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Caracterización de mapas admisibles

Teorema 3.5   Sean $M$ una variedad $C^k$ y $(U,x,n)$ un mapa del espacio topológico $M$ (es decir $x$ es un homeomorfismo del abierto $U$ de $M$ sobre el abierto $x(U)$ de ${\mathbb{R}}^n$). $(U,x,n)$ será un mapa admisible de $M$ si y sólo si las aplicaciones $x \colon U \to x(U)$ y $x^{-1} \colon x(U) \to U$ son de clase $C^k$.

Demostración
De los ejemplos 5.1 y 5.2 se sigue que la condición del enunciado es necesaria para que $(U,x)$ sea un mapa admisible de $M$. Mostremos la suficiencia de dicha condición.

Supongamos que las aplicaciones $x \colon U \to x(U)$ y $x^{-1} \colon x(U) \to U$ son de clase $C^k$. Debemos probar que el mapa $(U,x)$ es compatible $C^k$ con cualquier mapa admisible de $M$. Sea, pues, $(V, y)$ un mapa admisible de $M$. Cabe suponer $V \cap U \ne \emptyset$. Deseamos mostrar que los cambios de mapas:

$$y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V) \quad {\rm y} \quad x \circ y^{-1} \colon y(U \cap V) \to x(U \cap V)$$

son de clase $C^k$.

Ahora bien, $x$ y $x^{-1}$ son de clase $C^k$ por hipótesis (luego son también de clase $C^k$ sus restricciones a sendos abiertos $U \cap V$ y $x(U \cap V)$. Las aplicaciones $y$ e $y^{-1}$ (y sus restricciones a sendos abiertos $U \cap V$ e $y(U \cap V)$) son de clase $C^k$ por los ejemplos 5.1 y 5.2. De ahí la conclusión por el teorema 5.3.2. $\quad\Box$

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