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Espacios afines normados de dimensión finita

Sean $\cal E$ un espacio afín normado real de dimensión finita $n$ y $E$ su espacio vectorial asociado. Sabemos del teorema 4.2.3 que todas las normas sobre $E$ definen la misma topología sobre el espacio afín $\cal E$, la ``topología natural'' de $\cal E$.

Sean $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ un referencial arbitrario de $\cal E$ y $x \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}^n$ la biyección:

$$x \left( I + \sum_{i= 1}^n t^i \vec{e}_i \right) = \colon (t^1,\ldots, t^n)$$ (1)

Sea $\Vert\cdot\Vert$ una norma arbitraria sobre el espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$. Sin pérdida de generalidad podemos adoptar sobre $E$ la norma que también designaremos por $\Vert\cdot\Vert$, definida por:

$$\left\Vert \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \right\Vert = \Vert (t^... ...n) \Vert \quad \forall \, (t^1, \ldots, t^n) \in {\mathbb{R}}^n$$

Si ${\displaystyle m = \colon I + \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i}$ y ${\displaystyle p = \colon I + \sum_{i=1}^n u^i \vec{e}_i}$ son puntos arbitrarios de $\cal E$ tenemos:

$$\begin{eqnarray*} \Vert p -m \Vert &=& \left\Vert \sum_{i=1}^n (u^i - t^i) \vec{... ... u^n) - (t^1,\ldots, t^n)\Vert \\ &=& \Vert x(p) - x(m) \Vert \end{eqnarray*}$$

Así pues, con nuestra elección de normas, la biyección $x$ definida por (1) es una isometría del espacio métrico $\cal E$ sobre el espacio métrico ${\mathbb{R}}^n$. A fortiori $x$ es un homeomorfismo de $\cal E$ sobre ${\mathbb{R}}^n$ (para las topologías naturales de estos espacios) o sea $({\cal E},x)$ es un mapa del espacio topológico $\cal E$.

Los mapas de $\cal E$ obtenidos de este modo mediante los referenciales de $\cal E$, los llamaremos los MAPAS AFINES de $\cal E$.

Teorema 4.1   Dos mapas afines arbitrarios sobre $\cal E$ son compatibles $C^\infty$.

Demostración
Desigaremos por $(\vec{\varepsilon}_1,\ldots, \vec{\varepsilon}_n)$ la base natural de ${\mathbb{R}}^n$. Sean $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una referencial en $\cal E$ y $L$ la única aplicación lineal de $E$ en ${\mathbb{R}}^n$ tal que $L \vec{e}_i = \vec{\varepsilon}_i \,\forall \, i \in [\![ 1,n ]\!]$.

Sea $({\cal E},x)$ el mapa afín de $\cal E$ definido por el referencial $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$. Vale:

$$x \left( I + \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i\right) = \sum_{i=1}^n... ...arepsilon}_i = 0 + L \left( \sum_{i=1}^n t^i \vec{e}_i \right)$$

Esta fórmula prueba que $x$ es una aplicación afín de $\cal E$ sobre ${\mathbb{R}}^n$ con $L = x_*$. Por el teorema 4.5.4, x es una aplicación de clase $C^\infty$ (C.D.) de $\cal E$ sobre ${\mathbb{R}}^n$.

Siendo $x$ de hecho un isomorfismo afín de $\cal E$ sobre ${\mathbb{R}}^n$, se sigue del teorema 4.1.7 que $x^{-1}$ es un isomorfismo afín de ${\mathbb{R}}^n$ sobre $\cal E$. De nuevo, por el teorema 4.5.4 $x^{-1}$ es una aplicación de clase $C^\infty$.

Sean ahora $({\cal E},x),\, ({\cal E},y)$ dos mapas afines de $\cal E$. Por lo probado, las aplicaciones $x \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}^n$, $y \colon {\cal E} \to {\mathbb{R}}^n$, $x^{-1} \colon {\mathbb{R}}^n \to {\cal E}$, $y^{-1} \colon {\mathbb{R}}^n \to {\cal E}$ son de clase $C^\infty$ (C.D.). Por el teorema 4.5.5 los cambios de mapas $y \circ x^{-1}$ y
$x \circ y^{-1} \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^n$ son de clase $C^\infty$. Se puede también observar que dichos cambios de mapas son isomorfismos afines de ${\mathbb{R}}^n$ sobre ${\mathbb{R}}^n$ y aplicar otra vez el teorema 4.5.4. Con ambos métodos viene probado que los mapas $({\cal E},x)$ y $({\cal E},y)$ son compatibles $C^\infty$. $\quad\Box$

Definición 4.1   Si $\cal E$ es un espacio afín normado de dimensión finita, todo atlas de $\cal E$ reducido a un solo mapa afín de $\cal E$ define sobre $\cal E$ una estructura de variedad $C^\infty$ independiente de la elección de dicho mapa afín.

Se llama la ESTRUCTURA NATURAL DE VARIEDAD $C^\infty$ sobre $\cal E$.

A menos de una indicación contraria, será la única considerada sobre $\cal E$.

Sobre los abiertos de $\cal E$ se considerará la correspondiente estructura de subvariedades abiertas.

Teorema 4.2   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de dimensiones finitas, $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal F$. $\varphi$ es diferenciable en un punto $m\in \cal S$ según la definición 5.2.1 si y sólo si $\varphi$ es diferenciable en $m$ (C.D.). Sea $k\in {\mathbb{N}}$ arbitrario. Entonces $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$ según la definición 5.2.2 si y sólo si $\varphi$ es de clase $C^k$ (C.D.).

Éste es un teorema de permanencia de las definiciones más fuerte que las observaciones después de los teorema 5.2.3 y 5.2.5.

Demostración
Usamos un mapa $({\cal S},x)$ de $\cal E$, restricción de un mapa afín de $\cal E$ y un mapa afín $({\cal F},y)$ de $\cal F$. Según la demostración del teorema 5.4.1 las aplicaciones $x \colon {\cal S} \to x({\cal S})$ e $y \colon {\cal F} \to {\mathbb{R}}^r$ y también $x^{-1}$ e $y^{-1}$ son de clase $C^\infty$ (C.D.). (Aquí $r= \colon \mbox{\rm dim }\cal F$.). La aplicación $\varphi$ leída en dichos mapas es:

$$\tilde{\varphi} = y \circ \varphi \circ x^{-1} \colon x({\cal S}) \to {\mathbb{R}}^r$$ (2)

Supongamos que $\varphi$ es diferenciable en $m$ (C.D.). Ya que $x^{-1}$ es diferenciable (C.D.) en $x(m)$ e $y$ es diferenciable C.D. en $\varphi(m)$ se sigue de (2) y del teorema 4.4.4 que $\tilde{\varphi}$ es diferenciable C.D. en $x(m)$. Vale decir, $\varphi$ es diferenciable en $m$ según la definición 5.2.1.

Si $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$ (C.D.) se sigue de (2) y del teorema 4.5.5, que $\tilde \varphi$ es de clase $C^k$ (C.D.) en $x({\cal S})$. Luego $\varphi$ es de clase $C^k$ según la definición 5.2.2.

La relación (2) puede escribirse equivalentemente:

$$\varphi = y^{-1} \circ \tilde{\varphi} \circ x$$ (3)

Supongamos $\varphi$ diferenciable en $m$ según la definición 5.2.1. Esto significa que $\tilde \varphi$ es diferenciable (C.D.) en $x(m)$. De la relación (3) y del teorema 4.4.4, deducimos que $\varphi$ es diferenciable en $m$ (C.D.).

Supongamos $\varphi$ de clase $C^k$ en $\cal S$ según la definición 5.2.2. Esto significa que $\tilde \varphi$ es de clase $C^k$ (C.D.) en $x({\cal S})$. Por (2) y el teorema 4.53 $\varphi$ es de clase $C^k$ (C.D.) en $\cal S$. $\quad\Box$

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