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Variedades con borde

Un disco euclidiano abierto en ${\mathbb{R}}^2$ posee, como todo abierto en ${\mathbb{R}}^2$, una estructura natural de variedad diferenciable: aquélla de una subvariedad abierta de ${\mathbb{R}}^2$. No así el disco cerrado correspondiente.

En esta sección veremos cómo, mediante una leve generalización del concepto de variedad diferenciable, espacios como el disco cerrado, un toro sólido junto con la superficie que lo limita y análogos llegan a integrarse a los objetos de nuestro estudio.

Sea $n \in {\mathbb{N}}$. Designamos por $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ (más frecuentemente sobreentendido $n$, simplemente por $\overline{{\frak S}}$) el semiespacio cerrado de ${\mathbb{R}}^n$:

$$\fbox{${\displaystyle \overline{{\frak S}}^{(n)}= \left\{ (t^1,\ldots, t^n) \in {\mathbb R}^n \bigm\vert t^1 \le 0 \right\}}$}$$

cuyo borde es el hiperplano ${\cal H}^{(n)}$ (brevemente $\cal H$) en ${\mathbb{R}}^n$ definido por

$$\fbox{${\displaystyle {\cal H}^{(n)} = \left\{ (t^1,\ldots, t^n) \in {\mathbb R}^n \bigm\vert t^1 = 0 \right\}}$}$$

Definición 5.1  

1. Se llama MAPA en $\overline{{\frak S}}$ de un espacio topológico $X$ a una pareja
   $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$, donde $U$ es un abierto de $X$ y $x$ es un homeomorfismo de $U$ sobre un abierto del semiespacio $\overline{{\frak S}}$.
2. Una familia $\left( U_\alpha, x_\alpha \right)_{\alpha \in I}$ de mapas de $X$ en $\overline{{\frak S}}$ se llama ATLAS de X en $\overline{{\frak S}}$ si ${X= \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha}$.

Imitando las definiciones 5.1.5 sentamos las siguientes:

Definición 5.2   Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$. Dos mapas $(U,x),\, (V,y)$ de X en $\overline{{\frak S}}$ se dicen COMPATIBLES $C^k$ si bien $U \cap V= \emptyset$, o bien $U \cap V \ne \emptyset$ y el CAMBIO DE MAPA $y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V)$ es un isomorfismo $C^k$ (según las definiciones 4.6.6 y 4.6.7) del abierto $x(U \cap V)$ de $\overline{{\frak S}}$ sobre el abierto $y(U \cap V)$ de $\overline{{\frak S}}$.

(Desde luego $x \circ y^{-1} \colon y(U \cap V) \to x(U \cap V)$ es el isomorfismo $C^k$ inverso).

Definición 5.3  

1. Un atlas ${\frak U}$ de un espacio topológico X en $\overline{{\frak S}}$ se dice COHERENTE $C^k$ si todo par de mapas de ${\frak U}$ es compatible $C^k$.
2. Dos atlas ${\frak U}$, ${\frak V}$ coherentes $C^k$ de X en $\overline{{\frak S}}$ se dicen EQUIVALENTES y se escribe ${\frak U} \sim {\frak V}$ si también el atlas ${\frak U} \cup {\frak V}$ es coherente $C^k$, o sea, todo mapa de ${\frak U}$ es compatible $C^k$ con todo mapa de ${\frak V}$.

Análogamente a lo hecho en la sección 5.1, se comprueba que la relación $\sim$ es efectivamente una relación de equivalencia en el conjunto de todos los atlas coherentes $C^k$ de X en $\overline{{\frak S}}$.

Definición 5.4   Sea $X$ un espacio topológico que posee por lo menos un atlas coherente $C^k$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$. El par que consta de $X$ y de una clase de equivalencia de atlas coherentes $C^k$ de $X$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ se llama una VARIEDAD CON BORDE DE CLASE DE DIMENSIÓN .

Todo atlas en la clase de equivalencia considerada se dice un ATLAS ADMISIBLE de la variedad con borde.

Un mapa de $X$ se dice MAPA ADMISIBLE DE LA VARIEDAD CON BORDE si es compatible $C^k$ con todo mapa de un atlas admisible de dicha variedad con borde.

Sobreentendiendo (si no hay más que una en consideración) la clase de equivalencia, se dice por abuso del lenguaje ``$X$ es una variedad $C^k$ ''.

Análogamente al teorema 5.1.8 se prueba:

Teorema 5.1   Sea $X$ un espacio topológico que posee por lo menos un atlas coherente $C^k$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$. Todo atlas coherente $C^k$ de $X$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ está contenido en un único atlas coherente $C^k$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ maximal.

De ahí, como en la sección 5.1, surge la siguiente definición de una variedad con borde equivalente a la definición 5.5.1.

Definición 5.5   Sea $X$ un espacio topológico que posee por lo menos un atlas coherente $C^k$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$. El par que consta de $X$ y de un atlas coherente $C^k$ de $X$ en $\overline{{\frak S}}^{(n)}$ maximal se llama una VARIEDAD CON BORDE DE CLASE DE DIMENSIÓN .

Un mapa de $X$ es admisible para la variedad con borde si y sólo si es un mapa de dicho atlas maximal. Un atlas de $X$ en ${\frak S}^{(n)}$ es admisible para la variedad con borde si y sólo si está contenido en dicho atlas maximal.

Definición 5.6   Un mapa admisible $(U,x)$ de una variedad con borde lo llamaremos MAPA DE PRIMERA ESPECIE (resp. DE SEGUNDA ESPECIE) si el abierto $x(U)$ es un abierto de primera (resp. de segunda) especie de $\overline{{\frak S}}$.

Lema 5.1   Sean $X$ una variedad con borde de clase $C^k$ y $m \in X$. Si existe un mapa admisible $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ de X en el punto m tal que $x(m) \notin \cal H$ (es decir, $x^1(m) \ne 0$), existe también un mapa admisible de primera especie de $X$ en $m$.

Demostración
A. Afirmamos primero que si $(U,x)$ es un mapa admisible de $X$, si $U^\prime$ es un abierto de $X$ contenido en $U$ y $x^\prime$ es la restricción de $x$ a $U^\prime$, también $(U^\prime , x^\prime)$ es un mapa admisible de $X$.

Debemos probar que el mapa $(U^\prime , x^\prime)$ es compatible $C^k$ con cualquier mapa admisible $(V, y)$ de $X$. Ahora bien, el cambio de mapa:

$$y \circ {x^\prime}^{-1} \colon x^\prime (U^\prime \cap V) \to y( U^\prime \cap V)$$ (1)

es la restricción a $x^\prime (U^\prime \cap V)$ del cambio de mapa:

$$y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V)$$

Este último es un isomorfismo $C^k$ luego también el cambio de mapa (1) es un isomorfismo $C^k$, de donde la conclusión.

B. Sea $m \in X$ tal que para cierto mapa admisible $(U,x)$ de $X$ en $m$ se tiene $x(m) \notin \cal H$. Sea ${\frak S}$ el semiespacio abierto de ${\mathbb{R}}^n$ que corresponde a $\overline{{\frak S}}$. Vale $x(U)- {\cal H}= x(U) \cap {\frak S}$ y, ya que $x(U)$ es abierto en $\overline{{\frak S}}$, se sigue de ahí que $x(U) - \cal H$ es abierto en ${\frak S}$, luego en ${\mathbb{R}}^n$. Se sigue ahora del inciso A) que si $x^\prime$ es la restricción de $x$ a $U - x^{-1}(\cal{H})$, $(U-x^{-1}({\cal H}), x^\prime)$ es un mapa admisible de primera especie en $m$. $\quad\Box$

Teorema 5.2   Sea $X$ una variedad con borde de clase $C^k$ y $m \in X$.

Si para cierto mapa admisible $\left( U, x= (x^1,\ldots, x^n) \right)$ en $m$ vale $x(m) \in \cal H$ (es decir $x^1 (m) = 0$), entonces valdrá también para todo mapa admisible $\left( V, y= (y^1,\ldots, y^n) \right)$ en $m$, $y(m) \in \cal H$ (es decir $y^1 (m) = 0$).

Demostración
Razonando por contradicción supongamos que fuese $x(m) \in \cal H$ e $y(m) \notin \cal H$.

Por el lema 5.5.1 se puede substituir el mapa $(V, y)$ por un mapa admi-simisible $(W,z)$ de primera especie en $m$.

El cambio de mapa $x \circ z^{-1} \colon z(U \cap W) \to x(U \cap W)$ sería un isomorfismo $C^k$. Pero $z(U \cap W)$ es un abierto de primera especie en $\overline{{\frak S}}$, pues, lo es $z(W)$, mientras que $x(U \cap W)$ es un abierto de segunda especie en $\overline{{\frak S}}$ pues $m \in U \cap W$ y $x(m) \in \cal H$. Obtuvimos, pues, una contradicción con el teorema 4.71 y ésta termina la demostración. $\quad\Box$

Definición 5.7   Sea $X$ un variedad con borde.

1. Un punto $m \in X$ se dice PUNTO DE BORDE de $X$, si para cierto mapa admisible $(U,x)$ de $X$ en $m$, se tiene $x(m) \in \cal H$. (Luego, por el teorema 5.5.1 esto ocurre para todo mapa admisible de $X$ en $m$).
2. El conjunto de todos los puntos de borde de $X$ se llama el BORDE DE y se designa por ${\frak Bd}(X)$.
3. Un punto de $X - {\frak Bd}(X)$ se llama un PUNTO INTERNO de $X$.

Nota 1

Si ${\frak Bd}(X) = \emptyset$, $X$ es simplemente una variedad diferenciable según las definiciones de la sección 5.1.

En efecto, una variedad diferenciable arbitraria de dimensión $n$, podemos usar solamente mapas admisible $(U,x)$ con $x(U)$ en el semiespacio abierto $\overline{{\frak S}}^{(n)}$.

Así pues, una ``variedad diferenciable'' es un caso particular de una ``variedad diferenciable con borde'', pero no al revés.

Esta terminología, contraria a las buenas costumbres matemáticas, está sancionada por la tradición y nolens volens nos hemos plegado a ella.

Nota 2

La mayoría de los autores usa la notación $\partial X$ por el borde de $X$. Ésta constituye en nuestra opinión un empréstito algo ilegítimo a la topología algebraica, pues, en ésta $\partial$ designa un operador de carácter algebraico.

Teorema 5.3   Si $X$ es una variedad con borde de clase $C^k$, de dimensión $n$, el conjunto $X - {\frak Bd}(X)$ de los puntos internos de $X$ está provisto de una estructura natural de variedad diferenciable de clase $C^k$, de dimensión n, según las definiciones de la sección 5.1.

Demostración
Por el lema 5.5.1 $\forall \, m \in X - {\frak Bd}(X)$ existe un mapa admisible $(U,x)$ de $X$ en $m$ de primera especie, es decir, $U \subset X-{\frak Bd}(X)$.

El conjunto de todos tales mapas constituye un atlas coherente $C^k$ maximal de $X - {\frak Bd}(X)$ en el sentido de la sección 5.1. Define la estructura anunciada. $\quad\Box$

Teorema 5.4   Si $X$ es una variedad con borde, ${\frak Bd}(X)$ es una parte cerrada de $X$.

Demostración
Por el lema 5.5.1, $\forall \, m \in X - {\frak Bd}(X)$ existe un mapa $(U,x)$ de $\overline{X}$ de primera especie en el punto $m$. $U$ es una vecindad de $m$ en $X$ contenida en
$X - {\frak Bd}(X)$. Así pues, $X - {\frak Bd}(X)$ es una vecindad de cualquiera de sus puntos, por lo tanto, un conjunto abierto en $X$. Luego el conjunto ${\frak Bd}(X)$ es cerrado en $X$. $\quad\Box$

Teorema 5.5 (y definición)   Sea $X$ una variedad con borde de clase $C^k$, de dimensión $n \ge 2$. Si ${\frak Bd}(X) \ne \emptyset$, ${\frak Bd}(X)$ lleva una estructura natural de variedad $C^k$ (sin borde) de dimensión $n-1$. Se llama ESTRUCTURA DE VARIEDAD DIFERENCIABLE INDUCIDA SOBRE EL BORDE ${\frak Bd}(X)$ por la estructura de $X$.

Demostración
Escribimos ${\mathbb{R}}^n = {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}^{n-1}$ y designamos por $\pi \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}$, $\pi^\prime \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^{n-1}$ las proyecciones canónicas, vale decir: $\forall\, (t^1,\ldots, t^n) \in {\mathbb{R}}^n$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \pi (t^1,\ldots, t^n) &= \colon& ... ...1,\ldots, t^n) &= \colon& (t^2,\ldots,t^n) \end{array} \right.$$

Suponemos ${\frak Bd}(X) \ne \emptyset$. A todo mapa admisible $(U,x)$ de segunda especie de $X$ le asociamos un mapa $( \widetilde{U},\widetilde{x})$ del espacio topológico ${\frak Bd}(X)$ en ${\mathbb{R}}^{n-1}$ según la definición 5.1.1, es decir, $\widetilde{x}$ será un homeomorfismo del abierto $\widetilde U$ de ${\frak Bd}(X)$ sobre un abierto $\widetilde{x}( \widetilde{U})$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$.

Sea $(U,x)$ un mapa admisible de $X$ de segunda especie. Definamos:

$$\fbox{${\displaystyle \widetilde{U} = \colon U \cap {\frak Bd}(X)}$}$$

$\widetilde U$ es un abierto no vacío del espacio ${\frak Bd}(X)$. Por cierto:

$$\fbox{${\displaystyle \widetilde{U}= \{ p \in U \bigm\vert x^1(p) = 0 \} = \{ p \in U \bigm\vert (\pi \circ x) (p) = 0 \}}$}$$

$\forall \, p \in \widetilde U$ ponemos:

$$\fbox{${\displaystyle \widetilde{x}(p) = (\pi^\prime \circ x) (p)}$}$$

y consideremos la aplicación:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \widetilde{x}= \pi^\prime \circ x \Bigm\vert _{\widetilde U}}$}}$$ (2)

Observamos que:

1. $x(\widetilde{U})= x(U) \cap \cal H$ y que $x(\widetilde{U})$ es un conjunto abierto en $\cal H$, pues, $x(U)$ es abierto en $\overline{{\frak S}}$. Además, la restricción de $x$ a $\widetilde U$ es un homeomorfismo de $\widetilde U$ sobre dicho abierto.
2. La restricción de $\pi^\prime$ a $\cal H$, a saber, la aplicación inyectiva
   $(0,t^2,\ldots, t^n) \mapsto (t^2,\ldots, t^n)$ es un homeomorfismo de $\cal H$ sobre ${\mathbb{R}}^{n-1}$.

De las observaciones a) y b) y de la definición (2) se sigue que:

$\widetilde x$ es un homeomorfismo del abierto $\widetilde U$ de ${\frak Bd}(X)$ sobre el abierto
$\pi^\prime \left( x(\widetilde{U}) \right) = \widetilde{x} (\widetilde{U})$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$,

como anunciamos. Notemos la siguiente fórmula de inversión de $\widetilde x$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \widetilde{x}^{-1} (t^2,\ldots, t... ...orall\, (t^2,\ldots, t^n) \in \widetilde{x}(\widetilde{U})}$}}$$ (3)

Consideremos otro mapa admisible $(V, y)$ de $X$ de segunda especie tal que:

$$\widetilde{U} \cap \widetilde{V} = U \cap V \cap {\frak Bd}(X) \ne \emptyset$$ (4)

y fijémonos en el cambio de mapa:

$$\widetilde{y} \circ \widetilde{x}^{-1} \colon \widetilde{x}( ... ...tilde{V}) \to \widetilde{y}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V})$$

Por la fórmula (3) y la definición (2) vale $\forall \, (t^2,\ldots, t^n) \in \widetilde{x}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V})$:

$$\left( \widetilde{y} \circ \widetilde{x}^{-1} \right) (t^2,\... ... \pi^\prime \circ y \circ x^{-1} \right) (0,t^2,\ldots, t^n)$$ (5)

Puesto que los mapas $(U,x)$, $(V, y)$ de $X$ son compatibles $C^k$, el cambio de mapa $y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V)$ es una aplicación de clase $C^k$ en el abierto $x(U \cap V)$ de $\overline{{\frak S}}$ según la definición 4.6.6. Vale decir: existe un abierto $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^n$ que contiene $x(U \cap V)$ y una aplicación $\varphi \colon \Omega \to {\mathbb{R}}^n$ de clase $C^k$ tal que $\varphi$ es una ampliación de la aplicación $y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to {\mathbb{R}}^n$.

Ya que $\pi^\prime \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^{n-1}$ es de clase $C^\infty$, la aplicación $\pi^\prime \circ \varphi \colon \Omega \to {\mathbb{R}}^n$ es de clase $C^k$. Definimos el conjunto:

$$\Omega^\prime = \colon \left\{ (t^2,\ldots, t^n) \in {\mathbb{R}}^{n-1} \bigm\vert (0,t^2,\ldots, t^n) \in \Omega \right\}$$

como imagen inversa del abierto $\Omega$ por la aplicación continua inyectiva $(t^2,\ldots, t^n) \mapsto (0,t^2,\ldots, t^n)$, el conjunto $\Omega^\prime$ es abierto en ${\mathbb{R}}^{n-1}$.

Por la fórmula (4) vale $\forall \, (t^2,\ldots, t^n) \in \widetilde{x}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V})$:

$$(0,t^2,\ldots, t^n) \in x(U \cap V) \subset \Omega$$

de donde $\widetilde{x}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V} ) \subset \Omega^\prime$. Notamos además que la aplicación inyectiva $(t^2,\ldots, t^n) \mapsto (0,t^2,\ldots, t^n)$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$ en ${\mathbb{R}}^n$ es de clase $C^\infty$ y lo es también su restricción $\psi$ al abierto $\Omega^\prime$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$.

Según la fórmula (5), la aplicación $\widetilde{y} \circ \widetilde{x}^{-1}$ es la restricción al abierto $\widetilde{x}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V})$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$ de la aplicación $\pi^\prime \circ \varphi \circ \psi$ definida en el abierto $\Omega^\prime$ de ${\mathbb{R}}^{n-1}$. De lo dicho arriba se sigue que $\pi^\prime \circ \varphi \circ \psi$ es de clase $C^k$ en $\Omega^\prime$. Luego el cambio de mapa $\widetilde{y} \circ \widetilde{x}^{-1}$ es de clase $C^k$ en $\widetilde{x}( \widetilde{U} \cap \widetilde{V})$. Así viene probado que los mapas $( \widetilde{U},\widetilde{x})$ y $(\widetilde{V}, \widetilde{y})$ de ${\frak Bd}(X)$ son compatibles $C^k$. De esto se sigue:

Si el mapa $(U,x)$ recorre el conjunto de todos los mapas admisibles de segunda especie de la variedad con borde $X$, el correspondiente mapa $( \widetilde{U},\widetilde{x})$ de ${\frak Bd}(X)$ recorre un atlas coherente $C^k$ del espacio ${\frak Bd}(X)$ en el sentido de la definición 5.15.

Este atlas define sobre ${\frak Bd}(X)$ una estructura de variedad $C^k$ de dimensión $n-1$. $\quad\Box$

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