ijk,\ell}\right)_{i,j,k,\ell\in[\![0,n-1]\!]}$ es un arreglo que representa a un $(3,1)$-tensor $A$ respecto a una base $D^*\otimes D^*\otimes E^*\otimes E$ entonces éste determina una transformación lineal

$$A:(T_p^*)^2\to {\cal T}^{(1,1)}\ ,\ ({\bf y}_0^*,{\bf y}_1^*... ...y}_2^*\mapsto A({\bf y}_0^*,{\bf y}_1^*,{\bf y}_2^*;{\bf x}).$$ (12.13)

Sea $A\in{\cal T}^{(1,1)}$ un $(1,1)$-tensor representado en la base $D^*\otimes E$ por el arreglo $A=\left(a_{jk}\right)_{j,k\in[\![0,n-1]\!]}$ y veámoslo como una $1$-forma vectorial según (12.11). Su derivada exterior, un $(2,1)$-tensor, debería tener componentes

$$\forall i,j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ (\mbox{d}A)_{ij,k} = \partial_ia_{jk} - \partial_ja_{ik}.$$

Por razones de homogeneidad en los tensores involucrados, consideremos para cada $k\in[\![0,n-1]\!]$ el $(2,0)$-tensor $B_k = (\mbox{d}A)_k + \mbox{\boldmath$\omega$}_k\land A$, con $\mbox{\boldmath$\omega$}_k=\left(\omega_{i,kj}\right)_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$. De manera similar a (12.10), sus componentes han de ser

$$\forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ b_{ij,k} = \partial_ia_{jk} - ... ...mega_{i,k\ell}a_{j,\ell} - \omega_{j,k\ell}a_{i,\ell} \right].$$ (12.14)

En particular, cuando $A=\tilde{E}$ está dado por la matriz de cambio de base, $B_k$ ha de coincidir con el tensor de torsión $\mbox{\boldmath$\tau$}_k=\left(\tau_{ij,k}\right)_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$ definido por (10.3):

$$\mbox{\boldmath$\tau$}_k = (\mbox{d}\tilde{E})_k + \mbox{\boldmath$\omega$}_k\land \tilde{E}.$$ (12.15)

Y si $A=\mbox{\boldmath$\omega$}_{\ell}$ entonces $B_k$ va a coincidir con el tensor de Riemann cuyas componentes están definidas por (10.2):

$$R_{k\ell} = (\mbox{d}\mbox{\boldmath$\omega$}_{\ell})_k + \mbox{\boldmath$\omega$}_k\land\mbox{\boldmath$\omega$}_{\ell}.$$ (12.16)

Las relaciones (12.15) y (12.17) se llaman ecuaciones estructurales de Maurer-Cartan.

También de (12.14) puede obtenerse las relaciones siguientes:

$$\mbox{d}\mbox{\boldmath$\tau$}_k + \mbox{\boldmath$\omega$}_k\land \mbox{\boldmath$\tau$}_{\ell} = R_{k\ell} \land \tilde{E}$$ (12.17)

$$\mbox{d}R_{k\ell} + \mbox{\boldmath$\omega$}_k\land R_{m\ell} - R_{km}\land\mbox{\boldmath$\omega$}_{\ell} = 0%\\$$ (12.18)

la última de las cuales es una generalización de las identidades de Bianchi (10.7).

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