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La esfera
Sea
. Designamos por
la esfera euclidiana de centro 0, de
radio 1 en
, o sea:
La topología de
será aquella inducida por la topología usual de
.
es la imagen inversa del solo punto
por la aplicación continua
de
en
. Luego
es un subconjunto cerrado de
. Es también obviamente acotado, luego,
es un espacio compacto.
Sea
la norma euclidiana en
.
es la imagen
de
por la aplicación continua
de
en
.
Si probamos que
es un conjunto conexo, vendrá, pues, demostrado que
lo es también
.
Observamos que si
son puntos distintos de
, el segmento:
imagen homeomorfa del intervalo
de
por la aplicación
, es un conjunto conexo. Sean
puntos
distintos de
.
- Si
, el segmento
está contenido en
.
- Supongamos
. Sea
un punto de
fuera de la recta
(la recta que pasa por los puntos
,
). Las rectas
y
son distintas de
, luego
los segmentos
y
y, por lo tanto, el conjunto conexo
están contenidos en
.
En los dos casos a) y b) existe un conjunto conexo contenido en
, al cual pertenecen los puntos
y
. Así pues,
es un conjunto conexo, luego,
es un espacio conexo.
Procedemos a construir sobre
un atlas coherente
.
definamos las partes
de
como sigue:
y
son las intersecciones de
con sendos semiespacios:
Puesto
que dichos semiespacios son conjuntos abiertos en
,
y
son partes
abiertas de
.
Sea
un punto arbitrario de
. Puesto que
,
tal que
, luego
ó
. En el
primer caso
y en el segundo caso
. Por lo tanto:
Los
conjuntos
,
,
, constituyen
un recubrimiento abierto de
.
Designamos por
la bola euclidiana abierta de centro
de radio
en
, o sea:
y para
, definimos la aplicación
por:
 |
(4) |
El acento cirunflejo sobre
indica que
se debe omitir de la sucesión.
Por ser
se tiene
y
, luego efectivamente:
Dado un punto arbitrario
, existe un único punto
tal que
, a saber el
punto:
Así pues, la aplicación
es una biyección de
sobre
la bola
. La aplicación inversa se define por:
 |
(5) |
La proyección
es una aplicación continua. Por la fórmula (4) la aplicación
considerada como
aplicación con valores en
, restricción de dicha proyección al conjunto
, es también continua y sigue siendo continua, si la consideramos
como una aplicación
. La fórmula (4) muestra que
considerada ella como aplicación
es continua. Sigue siendo continua, si la
consideramos como aplicación
. En resumidas cuentas:
es homeomorfismo de
sobre el abierto
de
.
La familia
es pues
un atlas sobre el espacio topológico
.
Consideremos los cambios de mapas:
Cabe suponer
. Con esta hipótesis tenemos por las fórmulas (4) y (5):
Ya que para
vale
las fórmulas (6) y (7) muestran que los cambios de mapas
y
son aplicaciones de clase
.
En conclusión
El altas
es un atlas
coherente
. Define sobre
la estructura de una variedad
de dimensión
.
Ésta se llama ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD DIFERENCIAL sobre
.
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Guillermo M. Luna
2009-06-14