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Una variedad $C^\infty$ no separada

Todo punto de una variedad topológica posee una vecindad abierta homeomorfa a un abierto de ${\mathbb{R}}^n$, luego separada. Pero, como ilustra el ejemplo a continuación, esto no implica que la variedad es necesariamente un espacio separado.

Sean $]a,b],\, ]c,d],\, ]e,f[$ intervalos de ${\mathbb{R}}$, ajenos a pares (los dos primeros son semiabiertos por la izquierda, el último es abierto). Definamos el conjunto:

$$X= \colon ]a,b] \,\cup\, ]c,d] \,\cup\, ]e,f[$$

Por el momento consideramos $X$ como conjunto sin estructura topológica. Pongamos

$$U = \colon ]a,b] \,\cup\, ]e,f[ \quad,\quad V= \colon ]c,d] \,\cup\, ]e,f[$$

El par $(U,V)$ es una recubrimiento del conjunto $X$. Vamos a definir unas biyecciones $x,\,y$ de sendos conjuntos $U$, $V$ sobre el intervalo abierto $]-1,1[$. Lo hacemos dando las restricciones a continuación:

$$\begin{eqnarray*} x\vert _{]a,b]} &=\colon& \mbox{la funci\'on creciente de prim... ...primer grado } \\ & & \mbox{de }]e,f[ \; \mbox{sobre}\; ]0,1[ \end{eqnarray*}$$

(véase la figura 5.1).

Figure 5.1: Funciones $x\vert _{]a,b]}$, $x\vert _{]e,f[}$, $y\vert _{]c,d]}$ e $y\vert _{]e,f[}$.

Aquí el intervalo $]-1,1[$ y sus subconjuntos se consideran con su topología usual (inducida por la de ${\mathbb{R}}$).

Se tiene $U \cap V = ]e, f[$ y $x(U \cap V) = y( U \cap V) = ]0,1[$, conjunto abierto en $]-1,1[$ (o en ${\mathbb{R}}$). Las aplicaciones $y \circ x^{-1}$ y $x \circ y^{-1}$ de $]0,1[$ en $]0,1[$ se reducen a la identidad de $]0,1[$, son, pues, isomorfismos $C^\infty$ de $]0,1[$ sobre $]0,1[$. Por el principio de pegadura de trozos $X$ recibe una topología y una estructura de variedad $C^\infty$ de dimensión 1.

Afirmamos que el espacio topológico $X$ no es separado.

En efecto, sea $W$ una vecindad arbitraria del punto $b$ en $X$. Siendo $U$ abierto en $X$, también $U \cap W$ es una vecindad de $b$ en $X$. Por ser $x$ un homeomorfismo de $U$ sobre $]-1,1[$, $x(U \cap W)$ es una vecindad de cero en $]-1,1[$, contiene pues un intervalo $]0,\varepsilon[$ para $\varepsilon >0$ bastante pequeño. Luego $U \cap W$ y también $W$ contiene un intervalo $]e, e+h[$ para $h >0$ bastante pequeño.

Asimismo, vemos que toda vecindad del punto $d$ en $X$ contiene un intervalo $]e, e+h^\prime[$ con $h^\prime >0$ bastante pequeña. Por consiguiente toda vecindad de $b$ interseca toda vecindad de $d$ en $X$. Luego $X$ no es separado. $\quad\Box$

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