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El espacio proyectivo $P_n$

Si $p,\, q \in S^n$ escribimos $q \sim p$ si bien $q= p$ o bien $q= -p$ (en ${\mathbb{R}}^{n+1}$) o, como se dice, $p$ y $q$ son PUNTOS ANTIPODALES de la esfera $S^n$.

Se ve de inmediato que la relación ``$\sim$'' es una relación de equivalencia en el conjunto $S^n$. La designaremos por la letra $\rho$. Escribimos:

$$\fbox{${\displaystyle P_n = S_n /\rho}$}$$

por el espacio topológico cuociente del espacio $S^n$ por la relación de equivalencia $\rho$. $P_n$ se llama un ESPACIO PROYECTIVO.

Designamos por $\pi \colon S^n \to P_n$ la PROYECCIÓN CANÓNICA, vale decir:

$$\fbox{${\displaystyle \forall \, p \in S^n:\ \ \pi( p) = \colon\mbox{\rm clase de equivalencia de }p}$}$$

Se sabe de toplogía general que $\pi$ es una aplicación continua y superyectiva.

Afirmamos que en el caso considerado $\pi$ es también una aplicación abierta o, como se dice: $\rho$ es una RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ABIERTA EN EL ESPACIO $S^n$.

Para ello debemos probar que si $G$ es un abierto de $S^n$, $\pi (G)$ será un abierto en $P_n$, o sea, por definición de la topología de un espacio cuociente: $\pi^{-1} (\pi (G))$ es un abierto en $S^n$.

Ahora bien, $\pi^{-1} (\pi (G))$ es el saturado del conjunto $G$ en $S^n$, o sea
$\pi^{-1} (\pi (G)) = G \cup (-G)$. Siendo la aplicación $p \mapsto -p$ obviamente un homeomorfismo de $S^n$ sobre sí, el conjunto $-G$ y luego también $G \cup (-G)$ son conjuntos abiertos en $S^n$. Esto prueba nuestra aserción.

Puesto que $P_n = \pi (S^n)$ con $S^n$ conexa y $\pi$ aplicación continua: $P_n$ es un espacio conexo.

Probemos que $P_n$ es un espacio separado. Sean $\pi(p),\, \pi(q)$ puntos distintos de $P_n$, vale decir $p,\, q \in S^n$, $q \ne p$ y $q \ne -p$. Sea $r>0$ tal que:

$$r < {1 \over 2} \mbox{\rm M\'\i n }\, \left( d(q,p), d(q, -p)... ...rm M\'\i n }\left( \Vert q- p \Vert , \Vert q + p \Vert \right)$$

Aquí $\Vert\cdot\Vert$ es una norma (por ejemplo, la euclidiana) en ${\mathbb{R}}^{n+1}$ y $d$ es la distancia correspondiente. Por la elección de $r$, las bolas abiertas $B(p,r)$, $B(-p,r)$, $(B,q,r)$ en ${\mathbb{R}}^{n+1}$ son ajenas a pares. Por ser $\pi$ una aplicación abierta, los dos conjuntos:

$$\pi( B(p,r) \cap S^n)= \pi (B(-p,r) \cap S^n) \quad{\rm y }\quad \pi( B(q,r) \cap S^n)$$ (8)

son conjuntos abiertos en $P_n$. Contienen sendos puntos $\pi (p),\ \pi(q)$.

Afirmamos que los dos abiertos (8) son ajenos. De lo contrario tendrían en común un punto $\pi (u)$ con $u \in S^n$. $u$ será equivalente a un punto $v$ de $B(p,r) \cap S^n$ y a un punto $w$ de $B(q,r) \cap S^n$. Será, pues, $v \sim w$, lo que es absurdo, dado que ningún punto de $B(q,r) \cap S^n$ es equivalente a un punto de $B(p,r) \cap S^n$. Esta contradicción muestra que los dos conjuntos (8) son vecindades abiertas ajenas de sendos puntos $\pi (p)$, $\pi(q)$ de $P_n$. Así pues, efectivamente: $P_n$ es un espacio separado.

Ya que también $P_n$ es la imagen por la aplicación continua $\pi$ del espacio compacto $S^n$: $P_n$ es un espacio compacto (¡en el sentido de Bourbaki!).

Usando las notaciones del ejemplo 2 definamos $\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ un subconjunto $V_i$ de $P_n$ por:

$$\fbox{${\displaystyle V_i = \colon \pi(U_i^+) = \pi (U_i^-)}$}$$

De nuevo, por ser $\pi$ una aplicación abierta, la familia $(V_i)_{i\in [\![ 1, n+1 ]\!]}$ es un recubrimiento abierto del espacio $P_n$.

Sea $\pi_i^+$ la restricción de $\pi$ al abierto $U_i^+$ de $S^n$ considerada como aplicación $U_i^+ \to V_i$. Puesto que $U_i^+$ no contiene más de un punto en cada clase de equivalencia, $\pi_i^+$ es una biyección de $U_i^+$ sobre $V_i$. $\pi_i^+$ es continua y es también una aplicación abierta, pues, es la restricción de la aplicación abierta $\pi$ al abierto $U_i^+$ de $S^n$. En definitiva: $\pi_i^+$ es un homeomorfismo del abierto $U_i^+$ de $S^n$ sobre el abierto $V_i$ de $P_n$.

Definamos ahora $\forall \, i \in [\![ 1, n+1 ]\!]$ una aplicación $y_i \colon V_i \to B_n$ por:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle y_i = \colon x_i^+ \circ (\pi_i^+)^{-1}}$}}$$ (9)

Siendo $(\pi_i^+)^{-1}$ un homeomorfismo de $V_i$ sobre $U_i^+$ y $x_i^+$ un homeomorfismo de $U_i^+$ sobre $B_n$, $y_i$ es un homemorfismo de $V_i$ sobre el abierto $B_n$ de ${\mathbb{R}}^n$ o sea $(V_i, y_i, n)$ es un mapa del espacio topológico $P_n$.

Mostremos que el atlas $\left( V_i, y_i , n \right)_{i\in [\![ 1,n+1]\!]}$ es uno coherente $C^\infty$ sobre $P_n$.

Consideremos el cambio de mapas:

$$y_j \circ y_i^{-1} \colon x_i^+ (U_i^+ \cap U_j^+) = y_i(V_i \cap V_j) \to y_j(V_i \cap V_j) = x_j^+ (U_i^+ \cap U_j^+)$$

Por la fórmula (9), tenemos:

$$\begin{eqnarray*} y_j \circ y_i^{-1} &=& \left( x_j^+ \circ (\pi_j^+)^{-1} \rig... ...-1} \circ \pi_i^+ \circ (x_i^+ )^{-1} = x_j^+ \circ (x_i^+)^{-1} \end{eqnarray*}$$

Y esta aplicación es de clase $C^\infty$ en $x_i^+ (U_i^+ \cap U_j^+)$ por lo probado en el ejemplo 2. Así pues, efectivamente:

La familia $\left( V_i, y_i , n \right)_{i\in [\![ 1,n+1]\!]}$ es un atlas coherente $C^\infty$ sobre el espacio $P_n$.

Define sobre $P_n$ una estructura de variedad $C^\infty$ dicha la ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD DIFERENCIAL sobre $P_n$.

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