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La esfera $S^n$

Sea $n \in {\mathbb{N}}$. Designamos por $S^n$ la esfera euclidiana de centro 0, de radio 1 en ${\mathbb{R}}^{n+1}$, o sea:

$$\fbox{${\displaystyle S^n = \left\{ \xi = (\xi^1, \ldots,\xi^... ...athbb R}^{n+1} \vert \sum_{i=1}^{n+1} (\xi^i)^2 = 1 \right\}}$}$$

La topología de $S^n$ será aquella inducida por la topología usual de ${\mathbb{R}}^{n+1}$.

$S^n$ es la imagen inversa del solo punto $1$ por la aplicación continua
$\xi \mapsto \sum_{i=1}^{n+1} {\xi^i}^2$ de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ en ${\mathbb{R}}$. Luego $S^n$ es un subconjunto cerrado de ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Es también obviamente acotado, luego, $S^n$ es un espacio compacto.

Sea $\Vert\cdot\Vert$ la norma euclidiana en ${\mathbb{R}}^{n+1}$. $S^n$ es la imagen de ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$ por la aplicación continua $\xi \mapsto {\xi \over \Vert \xi \Vert }$ de ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$ en ${\mathbb{R}}^{n+1}$. Si probamos que ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$ es un conjunto conexo, vendrá, pues, demostrado que lo es también $S^n$.

Observamos que si $p,\, q$ son puntos distintos de ${\mathbb{R}}^{n+1}$, el segmento:

$$[p,q]= \left\{ (1-t)p + tq \vert \, 0 \le t \le 1 \right\}$$

imagen homeomorfa del intervalo $[0,1]$ de ${\mathbb{R}}$ por la aplicación $t \mapsto (1-t) p + tq$, es un conjunto conexo. Sean $a,\, b$ puntos distintos de ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$.

1. Si $0 \notin [a,b]$, el segmento $[a,b]$ está contenido en ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$.
2. Supongamos $0 \in [a,b]$. Sea $c$ un punto de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ fuera de la recta ${\cal L}(a,b)$ (la recta que pasa por los puntos $a$, $b$). Las rectas ${\cal L}(a,c)$ y ${\cal L}(c,b)$ son distintas de ${\cal L}(a,b)$, luego los segmentos $[a,c]$ y $[c,b]$ y, por lo tanto, el conjunto conexo $[a,c] \cup [c,b]$ están contenidos en ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$.

En los dos casos a) y b) existe un conjunto conexo contenido en ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$, al cual pertenecen los puntos $a$ y $b$. Así pues, ${\mathbb{R}}^{n+1} - \{ 0 \}$ es un conjunto conexo, luego, $S^n$ es un espacio conexo.

Procedemos a construir sobre $S^n$ un atlas coherente $C^\infty$.

$\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ definamos las partes $U_i^+,\, U_i^-$ de $S^n$ como sigue:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} U_i^+ &= \colon& \l... ...on& \left\{ \xi \in S^n \vert \xi^i <0 \right\} \end{array}}$}$$

$U_i^+$ y $U_i^-$ son las intersecciones de $S^n$ con sendos semiespacios:

$$\{ \xi \in {\mathbb{R}}^{n+1} \vert \xi^i >0 \}\ \ \ ,\ \ \ \{ \xi \in {\mathbb{R}}^{n+1} \vert \xi^i < 0 \}.$$

Puesto que dichos semiespacios son conjuntos abiertos en ${\mathbb{R}}^{n+1}$, $U_i^+$ y $U_i^-$ son partes abiertas de $S^n$.

Sea $\xi$ un punto arbitrario de $S^n$. Puesto que $\sum_{i=1}^{n+1} (\xi^i)^2 = 1$,
$\exists \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ tal que $\xi^i \ne 0$, luego $\xi^i >0$ ó $\xi^i <0$. En el primer caso $\xi \in U_i^+$ y en el segundo caso $\xi \in U_i^-$. Por lo tanto: Los $(n+1)$ conjuntos $U_i^\epsilon$, $i \in [\![ 1,n+1 ]\!]$, $\epsilon = \pm 1$, constituyen un recubrimiento abierto de $S^n$.

Designamos por $B_n$ la bola euclidiana abierta de centro $0$ de radio $1$ en ${\mathbb{R}}^n$, o sea:

$$\fbox{${\displaystyle B_n = \colon \left\{ (t^1 ,\ldots,t^n) \in {\mathbb R}^n \vert \sum_{i=1}^n (t^i)^2 < 1 \right\}}$}$$

$\forall \, i [\![ 1,n+1 ]\!]$ y para $\epsilon = \pm 1$, definimos la aplicación $x_i^\epsilon \colon U_i^\epsilon \to B_n$ por:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \forall \, (\xi^1,\ldots, \xi^{n+... ...+1}) = (\xi^1,\ldots, \widehat{\xi^i}, \ldots, \xi^{n+1} )}$}}$$ (4)

El acento cirunflejo sobre $\xi^i$ indica que $\xi^i$ se debe omitir de la sucesión.

Por ser $(\xi^1,\ldots, \xi^{n+1})\in U_i^\epsilon$ se tiene $\sum_{i=1}^{n+1} (\xi^k)^2 = 1$ y $\xi^i \ne 0$, luego efectivamente:

$$(\xi^1,\ldots, \widehat{\xi^i},\ldots, \xi^{n+1}) \in B_n.$$

Dado un punto arbitrario $(t^1,\ldots,t^n) \in B_n$, existe un único punto
$(\xi^1,\ldots, \xi^{n+1})\in U_i^\epsilon$ tal que $x_i^\epsilon (\xi^1,\ldots, \xi^{n+1}) = (t^1,\ldots, t^n)$, a saber el punto:

$$\left( t^1, \ldots,t^{i-1}, \epsilon \sqrt{1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^{i},\ldots,t^n \right).$$

Así pues, la aplicación $x_i^\epsilon$ es una biyección de $U_i^\epsilon$ sobre la bola $B_n$. La aplicación inversa se define por: $\forall \, (t^1,\ldots,t^n) \in B_n$

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (x_i^\epsilon)^{-1}(t^1,\ldots,t^... ... \sqrt{ 1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2 }, t^i,\ldots,t^n \right)}$}}$$ (5)

La proyección $(\xi^1,\ldots, \xi^{n+1}) \mapsto (\xi^1,\ldots, \widehat{\xi^i},\ldots , \xi^{n+1}) \colon {\mathbb{R}}^{n+1} \to {\mathbb{R}}^n$ es una aplicación continua. Por la fórmula (4) la aplicación $x_i^\epsilon$ considerada como aplicación con valores en ${\mathbb{R}}^n$, restricción de dicha proyección al conjunto $U_i^\epsilon$, es también continua y sigue siendo continua, si la consideramos como una aplicación $U_i^\epsilon \to B_n$. La fórmula (4) muestra que $(x_i^\epsilon)^{-1}$ considerada ella como aplicación $B_n \to {\mathbb{R}}^{n+1}$ es continua. Sigue siendo continua, si la consideramos como aplicación $B_n \to U_i^\epsilon$. En resumidas cuentas:

$x_i^\epsilon$ es homeomorfismo de $U_i^\epsilon$ sobre el abierto $B_n$ de ${\mathbb{R}}^n$. La familia $\left( U_i^\epsilon, x_i^\epsilon, n\right)_{i \in [\![ 1,n+1 ]\!] }^{\epsilon = \pm 1}$ es pues un atlas sobre el espacio topológico $S^n$.

Consideremos los cambios de mapas:

$$\begin{eqnarray*} x_j^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1} &\colon& x_i^\epsilon (U_i^... ...on \cap U_j^\eta) \to x_i^\epsilon (U_i^\epsilon \cap U_j^\eta) \end{eqnarray*}$$

Cabe suponer $j >i$. Con esta hipótesis tenemos por las fórmulas (4) y (5):

$$\left( x_j^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1} \right) (t^1,\ldots, t^n)$$

$$= x_j^\eta (t^1,\ldots, t^{i-1}, \epsilon \sqrt{ 1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^i,\ldots, t^n)$$

$$= \left( t^1,\ldots, t^{i-1}, \epsilon \sqrt{ 1- \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^i,\ldots, \widehat{t^{j-1}}, \ldots, t^n \right)$$ (6)

$$\left( x_i^\epsilon \circ (x_j^\eta)^{-1} \right) (t^1,\ldots, t^n)$$

$$= x_i^\epsilon (t^1,\ldots, t^{j-1}, \eta \sqrt{ 1 - \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^j,\ldots, t^n)$$

$$= \left( t^1,\ldots,\widehat{t^{i}},t^{i+1},\ldots, t^{j-1}, \eta \sqrt{ 1- \sum_{k=1}^n (t^k)^2}, t^j,\ldots, t^n \right)$$ (7)

Ya que para $(t^1,\ldots,t^n) \in B_n$ vale $1- \sum_{k=1}^n (t^k)^2 >0$ las fórmulas (6) y (7) muestran que los cambios de mapas $x_j^\eta \circ (x_i^\epsilon)^{-1}$ y $x_i^\epsilon \circ (x_j^\eta)^{-1}$ son aplicaciones de clase $C^\infty$. En conclusión

El altas $\left( U_i^\epsilon, x_i^\epsilon, n \right)_{i \in [\![ 1,n ]\!]}^{\epsilon = \pm 1}$ es un atlas coherente $C^\infty$. Define sobre $S^n$ la estructura de una variedad $C^\infty$ de dimensión $n$.

Ésta se llama ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD DIFERENCIAL sobre $S^n$.

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