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Las variedades grassmanianas

Para la demostración de los resultados de topología general citados en este ejemplo referimos a [7] y [25]. Empezamos por recordar dos resultados sobre espacios topológicos cuocientes.

Resultado 1. Sean $X$ un espacio topológico, $\rho$ una relación de equivalencia en $X$ y $X/\rho$ el espacio topológico cuociente del espacio $X$ por la relación de equivalencia $\rho$. Sea $\pi \colon X \to X/\rho$ la proyección canónica. Sea $\varphi$ una aplicación de $X/\rho$ en un espacio topológico $Y$.

$\varphi$ es continua si y sólo si la aplicación $\varphi \circ \pi \colon X \to Y$ es continua.

$$\begin{array}{ccc} X&{\smash{ \mathop{\longrightarrow}\limit... ...{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle\varphi$}}$}&\\ Y&& \end{array}$$

Resultado 2. Con las notaciones del resultado 1. Sean $A$ una parte de $X$, $\rho_A$ la relación de equivalencia inducida por $\rho$ sobre $A$ y $\varpi$ la proyección canónica del espacio topológico $A$ sobre el espacio cuociente $A/\rho_A$. Sea $\pi_A$ la restricción de $\pi$ al conjunto $A$. Existe una única aplicación $\varphi \colon A/\rho_A \to \pi(A)$ que hace conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{ccc} A&{\smash{ \mathop{\longrightarrow}\limit... ...nter{\hbox{$\scriptstyle\varphi$}}$}&\\ A/\rho_A&& \end{array}$$

$\varphi$ es biyectiva. Por el resultado 1 $\varphi$ es continua. (Advertencia: En general $\varphi$ no es una homeomorfismo). Si A es un abierto saturado de $X$, $\varphi$ es un homeomorfismo de $A/\rho_A$ sobre $\pi(A)$.

Nota
La condición sobre $A$ en ese enunciado es meramente suficiente. Existe una condición necesaria y suficiente, pero aquí no la necesitamos.

Si $p,\, q \in {\mathbb{N}}$, designamos por ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ el conjunto de todos los subespacios vectoriales de dimensión $p$ en ${\mathbb{R}}^{p+q}$.

El objeto de este ejemplo es dotar ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ de una estructura de variedad $C^\infty$. Para determinar un elemento $S \in {\mbox{\sf G}}_{p,q}$ damos una base $(\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_p)$ de $S$. Ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle \vec{y}_k = \sum_{i=1}^{p+q} y_k^i \vec{e}_i}$}$$

donde $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_{p+q})$ es la base natural de ${\mathbb{R}}^{p+q}$.

La matriz ${\cal Y}= \colon \left( y_k^i \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le i \le p+q}$ es una matriz de tipo $(p+q) \times p$ de rango $p$.

Consideremos ahora otra base $(\vec{z}_1,\ldots, \vec{z}_p)$ de $S$ y sea ${\cal Z}= \colon \left( z_k^i \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le i \le p + q}$ la correspondiente matriz $(p+q) \times p$. Se verifican las relaciones de la forma:

$$\vec{z}_k = \sum_{j=1}^p a_k^j \vec{y}_j \quad k=1,\ldots, p$$ (10)

Aquí la matriz ${\cal A}= \colon \left( a_k^i \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le j \le p}$ es una matriz de tipo $p\times p$ inversible.

Al tomar las componentes de los dos miembros de (10) con respecto a la base natural $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_{p+q})$ de ${\mathbb{R}}^{p+q}$, obtenemos las relaciones equivalentes:

$$z_k^i = \sum_{j=1}^p y_j^i a_k^j \quad i=1,\ldots, p+q ;\quad k = 1, \ldots,p$$ (11)

En forma matricial las relaciones (11) rezan:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal Z} = {\cal YA}}$}$$

Designemos por ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ el conjunto de todas las matrices de tipo $(p+q) \times p$ de rango $p$.

Si ${\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ y $\cal A$ es una matriz de tipo $p\times p$ inversible, también ${\cal YA} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$.

Si ${\cal Z},\, {\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ escribamos ${\cal Z} \sim \cal Y$ si existe $\cal A$, matriz $p\times p$ inversible, tal que ${\cal Z} = \cal YA$.

1. La relación $\sim$ es reflexiva, pues, $\forall \, {\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$: ${\cal Y}= {\cal Y}{\cal I}_p$ donde ${\cal I}_p$ es la matriz unidad $p\times p$.
2. La relación $\sim$ es simétrica, pues, si ${\cal Z} = \cal YA$, vale también ${\cal Y} = {\cal ZA}^{-1}$ donde ${\cal A}^{-1}$ es una matriz $p\times p$ inversible.
3. La relación $\sim$ es transitiva, pues, si ${\cal Z} = \cal YA$ y ${\cal U} = \cal ZB$, con
   ${\cal Y},\, {\cal Z},\, {\cal U} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ y ${\cal A}$ y $\cal B$ matrices $p\times p$ inversibles, vale también, ${\cal U} = {\cal Y}( {\cal AB})$ donde $\cal AB$ es una matriz $p\times p$ inversible.

De a), b) y c) concluimos que $\sim$ es una relación de equivalencia en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. La llamamos $\rho$. Introducimos el conjunto cuociente ${\mbox{\sf H}}_{p,q}/\rho$ y la proyección canónica $\pi \colon {\mbox{\sf H}}_{p,q} \to {\mbox{\sf H}}_{p,q} / \rho$.

Vimos arriba que toda matriz ${\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ determina un subespacio de dimensión $p$ de ${\mathbb{R}}^{p+q}$, elemento de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$, a saber, la familia de las $p$ columnas de $\cal Y$ constituye una base de dicho subespacio. De las relaciones equivalentes (10) y (11) se desprende que dos matrices ${\cal Y},\, {\cal Z} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ determinan el mismo elemento de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ si y sólo si ${\cal Z} \sim \cal Y$ o sea $\pi ({\cal Z}) = \pi ({\cal Y})$. Dicho elemento de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ depende pues solamente de la clase de equivalencia $\pi ({\cal Y})$.

La aplicación que a $\pi ({\cal Y})$ le asigna el subespacio de ${\mathbb{R}}^{p+q}$ engendrado por las columnas de la matriz $\cal Y$, está, pues, bien definida y es una biyección del conjunto cuociente ${\mbox{\sf H}}_{p,q}/\rho$ sobre ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$. Mediante dicha biyección convenimos en identificar los dos últimos conjuntos y escribimos simplemente:

$$\fbox{${\displaystyle {\mbox{\sf G}}_{p,q}= {\mbox{\sf H}}_{p,q}/ \rho}$}$$

He aquí otro convenio que nos será bien útil en este ejemplo. El espacio vectorial ${\cal M}_{m \times n}$ de todas las matrices de tipo $m \times n$ de elementos en ${\mathbb{R}}$ lo identificamos con ${\mathbb{R}}^{nm}$ como sigue:

Si ${\cal A} \in {\cal M}_{m \times n}$ y ${\cal A}= \left( a_j^i \right)_{1 \le j \le n}^{1 \le i \le m}$, consideramos el índice superior $i$ como el ``primero'' de los índices $i,\, j$ y arreglamos los elementos $a_j^i$ lexicográficamente. Vale decir identificamos la matriz $\cal A$ con el elemento
$(a_1^1,\ldots, a_n^1,\ldots, a_1^m,\ldots, a_n^m)$ de ${\mathbb{R}}^{mn}$. Escribiremos:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal M}_{m\times n} \approx {\mathbb R}^{mn}}$}$$

Mediante este convenio ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ llega a ser una parte de ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$. Afirmamos:

Proposición 4.1   ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ es una parte abierta de ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$.

Demostración
Sea ${\cal X}\in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Ya que $\cal X$ considerado como matriz de tipo $(p+q) \times p$ es de rango $p$, por la ``consecuencia'' del teorema 1.4.19, $\cal X$ posee un menor de orden $p$ distinto de cero, o sea $\exists \alpha \subset [\![ 1, p+q ]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$ y el menor $X_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha$ de $\cal X$ es distinto de cero.

$\forall \, {\cal Y}\in {\cal M}_{(p+q)\times p} \approx {\mathbb{R}}^{(p+q)p}$ designamos por $Y_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha$ el correspondiente menor de la matriz $\cal Y$. La función ${\cal Y} \mapsto Y_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha \colon {\cal M}_{(p+q) \times p} \approx {\mathbb{R}}^{(p+q) p} \to {\mathbb{R}}$ es continua, pues, es una función polinomial en los elementos $y_j^i$ de la matriz $\cal Y$. Luego existe una vecindad $V$ del punto $\cal X$ en ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$ tal que $Y_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha \ne 0 \; \forall \, {\cal Y} \in V$. De ahí $V \subset {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ o sea ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ es una vecindad del punto $\cal X$ en ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$. Así viene probado que ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ es una vecindad de cualquiera de sus puntos, o sea, es un conjunto abierto. $\quad\Box$

De aquí en adelante consideraremos ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ como espacio topológico, a saber, lo consideraremos como provisto de la topología inducida por la (usual) de ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$ sobre ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ tratado como parte de ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$.

A su vez, consideraremos ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ como espacio topológico, a saber, el espacio cuociente del espacio topológico ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ por la relación de equivalencia $\rho$.

Proposición 4.2   La relación de equivalencia $\rho$ es una relación de equivalencia abierta en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$.

Demostración
Si $\cal A$ es una matriz $p\times p$ inversible, la aplicación $\delta_{\cal A} \colon {\cal X} \mapsto {\cal XA}$ es un homeomorfismo del ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ sobre sí (ver las relaciones (10) de este ejemplo). Luego si $G$ es un abierto en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$, $\delta_{\cal A} (G)$ es también un abierto en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. El saturado del conjunto $G$ es la reunión de todos los conjuntos $\delta_{\cal A} (G)$ cuando $\cal A$ recorre la colección de todas las matrices $p\times p$ inversibles. Dicho saturado es, pues, también abierto en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. $\quad\Box$

Resultado 3. Sean $X$ un espacio topológico y $\rho$ una relación de equivalencia abierta en $X$. El espacio topológico cuociente $X/\rho$ es un espacio separado si y sólo si la gráfica $\Gamma$ de la relación $\rho$ (es decir el conjunto de todos los pares $(x,y) \in X \times X$ tales que $x \sim y$ según $\rho$) es un conjunto cerrado es el espacio producto $X \times X$.

Proposición 4.3   ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ es un espacio separado.

Demostración
La gráfica $\Gamma$ de la relación de equivalencia abierta $\rho$ en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ es el conjunto:

$$\Gamma = \left\{ ({\cal X}, {\cal XA}) \Bigm\vert {\cal X} \i... ...\in {\cal M}_{p\times p},\, \mbox{\rm ran }{\cal A}= p \right\}$$

Debemos probar que $\Gamma$ es un conjunto cerrado en ${\mbox{\sf H}}_{p,q} \times {\mbox{\sf H}}_{p,q}$.

Ahora bien, ${\mbox{\sf H}}_{p,q} \times {\mbox{\sf H}}_{p,q}$ es un conjunto abierto en:

$${\cal M}_{(p+q) \times p} \times {\cal M}_{(p+q) \times p} \approx {\mathbb{R}}^{(p+q) p} \times {\mathbb{R}}^{(p+q)p}$$

luego es un espacio métrico (para cualquier norma sobre ${\mathbb{R}}^{(p+q)p} \times {\mathbb{R}}^{(p+q)p}$).

Basta, pues, mostrar que si $({\cal X}_\nu,{\cal X}_\nu {\cal A}_\nu)_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ es una sucesión en $\Gamma$ que converge en ${\mbox{\sf H}}_{p,q} \times {\mbox{\sf H}}_{p,q}$, como ahora lo suponemos, a un elemento $({\cal X}, {\cal U})$, entonces dicho elemento pertenece a $\Gamma$.

Nuestra hipótesis equivale a:

$$\lim_{\nu \to \infty} {\cal X}_\nu = {\cal X} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q} \ \ \ \mbox{\rm y }$$ (12)

$$\lim_{\nu \to \infty} ( {\cal X}_\nu {\cal A}_\nu) = {\cal U} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$$ (13)

Puesto que el rango de la matriz $\cal X$ es $p$, por la ``consecuencia'' del teorema 1.4.19, $\exists \alpha \subset [\![ 1, p+q ]\!]$ con $\vert \alpha \vert = p$, tal que la submatriz $\alpha ({\cal X})$ de $\cal X$ que consta de las filas de $\cal X$ cuyos índices están en $\alpha$, es una matriz inversible de tipo $p\times p$, o sea:

$$\mbox{\rm Det }\alpha({\cal X}) = X_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha \ne 0$$ (14)

Pero por (12) vale:

$$\lim_{\nu \to \infty} \alpha ({\cal X}_\nu) = \alpha ({\cal X})$$ (15)

de donde:

$$\lim_{\nu \to \infty} \mbox{\rm Det }\alpha ({\cal X}_\nu) = \mbox{\rm Det }\alpha ({\cal X})$$

De ahí y de (14): $\exists \nu_0 \in {\mathbb{N}}$ tal que $\nu \ge \nu_0 \Rightarrow \mbox{\rm Det }\alpha({\cal X}_\nu) \ne 0$.

O sea, para $\nu \ge \nu_0$, $\alpha ({\cal X}_\nu)$ es una matriz inversible $p\times p$.

De las relaciones (10) de este ejemplo, se sigue inmediatamente:

$$\alpha({\cal X}_\nu {\cal A}_\nu)= \alpha ({\cal X}_\nu){\cal A}_\nu.$$ (16)

Esto, junto con (13) implica:

$$\lim_{\nu \to \infty} \alpha ({\cal X}_\nu) {\cal A}_\nu = \alpha ({\cal U})$$

de donde:

$$\lim_{\nu \to \infty} {\cal A}_\nu= \lim_{\nu \to \infty} \al... ...X}_\nu){\cal A}_\nu) = \alpha ({\cal X})^{-1} \alpha ({\cal U})$$

Designemos por ${\cal A} \in {\cal M}_{p \times p}$ este límite. Volviendo a (13) obtenemos ahora:

$${\cal XA} = {\cal U} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$$

Si fuese $\mbox{\rm ran }{\cal A} < p$, la relación ${\cal U}= {\cal XA}$ implicaría que también $\mbox{\rm ran }{\cal U} < p$, cosa absurda, pues, ${\cal U} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Luego $\mbox{\rm ran }{\cal A}= p$ y finalmente:

$$({\cal X},{\cal U}) = ({\cal X}, {\cal XA}) \in \Gamma$$

$\quad\Box$

Observación
El espacio topológico ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ posee una base numerable de abiertos, o como diremos brevemente, es un ESPACIO DE BASE NUMERABLE.

En efecto, puesto que ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ se identifica con un abierto de ${\mathbb{R}}^{(p+q)p}$, ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ posee una base numerable de abiertos, digamos $(G_\nu)_{\nu \in {\mathbb{N}}}$. Por ser $\rho$ una relación de equivalencia abierta de los abiertos de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ son abiertas las imágenes de los abiertos ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Luego $(\pi (G_\nu))_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ es una base numerable de abiertos en ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$.

Resultado 4. Un espacio separado $X$ de base numerable es un espacio compacto si y sólo si toda sucesión en $X$ posee una subsucesión convergente en $X$.

Proposición 4.4   ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ es un espacio compacto.

Demostración
Sea $(S_\nu)_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ es una sucesión arbitraria en ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$. Trabajamos con el producto escalar canónico en ${\mathbb{R}}^{p+q}$:

$$\left( (t^1,\ldots, t^{p+q}) \Bigm\vert (u^1,\ldots, u^{p+q}) \right) = \sum_{i=1}^{p+q} t^i u^i$$

y la correspondiente norma euclidiana:

$$\Vert (t^1,\ldots, t^{p+q} \Vert = \left( \sum_{i=1}^{p+q} (t^1)^2 \right)^{1\over 2}$$

Sobre subespacios de ${\mathbb{R}}^{p+q}$ consideramos la estructura inducida de espacio vectorial euclidiano.

$\forall \, \nu \in {\mathbb{N}}$ sea $(\vec{u}_1^{(\nu)},\ldots, \vec{u}_p^{(\nu)})$ una base O.N. del subespacio $S_\nu$ de dimensión $p$ de ${\mathbb{R}}^{p+q}$. $\forall \, i \in [\![ 1, p ]\!]$ $\vec{u}_i$ es una columna de $p+q$ números reales. La matriz ${\cal Y}_\nu$ de tipo $(p+q) \times p$ de columnas $(\vec{u}_1^{(\nu)},\ldots, \vec{u}_p^{(\nu)})$ pertenece a ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ y $S_\nu = \pi ({\cal Y}_\nu)$. Puesto que $\Vert \vec{u}_i^{(\nu)} \Vert = 1 \; \forall \, \nu \in {\mathbb{N}},\, \forall \, i \in [\![ 1, p ]\!]$, los elementos de la matriz ${\cal Y}_\nu$ tienen valores absolutos menores o iguales a $1$, luego $({\cal Y}_\nu)_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ es una sucesión acotada en ${\cal M}_{(p + q)\times p} \approx {\mathbb{R}}^{(p+q)p}$. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión $({\cal Y}_{\lambda(\nu)})_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ que converge a un elemento $\cal Y$ de ${\cal M}_{(p+q) \times p}$.

$${\cal Y} = \lim_{\nu \to \infty} {\cal Y}_{\lambda (\nu)}$$ (17)

Sean $\vec{u}_1,\ldots, \vec{u}_p$ los vectores columnas de la matriz $\cal Y$. Tenemos $\forall \, i,\,j \in [\![ 1, p ]\!]$

$$(\vec{u}_i \bigm\vert \vec{u}_j) = \lim_{\nu \to \infty} (\vec{u}_i^\nu \bigm\vert \vec{u}_j^\nu ) = \delta_{ij}$$

Por lo tanto, $(\vec{u}_1,\ldots,\vec{u}_p)$ es una familia O.N. A fortiori es linealmente independiente en ${\mathbb{R}}^{p+q}$. Luego $\mbox{\rm ran }{\cal Y}=p$, o sea, ${\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Por la continuidad de la proyección $\pi \colon {\mbox{\sf H}}_{p,q} \to {\mbox{\sf G}}_{p,q}$ se sigue ahora de (17):

$$\pi( {\cal Y}) = \lim_{\nu \to \infty} \pi ({\cal Y}_{\lambda(\nu)}) = \lim_{\nu \to \infty} S_{\lambda(\nu)}$$

$(S_{\lambda(\nu)})_{\nu \in {\mathbb{N}}}$ es, pues, una subsucesión convergente en ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ de la sucesión $(S_\nu)_{\nu \in {\mathbb{N}}}$. Por el resultado 4. ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ es un espacio compacto. $\quad\Box$

Construcción de un atlas sobre ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$

Introducimos, o recordamos, las notaciones siguientes:

1. Si $\alpha \subset [\![ 1, p+q]\!]$ designaremos (como antes en el libro) por $\alpha^\prime$ el complemento de $\alpha$ con respecto a $[\![ 1, p+q]\!]$.
2. Sean ${\cal Y} \in{\cal M}_{(p+q) \times p}$ y $\alpha \subset [\![ 1, p+q]\!]$. Como ya hicimos en la demostración de la proposición 5.4.3, designaremos por $\alpha ({\cal Y})$ la submatriz de $\cal Y$ constituida por las filas de $\cal Y$ cuyos índices están en $\alpha$. De manera precisa si $\alpha = i_1,\ldots, i_r$ con $i_1< \ldots < i_r$ e ${\cal Y}= \left( y_k^i\right)_{1 \le k \le p}^{1 \le i \le p+q}$, se tiene:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \alpha ({\cal Y}) = \colon \left( y_k^{i_\lambda} \right)_{1 \le k \le p}^{1 \le \lambda \le r}}$}$$
   
   

Notamos que de las fórmulas (16) de este ejemplo se sigue que si
${\cal Y} \in{\cal M}_{(p+q) \times p}$, ${\cal A} \in {\cal M}_{p \times p}$ y $\alpha \subset [\![ 1, p+q]\!]$ vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \alpha ({\cal YA}) = \alpha ({\cal Y}) {\cal A}}$}}$$ (18)

Definición 4.2   Sea $\alpha \in [\![ 1, p+q]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$. Ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal V}_\alpha= \left\{ {\cal Y} \in {... ...s una matriz } p \times p \; \mbox{\rm inversible } \right\}}$}$$

Por la ``consecuencia'' del teorema1.4.19, la familia $\left({\cal V}_\alpha\right)_{\vert \alpha \vert = p}$ de cardinalidad $${ p+q \choose p}$$ es un recubrimiento de ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Ya que ${\cal V}_\alpha = \left\{ {\cal Y} \in {\mbox{\sf H}}_{p,q} \Bigm\vert Y_{[\![ 1,p]\!]}^\alpha \ne 0 \right\}$ y que la función $(\vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^{p}) \mapsto Y_{[\![ 1, p ]\!]}^\alpha$ es continua en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$, ${\cal V}_\alpha$ es un subconjunto abierto de ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$. Si ${\cal Y} \in {\cal V}_\alpha$ y $\cal A$ es una matriz $p\times p$ inversible se ve por la fórmula (18) que también ${\cal YA} \in {\cal V}_\alpha$. Por consiguiente $\forall \, \alpha \subset [\![ 1, p+q ]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$, ${\cal V}_\alpha$ es un abierto saturado en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$.

$\forall \, \alpha \subset [\![ 1, p+q ]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$ definimos:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal U}_\alpha = \colon \pi({\cal V}_\alpha)}$}$$

La familia $\left( {\cal U}_\alpha \right)_{\vert \alpha \vert = p}$ es un recubrimiento abierto de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$.

Proposición 4.5   Sea $\alpha \subset [\![ 1, p+q]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$. $\forall \, {\cal Y} \in {\cal V}_\alpha$ existe una única matriz ${\cal Y}_0 \in {\cal V}_\alpha$ equivalente a $\cal Y$ tal que $\alpha ({\cal Y}_0)= {\cal I}_p$ (matriz unidad $p\times p$). Si ${\cal Y},\, {\cal Z} \in {\cal V}_\alpha$ se tiene ${\cal Y}_0 = {\cal Z}_0$ si y sólo si ${\cal Y} \sim \cal Z$. Vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\cal Y}_0 = {\cal Y} \alpha ({\cal Y})^{-1}}$}}$$ (19)

Demostración
Toda matriz equivalente a $\cal Y$ es de la forma $\cal YA$ con ${\cal A} \in {\cal M}_{p \times p}$, inversible. Por la fórmula (18):

$$\alpha ({\cal YA}) = \alpha({\cal Y}){\cal A}$$

y esto valdrá ${\cal I}_p$ si y sólo si ${\cal A}= \alpha ({\cal Y})^{-1}$. La única ${\cal Y}_0$ anunciada es, pues, ${\cal Y}_0 = {\cal Y} \alpha ({\cal Y})^{-1}$. De la unicidad se sigue inmediatamente que ${\cal Y}_0 = {\cal Z}_0$ si y sólo si ${\cal Y} \sim {\cal Z}$. $\quad\Box$

Observación
Si ${\cal Y},\, {\cal Z} \in {\cal V}_\alpha$, claramente son equivalentes a pares las afirmaciones:

$$\begin{array}{rrcl} \mbox{\rm\em i)} & {\cal Y} &\sim& {\cal ... ...prime ({\cal Y}_0 ) &=& \alpha^\prime ({\cal Z}_0) \end{array}$$

Definición 4.3   Definimos la aplicación $\overline{x}_\alpha \colon {\cal V}_\alpha \to {\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$ por:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \overline{x}_\alpha ({\cal Y}) =\... ...ime ({\cal Y}_0)\quad \forall {\cal Y} \in {\cal V}_\alpha}$}}$$ (20)

Explícitamente (usando la fórmula (18)).

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \overline{x}_\alpha ({\cal Y}) =\... ...})^{-1}) = \alpha^\prime ({\cal Y}) \alpha ({\cal Y})^{-1}}$}}$$ (21)

Por la proposición 5.4.5, la aplicación $\overline{x}_\alpha$ es constante sobre toda clase de equivalencia. Existe, pues, una única aplicación $x_\alpha \colon {\cal U}_\alpha \to {\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{p+q}$ tal que:

$$x_\alpha (\pi ({\cal Y})) = \overline{x}_\alpha ({\cal Y}) \quad \forall \, {\cal Y} \in {\cal V}_\alpha$$

o sea, es conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{ccc} {\cal V}_\alpha&{\smash{ \mathop{\longrig... ...x{$\scriptstyle x_\alpha$}}$}&\\ {\cal U}_\alpha&& \end{array}$$

donde $\pi_\alpha$ es la restricción de la proyección $\pi$ a ${\cal V}_\alpha$.

Por la observación después de la proposición 5.4.5, la aplicación $x_\alpha$ es inyectiva.

Sea $\varphi_\alpha \colon {\cal M}_{q \times p} \to {\cal V}_\alpha$ la aplicación definida como sigue: Si ${\cal Z} \in {\cal M}_{q \times p}$, sea $\varphi_\alpha( {\cal Z})$ la matriz ${\cal Y} \in{\cal M}_{(p+q) \times p}$ tal que $\alpha ({\cal Y})= {\cal I}_p$ y $\alpha^\prime({\cal Y}) = {\cal Z}$. Claramente ${\cal Y} \in {\cal V}_\alpha$, vale ${\cal Y}= {\cal Y}_0$ y $\overline{x}_\alpha ({\cal Y})= \cal Z$. Vale, pues:

$$\overline{x}_\alpha \circ \varphi_\alpha = {\cal I}_{{\cal M... ...quad {\rm (la\ identidad\ de\ }{\cal M}_{q \times p}{\rm )\ }$$ (22)

De ahí se ve que la aplicación $\overline{x}_\alpha$ es superyectiva. Luego también $x_\alpha$ es superyectiva. En definitiva: $x_\alpha$ es una biyección de ${\cal U}_\alpha$ sobre ${\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$.

Proposición 4.6   $x_\alpha$ es un homeomorfismo del abierto ${\cal U}_\alpha$ de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ sobre ${\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$. Así pues, la familia $({\cal U}_\alpha , x_\alpha)_{\vert \alpha\vert=p}$ es un atlas sobre el espacio topológico ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$.

Demostración

A) Sea $\rho_\alpha$ la relación de equivalencia inducida por $\rho$ sobre ${\cal V}_\alpha$. Ya que ${\cal V}_\alpha$ es abierto saturado en ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$, por el resultado 2, ${\cal U}_\alpha$ puede identificarse como espacio topológico con el espacio cuociente ${\cal V}_\alpha / \rho_\alpha$ y $\pi_\alpha$ con la proyección canónica ${\cal V}_\alpha \to {\cal V}_\alpha / \rho_\alpha$.

En virtud del resultado 1 quedará probado que $x_\alpha$ es una aplicación continua, si mostramos que $\overline{x}_\alpha \colon {\cal V}_\alpha \to {\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$ es continua.

Pero por la relación (21) y la aplicación 2) del teorema 1.4.18 vemos que los elementos de la matriz $\overline{x}_\alpha({\cal Y})$, donde ${\cal Y} \in {\cal V}_\alpha$, son funciones racionales en los elementos de la matriz $\cal Y$, luego la aplicación $\overline{x}_\alpha$ es continua y también $x_\alpha \colon {\cal U}_\alpha \to {\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$ es continua.

B) La relación (22) puede escribirse equivalentemente:

$$x_\alpha \circ \pi_\alpha\circ \varphi_\alpha = {\cal I}_{{\cal M}_{q \times p}}$$

o sea:

$$x_\alpha^{-1} = \pi_\alpha \circ \varphi_\alpha$$ (23)

Ya que $\pi_\alpha$ es continua y también lo es patentemente $\varphi_\alpha$, se sigue de (23) que también $x_\alpha^{-1}$ es continua.

De A) y B) resulta que la aplicación $x_\alpha$ es un homeomorfismo de ${\cal U}_\alpha$ sobre ${\cal M}_{q \times p} \approx {\mathbb{R}}^{pq}$. $\quad\Box$

Proposición 4.7   El atlas $\left( {\cal U}_\alpha, x_\alpha \right)_{\vert \alpha\vert = p}$ sobre ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ es coherente $C^\infty$.

Demostración
Supongamos ${\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta \ne \emptyset$ y consideremos el cambio de mapa:

$$x_\beta \circ x_\alpha^{-1} \colon x_\alpha ({\cal U}_\alpha ... ...al U}_\beta) \to x_\beta ({\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta )$$

$\forall \, {\cal Z} \in x_\alpha ({\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta )$ tenemos por (23):

$$x_\alpha^{-1} ({\cal Z}) = \pi_\alpha (\varphi_\alpha ({\cal Z})) \in {\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta$$

de donde $\varphi_\alpha( {\cal Z}) \in {\cal V}_\alpha \cap {\cal V}_\beta$, luego $x_\alpha^{-1} ({\cal Z}) = \pi_\beta (\varphi_\alpha({\cal Z}))$ y

$$(x_\beta \circ x_\alpha^{-1})({\cal Z}) = (x_\beta \circ \pi_... ...\cal Z})) = (\overline{x}_\beta \circ \varphi_\alpha)({\cal Z})$$

o sea, sobre $x_\alpha({\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta)$:

$$x_\beta \circ x_\alpha^{-1} = \overline{x}_\beta \circ \varphi_\alpha$$ (24)

Ahora bien, $\varphi_\alpha$ es patentemente de clase $C^\infty$ y por (21) con $\beta$ en vez de $\alpha$, $\overline{x}_\beta$ es racional luego también $C^\infty$. Finalmente por (24): $x_\beta \circ x_\alpha^{-1}$ es $C^\infty$ en $x_\alpha({\cal U}_\alpha \cap {\cal U}_\beta)$. $\quad\Box$

Conclusión

El atlas $\left( {\cal U}_\alpha, x_\alpha \right)_{\vert \alpha\vert = p}$ define sobre ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ la estructura de una variedad de clase $C^\infty$ de dimensión pq. ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ provisto de esta estructura se llama una VARIEDAD GRASSMANIANA.

Proposición 4.8   La restricción de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ de la aplicación $S \mapsto S^\bot$ del conjunto de todos los subespacios de ${\mathbb{R}}^{p+q}$ sobre sí es un isomorfismo $C^\infty$ de la variedad grassmaniana ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ sobre la variedad grassmaniana ${\mbox{\sf G}}_{q,p}$

Demostración
Manteniendo las notaciones anteriores, designamos por $\pi^\prime$ la proyección canónica de ${\mbox{\sf H}}_{q,p}$ sobre ${\mbox{\sf G}}_{q,p}$. Análogamente a la definición de los abiertos ${\cal V}_\alpha$ de ${\mbox{\sf H}}_{p,q}$ introducimos $\forall \, \beta \subset [\![ 1, p+q ]\!]$ tal que $\vert\beta \vert = q$ el abierto

$$\fbox{${\displaystyle {\cal V}_\beta^\prime = \colon \left\{ ... ... es\ una\ matriz\ } q \times q \;{\rm inversible\ } \right\}}$}$$

de ${\mbox{\sf H}}_{q,p}$ y el correspondiente abierto de ${\mbox{\sf G}}_{q,p}$:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal U}_\beta^\prime = \colon \pi^\prime ({\cal V}_\beta^\prime )}$}$$

Trabajamos con la estructura canónica de espacio vectorial euclidiano sobre ${\mathbb{R}}^{p+q}$. Para ésta, la base natural $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_{p+q})$ de ${\mathbb{R}}^{p+q}$ es una base O.N.

Sea $\alpha \subset [\![ 1, p+q]\!]$ tal que $\vert \alpha \vert = p$. Sea $S \in {\cal U}_\alpha$. Existe una única matriz ${\cal X} \in {\cal V}_\alpha$ tal que $S = \pi({\cal X})$ y $\alpha ({\cal X}) = {\cal I}_p$ (matriz unidad $p\times p$). Escribimos explícitamente $\alpha = \{ \alpha_1,\ldots, \alpha_p \}$ con $\alpha_1< \cdots <\alpha_p$ y $\alpha^\prime = \{ \beta_1,\ldots, \beta_q \}$ con $\beta_1 < \cdots < \beta_q$. Los vectores columnas $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p$ de la matriz $\cal X$ son:

$$\vec{x}_k = \sum_{i=1}^p x_k^{\alpha_i} \vec{e}_{\alpha_i} + \sum_{j=1}^q x_k^{\beta_j} \vec{e}_{\beta_j} \quad k=1,\ldots,p$$

Puesto que $\alpha ({\cal X}) = {\cal I}_p$ esto se escribe:

$$\vec{x}_k = \sum_{i=1}^p \delta_k^i \vec{e}_{\alpha_i} + \sum_{j=1}^q x_k^{\beta_j} \vec{e}_{\beta_j}$$

o sea, en definitiva:

$$\vec{x}_k = \vec{e}_{\alpha_k} + \sum_{j=1}^q x_k^{\beta_j} \vec{e}_{\beta_j} \quad k=1,\ldots, p$$ (25)

Afirmamos que:

$$S^\bot \in {\cal U}_{\alpha^\prime}^\prime$$ (26)

Sea $T$ un elemento de ${\cal U}_{\alpha^\prime}^\prime$. Representamos $T$ por la única matriz ${\cal Y} \in {\cal V}_{\alpha^\prime}^\prime$ tal que $\alpha^\prime ({\cal Y}) = {\cal I}_q$. Análogamente a (25), los vectores columnas $\vec{y}_1,\ldots,\vec{y}_q$ de la matriz $\cal Y$ están dados por:

$$\vec{y}_k = \vec{e}_{\beta_k} + \sum_{i=1}^p y_k^{\alpha_i} \vec{e}_{\alpha_i} \quad k=1,\ldots,q$$ (27)

Multiplicando escalarmente miembro por miembro de las relaciones (25) y (27), hallamos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\vec{x}_k \bigm\vert \vec{y}_h) ... ...l\, k \in [\![ 1, p ]\!] \; \forall \, h \in [\![ 1, q]\!]}$}}$$ (28)

Por (28) se tendrá $T = S^\bot$ si y sólo si

$$y_h^{\alpha_k} = - x_k^{\beta_h} \quad \forall \, h \in[\![ 1,q]\!] \; \forall \, k \in [\![ 1, p ]\!]$$ (29)

Observamos que la matriz $\left( y_h^{\alpha_k} \right)_{1 \le h \le q}^{1 \le k \le p} \in {\cal M}_{q \times p}$ es $y_{\alpha^\prime}(T)$, la matriz de coordenadas de $T$ y que la relación (29) reza:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle y_{\alpha^\prime} (T) = - x_\alpha (S)^*}$}}$$ (30)

donde $x_\alpha(S)$ es la matriz de coordenadas de $S$ y $x_\alpha (S)^*$ es su traspuesta.

Con esto, hemos probado la afirmación (26).

Sean $\varphi$ y $\psi$ las restricciones de la aplicación $S \mapsto S^\bot$ a sendos conjuntos ${\cal U}_\alpha$ y ${\cal U}_{\alpha^\prime}^\prime$. Sabemos ahora que $\varphi( {\cal U}_\alpha) \subset {\cal U}_{\alpha^\prime}^\prime$. Por simetría $\psi({\cal U}^\prime_{\alpha^\prime}) \subset {\cal U}_\alpha$. Por el teorema 3.1.10:

$$\psi \circ \varphi = {\cal I}_{{\cal U}_\alpha} \quad {\rm y}... ...\varphi \circ \psi = {\cal I}_{{\cal U}^\prime_{\alpha^\prime}}$$

Así pues, $\varphi$ es un biyección de ${\cal U}_\alpha$ sobre ${\cal U}^\prime_{\alpha^\prime}$. De las relaciones (29) o (30) se desprende que $\varphi$ leída en los mapas $({\cal U}_\alpha, x_\alpha)$, $({\cal U}^\prime_{\alpha^\prime},y_{\alpha^\prime})$ es la aplicación ${\cal A} \mapsto -{\cal A}^*$ de ${\cal M}_{q \times p}$ sobre ${\cal M}_{p \times q}$. Es patentemente de clase $C^\infty$.

De ahí, por el teorema 5.3.6, la restricción a ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ de la aplicación
$S \mapsto S^\bot$ es un isomorfismo $C^\infty$ de ${\mbox{\sf G}}_{p,q}$ sobre ${\mbox{\sf G}}_{q,p}$. $\quad\Box$

Antes de presentar el último ejemplo de esta sección, vamos a exponer un método general para construir variedades diferenciables.

Teorema 4.3 (Principio de la pegadura de trozos)   Sean $X$ un conjunto (sin estructura) e $Y$ un espacio topológico. Sea $(U_\alpha)_{\alpha \in I}$ un recubrimiento de $X$. $\forall\, \alpha \in I$ se supone dada una biyección $x_\alpha$ de $U_\alpha$ sobre un abierto $x_\alpha (U_\alpha)$ de $Y$. Se supone además satisfechas las siguientes condiciones:

1. Si $U_\alpha \cap U_\beta \ne \emptyset$ el conjunto $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ es abierto en $x_\alpha (U_\alpha)$, equivalentemente en $Y$.
2. Siempre que dos conjuntos sean ajenos, $U_\alpha \cap U_\beta \ne \emptyset$, la aplicación $x_\beta \circ x_\alpha^{-1}\colon x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$ es un homeomorfismo del abierto $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ de $Y$ sobre el abierto $x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$ de $Y$.

Entonces existe una única estructura topológica sobre el conjunto $X$ tal que $\forall\, \alpha \in I$ $U_\alpha$ sea abierto para dicha estructura y $x_\alpha$ sea un homeomorfismo del abierto $U_\alpha$ de $X$ sobre el abierto $x_\alpha (U_\alpha)$ de $Y$.

Demostración
Unicidad. Al suponer que existe una topología deseada sobre $X$, un subconjunto $G$ de $X$ será abierto en ella, si y sólo si $G \cap U_\alpha$ es abierto en $U_\alpha$ $\forall\, \alpha \in I$. Ya que $x_\alpha$ es un homeomorfismo de $U_\alpha$ sobre $x_\alpha (U_\alpha)$, esto ocurre si y sólo si $x_\alpha (U_\alpha \cap G)$ es abierto en $x_\alpha (U_\alpha)$, equivalentemente en $Y$. De ahí la unicidad de dicha topología sobre $X$.

Existencia. Sea $\cal G$ la colección de todos los subconjuntos $G$ de $X$ tales que $\forall \, \alpha \in I: x_\alpha (G \cap U_\alpha)$ es abierto en $Y$.

Claramente $\emptyset \in \cal G$ y $X \in \cal G$.

A. Sea $(G_i)_{i\in J}$ una familia arbitraria de subconjuntos de $X$, formada por elementos de $\cal G$. $\forall\, \alpha \in I$ tenemos:

$$x_\alpha \left( \left( \bigcup_{i \in J} G_i \right)\cap U_\a... ...\alpha) \right) = \bigcup_{i\in J} x_\alpha (G_i \cap U_\alpha)$$

y este conjunto es abierto en $Y$, pues, $\forall \, i \in J$: $x_\alpha (G_i \cap U_\alpha)$ es abierto en $Y$. Así pues, $\bigcup_{i \in J} G_i \in \cal G$.

B. Sea $(G_1,\ldots, G_r)$ una familia finita de subconjuntos de $X$, formada por elementos de $\cal G$. $\forall\, \alpha \in I$ tenemos:

$$x_\alpha \left( \left( \bigcap_{i=1}^r G_i\right) \cap U_\alp... ...= x_\alpha \left( \bigcap_{i=1}^r (G_i \cap U_\alpha ) \right)$$

Por ser $x_\alpha$ una biyección de $U_\alpha$ sobre su propia imagen $x_\alpha (U_\alpha)$, el último conjunto es $\bigcap_{i=1}^r x_\alpha (G_i \cap U_\alpha)$ y es abierto en $Y$, pues, $\forall \, i \in [\![ 1, r]\!]$: $x_\alpha (G_i \cap U_\alpha)$ es abierto en $Y$. Por lo tanto $\bigcap_{i=1}^r G_i \in \cal G$.

Los resultados A) y B) muestran que la colección $\cal G$ satisface los axiomas de la colección de abiertos de una topología sobre $X$. De aquí en adelante consideraremos $X$ provisto de la topología cuya colección de abiertos es $\cal G$.

C. Mostremos que $\forall \, \alpha \in I: U_\alpha$ es abierto en $X$. Según la definición de la topología sobre $X$ esto significa que $\forall \, \beta \in I : x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$ es abierto en $Y$. Se cumple trivialmente si $U_\alpha \cap U_\beta = \emptyset$, mientras que si $U_\alpha \cap U_\beta \ne \emptyset$, esto es precisamente lo que afirma la hipótesis a) del teorema.

D. Probemos que $\forall \, \alpha \in I: x_\alpha$ es una aplicación abierta de $U_\alpha$ sobre $x_\alpha (U_\alpha)$.

Sea $H$ un abierto en $U_\alpha$, luego también en $X$. Por definición de la topología de $X$, $\forall \, \beta \in I$: $x_\beta (H \cap U_\beta)$ es abierto en $x_\beta (U_\beta)$. Al tomar $\beta = \alpha$ vemos que:

$$x_\alpha (H) = x_\alpha (H \cap U_\alpha) \; {\rm es\ abierto\ en\ } x_\alpha (U_\alpha)$$

Esto prueba nuestra aserción.

E. Queda por probar que $\alpha \in I$: $x_\alpha$ es una aplicación continua de $U_\alpha$ sobre $x_\alpha (U_\alpha)$.

Sea $H^\prime$ un abierto en $x_\alpha (U_\alpha)$. Debemos averiguar que $x_\alpha^{-1} (H^\prime)$ es un abierto en $U_\alpha$, es decir, por definición de la topología de $X$:

$$\forall \, \beta \in I : \; x_\beta (U_\beta \cap x_\alpha^{-1} (H^\prime)) \;\mbox{\rm es abierto en }x_\beta(U_\beta)$$ (31)

Consideremos el conjunto $H^\prime \cap x_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta)$ abierto en $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$. Por la hipótesis b), $x_\beta \circ x_\alpha^{-1}$ es un homeomorfismo de $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ sobre $x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$. Luego:

$$(x_\beta \circ x_\alpha^{-1} ) (H^\prime \cap x_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta))$$ (32)

es un abierto en $x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$ luego también en $x_\beta (U_\beta)$.

Ahora bien por ser $x_\alpha^{-1}$ una biyección de $x_\alpha (U_\alpha)$ sobre $U_\alpha$, vale:

$$x_\alpha^{-1} (H^\prime \cap x_\alpha( U_\alpha \cap U_\beta)... ...p U_\alpha \cap U_\beta = x_\alpha^{-1} (H^\prime) \cap U_\beta$$

Así pues, la relación establecida (32) se reduce a la relación (31) por probar. $\quad\Box$

Observación 1

Si $Y= {\mathbb{R}}^n$ y el recubrimiento $(U_\alpha)_{\alpha \in I}$ posee un subrecubrimiento a lo sumo numerable, el espacio topológico $X$ construído por el teorema 5.4.3 es de base numerable.

Demostración
Sin pérdida de generalidad supondremos que el recubrimiento $(U_\alpha)_{\alpha \in I}$ es a lo sumo numerable.

Puesto que $\forall\, \alpha \in I$, $U_\alpha$ es homeomorfo a un abierto de ${\mathbb{R}}^n$, $U_\alpha$ posee una base numerable de abiertos, digamos ${\cal G}_\alpha$. La colección ${\cal G} =\colon \bigcup_{\alpha \in I} {\cal G}_\alpha$ es patentemente una base numerable de abiertos del espacio $X$. $\quad\Box$

Observación 2

Supongamos que el espacio $Y$ en el enunciado del teorema 5.4.3 es ${\mathbb{R}}^n$ y reforcemos la condición b) de dicho enunciado subsituyéndola por la siguiente:

Si $U_\alpha \cap U_\beta \ne \emptyset$ la aplicación

$$x_\beta \circ x_\alpha^{-1} \colon x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to x_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$$

es un isomorfismo $C^k$ ( $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$) del abierto $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$ de ${\mathbb{R}}^n$ sobre el abierto $x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$ de ${\mathbb{R}}^n$.

Entonces $X$ (junto con el atlas admisible $(U_\alpha, x_\alpha , n)_{\alpha \in I}$) es una variedad $C^k$ de dimensión $n$.

Nota
En lenguaje informal podemos decir que la topología de una variedad diferenciable está definida sin ambigüedad por un atlas admisible de ésta.

Mejor dicho: Para construir una variedad diferenciable $M$ podemos construir lo que resultará ser su atlas admisible por el principio de la pegadura de trozos. La topología de $X$ se dará por añadidura.

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