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Caracterización de isomorfismos $C^k$

Teorema 3.6   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$ y $\varphi$ un homeomorfismo del espacio topológico $M$ sobre el espacio topológico $N$.

$\varphi$ será un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$ si $\varphi \colon M \to N$ y $\varphi^{-1} \colon N \to M$ son aplicaciones de clase $C^k$.

Demostración

1. Supongamos que $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$.

   Sea $(U,x)$ un mapa admisible arbitrario de $M$. La hipótesis implica que $( \varphi (U), y= \colon x \circ \varphi^{-1})$ es un mapa admisible de $N$.

   La aplicación $\varphi$ leída en dichos mapas es:
   

   $$y \circ \varphi \circ x^{-1} = x \circ \varphi^{-1} \circ \varphi \circ x^{-1} = x \circ x^{-1} = {\cal I}_{x(U)}$$ (3)

   
   
   La aplicación $\varphi^{-1}$ leída en los mismos mapas es:
   

   $$x \circ \varphi^{-1} \circ y^{-1} = (x \circ \varphi^{-1} ) \circ (x \circ \varphi^{-1})^{-1} = {\cal I}_{x(U)}$$ (4)

   
   
   Puesto que ${\cal I}_{x(U)}$ es de clase $C^\infty$ las relaciones (3) y (4) muestran que $\varphi \colon M \to N$ y $\varphi^{-1} \colon N \to M$ son de clase $C^k$.
2. Recíprocamente supongamos que las aplicaciones $\varphi \colon M \to N$ y
   $\varphi^{-1} \colon N \to M$ son de clase $C^k$.

   Sea $(U,x)$ un mapa admisible arbitrario de $M$. Debemos probar que $(\varphi(U), x \circ \varphi^{-1})$ es un mapa admisible de $N$. En virtud del teorema 5.3.4, esto equivale a probar que las aplicaciones:
   

   $$x \circ \varphi^{-1} \colon \varphi(U) \to x(U) \quad {\rm y ... ...hi^{-1})^{-1} = \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to \varphi(U)$$
   
   
   son de clase $C^k$.

   Ahora bien $x$ y $x^{-1}$ son de clase $C^k$ por el teorema 5.3.4 (o, si se prefiere, por los ejemplos 5.1 y 5.2). $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ (y sus restricciones a sendos abiertos $U$ y $\varphi(U)$) son de clase $C^k$ por hipótesis. De ahí la conclusión por el teorema 5.3.2. $\quad\Box$

Agregaremos a esta sección unos resultados relativos a productos de variedades.

Para terminar hablaremos de aplicaciones de clase $C^k$ de variedades diferenciables en espacios afines normados no necesariamente de dimensión finita.

Lema 3.1   Sean $M_1,\, M_2$ variedades $C^k$ y sean $\mbox{\rm pr}_1 \colon M_1 \times M_2 \to M_1$ y $\mbox{\rm pr}_2 \colon M_1 \times M_2 \to M_2$ las correspondientes proyecciones canónicas. Entonces $\mbox{\rm pr}_1$ y $\mbox{\rm pr}_2$ son aplicaciones de clase $C^k$.

Demostración
Sea $p = (p_1, p_2)$ un punto arbitrario de $M_1 \times M_2$. Sean $(V_1, y_1, n_1)$, $(V_2, y_2,n_2)$ mapas admisibles de sendas variedades $M_1,\, M_2$ en sendos puntos $p_1,\, p_2$. Entonces $(V_1 \times V_2 , y_1 \times y_2)$ es un mapa admisible de $M_1 \times M_2$ en el punto $p$. La aplicación $\mbox{\rm pr}_1$ transforma $V_1 \times V_2$ en $V_1$. $\mbox{\rm pr}_1$ leída en los mapas $(V_1 \times V_2 , y_1 \times y_2)$ y $(V_1 , y_1)$ es:

$$y_1 \circ \mbox{\rm pr}_1 \circ (y_1 \times y_2)^{-1} = y_1 \circ \mbox{\rm pr}_1 \circ (y_1^{-1} \times y_2^{-1})$$ (5)

Transforma todo punto $(y_1 (m_1), y_2(m_2))$ de

$$(y_1 \times y_2)(V_1 \times V_2)= y_1(V_1) \times y_2(V_2)$$

($m_1 \in V_1$, $m_2 \in V_2$) en $y_1(m_1)$. Así pues, la aplicación (5) no es otra que la restricción al abierto $y_1(V_1) \times y_2(V_2)$ de ${\mathbb{R}}^{n_1 + n_2}$ de la proyección canónica $\pi \colon {\mathbb{R}}^{n_1 + n_2} \to {\mathbb{R}}^{n_1}$. $\pi$ es de clase $C^\infty$. Luego $\mbox{\rm pr}_1$ es de clase $C^k$.

Asimismo, se demuestra que $\mbox{\rm pr}_2$ es de clase $C^k$. $\quad\Box$

Teorema 3.7   Sean $P,\ M_1 ,\ M_2$ variedades $C^k$ y sea $\varphi$ una aplicación $P \to M_1 \times M_2$. $\forall \, p \in P$ escribamos $\varphi(p) = (\varphi_1 (p), \varphi_2(p))$ con $\varphi_1 (p) \in M_1$ y $\varphi_2 (p) \in M_2$ o simplemente $\varphi= (\varphi_1,\varphi_2)$ con $\varphi_1 \colon P \to M_1$ y $\varphi_2 \colon P \to M_2$.

1. $\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in P$ si y sólo si $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son diferenciables en $m$.
2. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. $\varphi$ es de clase $C^j$ en $P$ si y sólo si $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son clase $C^j$ en $P$.

Demostración

1. Vale:
   

   $$\varphi_1 = \mbox{\rm pr}_1 \circ \varphi \quad {\rm y} \quad \varphi_2 = \mbox{\rm pr}_2 \circ \varphi$$ (6)

   
   
   1. Supongamos $\varphi$ es diferenciable en un punto $m \in M$. Por el lema 5.3.1 las aplicaciones $\mbox{\rm pr}_1$ y $\mbox{\rm pr}_2$ son de clase $C^k$; a fortiori son diferenciables en el punto $\varphi (m) \in M$. En virtud del teorema 5.2.4, las fórmulas (6) implican que $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son diferenciables en el punto $m \in P$.
   2. Sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$. Supongamos que $\varphi$ es de clase $C^j$ en $P$. Ya que $\mbox{\rm pr}_1$ y $\mbox{\rm pr}_2$ son de clase $C^k$, son a fortiori de clase $C^j$ en $M$. En virtud del teorema 5.3.2, las fórmulas (6) implican que $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son de clase $C^j$ en $P$.
2. Sea $m \in P$. Si $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son de clase $C^j$ en $P$ con algún $j \in [\![ 1, k ]\!]$ o si son meramente diferenciables en $m$, son continuas en $m$ en virtud del teorema 5.2.2. Adoptemos por el momento cualquiera de las dos hipótesis.

   Sean $(V_1, y_1 = (y_1^1 , \ldots, y_1^{n_1})), \, (V_2, y_2= (y_2^1, \ldots, y_2^{n_2}) )$ mapas admisibles arbitrarios de sendas variedades $M_1,\, M_2$ en sendos puntos $\varphi_1 (m)$, $\varphi_2(m)$. Luego $(V_1 \times V_2 , y_1 \times y_2)$ es un mapa admisible de la variedad $M$ en el punto $\varphi (m) = ( \varphi_1 (m), \varphi_2(m))$. Por continuidad de $\varphi_1$ y $\varphi_2$ en $m$ existen vecindades abiertas $U_1,\, U_2$ de $m$ tales que $\varphi_1 (U_1) \subset V_1$ y $\varphi_2 (U_2) \subset V_2$. Cabe suponer, por ejemplo, que $U_1$ es dominio de un mapa admisible de $P$. Sea $U= \colon U_1 \cap U_2$. $U$ es dominio de un mapa admisibles $(U,x)$ de la variedad $P$ en $m$. Además $\varphi_1 (U) \subset V_1$ y $\varphi_2 (U) \subset V_2$ de donde $\varphi (U) \subset V_1 \times V_2$.

   La aplicación $\varphi_1$ leída en los mapas $(U,x)$ de $P$ y $(V_1 , y_1)$ de $M_1$ es:
   

   $$y_1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1} = (y_1^1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1}, \ldots, y_1^{n_1} \circ \varphi_1 \circ x^{-1})$$ (7)

   
   
   La aplicación $\varphi_2$ leída en los mapas $(U,x)$ de $P$ y $(V_2, y_2)$ de $M_2$ es
   

   $$y_2 \circ \varphi_2 \circ x^{-1} = (y_2^1 \circ \varphi_2 \circ x^{-1}, \ldots, y_2^{n_2} \circ \varphi_2 \circ x^{-1})$$ (8)

   
   
   A su vez, la aplicación $\varphi$ leída en los mapas $(U,x)$ de $P$ y
   $(V_1 \times V_2 , y_1 \times y_2)$ de $M_1 \times M_2$ es:
   

   $$(y_1 \times y_2) \circ \varphi_1 \circ x^{-1} = (y_1^1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1} , \ldots, y_1^{n_1} \circ \varphi_1 \circ x^{-1};$$

   $$\ y_2^1 \circ \varphi_2 \circ x^{-1} , \ldots, y_2^{n_2} \circ \varphi_2 \circ x^{-1})$$ (9)

   
   
   1. Supongamos $\varphi_1$ y $\varphi_2$ diferenciables en el punto $m \in P$, o sea las funciones $y_1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1}$, $y_2 \circ \varphi_2 \circ x^{-1}$ diferenciables C.D. en el punto $x(m) \in x(U)$. Por el teorema 4.4.1 y las fórmulas (8) y (9), son diferenciables C.D. en $x(m)$ las funciones:
      

      $$\left. \begin{array}{l} y_1^1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1} ,... ...\circ x^{-1} \end{array}\right\} \colon x(U) \to {\mathbb{R}}$$ (10)

      
      
      Se sigue ahora de la fórmula (10) y del mismo teorema 4.4.1 que la aplicación $(y_1 \times y_2) \circ \varphi \circ x^{-1}$ es diferenciable C.D. en el punto $x(m)$, o sea, $\varphi$ es diferenciable en $m$.
   2. Finalmente, sea $j \in [\![ 1, k ]\!]$ y supongamos que las aplicaciones $\varphi_1$ y $\varphi_2$ son de clase $C^j$ en $P$. Luego las aplicaciones:
      
      $$y_1 \circ \varphi_1 \circ x^{-1} \colon x(U) \to y_1 (V_1)\ \... ...e }\ y_2 \circ \varphi_2 \circ x^{-1} \colon x(U) \to y_2 (V_2)$$
      
      
      son de clase $C^j$ (C.D.). En virtud del teorema 4.5.2, las fórmulas (7) y (8) implican que las funciones (10) son de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$, luego por (9) y el mismo teorema 4.5.2, la aplicación:
      
      $$(y_1 \times y_2) \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x(U) \to (y_1 \times y_2) (V_1 \times V_2) = y_1 (V_1) \times y_2(V_2)$$
      
      
      es de clase $C^j$ (C.D.) en $x(U)$. Esto prueba que $\varphi$ es de clase $C^j$ en $P$. $\quad\Box$

Corolario 3.1   Sean $M$, $N$, $P$ variedades $C^k$ y sea $\varphi \colon M \times N \to P$ una aplicación $C^k$. Para todo punto $q \in N$ sea $\varphi^q \colon M \to P$ la aplicación
$\varphi^q (r) = \colon \varphi(r,q)$ $\forall \, r \in M$ y para todo punto $p \in M$ sea $\varphi_p \colon N \to P$ la aplicación $\varphi_p (s) = \varphi (p,s)$ $\forall \, s \in N$. Las aplicaciones $\varphi^q$ y $\varphi_p$ (llamadas APLICACIONES PARCIALES de $\varphi$) son de clase $C^k$.

Demostración
Fijemos $q \in N$. Sea $\lambda \colon M \to M \times N$ la aplicación:

$$\lambda (r) = \colon (r, q) \quad \forall \, r \in M$$

La aplicación $r \mapsto r$ de $M$ en sí, es la identidad de $M$, luego es de clase $C^k$. La aplicación $r \mapsto q$ de $M$ en $N$ es constante, luego también es de clase $C^k$. Del teorema 5.3.7, se sigue que $\lambda \colon M \to M \times N$ es de clase $C^k$. Pero

$$\varphi^q = \varphi \circ \lambda \colon M \to P$$ (11)

Por ser $\lambda$ y $\varphi$ de clase $C^k$, la fórmula (11) entraña que $\varphi^q$ es de clase $C^k$.

Análogamente se prueba que $\varphi_p \colon N \to P$ es de clase $C^k$. $\quad\Box$

Corolario 3.2   Sean $M$, $N$, $P$, $Q$ variedades $C^k$. Consideremos unas aplicaciones $\varphi \colon M \to P$, $\psi \colon N \to Q$ y la aplicación $\varphi \times \psi \colon M \times N \to P \times Q$ dada por $(\varphi \times \psi)(m,n) = \colon (\varphi (m), \psi (n))$ o sea $\varphi \times \psi = ( \varphi \circ \mbox{\rm pr}_1, \psi \circ \mbox{\rm pr}_2)$ donde $\mbox{\rm pr}_1 \colon M \times N \to M$ y $\mbox{\rm pr}_2 \colon M \times N \to N$ son las proyecciones canónicas.

1. Si $\varphi$ y $\psi$ son diferenciables en sendos puntos $p \in M$, $q \in N$, la aplicación $\varphi \times \psi$ es diferenciable en el punto $(p,q) \in M \times N$.
2. Si $\varphi$ y $\psi$ son de clase $C^j$ ( $j \in [\![ 1, k ]\!]$), entonces la aplicación $\varphi \times \psi$ es de clase $C^j$.

Demostración
Al suponer $\varphi$ diferenciable en el punto $p \in M$ y $\psi$ es diferenciable en el punto $q \in N$, para probar que $\varphi \times \psi$ es diferenciable en el punto $(p,q) \in M \times N$, se debe probar, según el teorema 5.3.7, que las funciones $\varphi \circ \mbox{\rm pr}_1$ y $\psi \circ \mbox{\rm pr}_2$ son diferenciables en el punto $(p,q)$.

Al suponer $\varphi$ y $\psi$ de clase $C^j$, para probar que $\varphi \times \psi$ es de clase $C^j$, se debe probar, según el teorema 5.3.7, que las funciones $\varphi \circ \mbox{\rm pr}_1$ y $\psi \circ \mbox{\rm pr}_2$ son de clase $C^j$.

Ambas afirmaciones se siguen del lema 5.3.1 y del teorema 5.3.2. $\quad\Box$

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