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Estructura de un álgebra exterior sobre $E$

Gracias al último teorema y el teorema 1.3.2 sobre la unicidad esencial del álgebra exterior estamos en posición de precisar la estructura de una álgebra exterior arbitraria sobre un espacio vectorial de dimensión finita.

Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$ y $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base arbitrariamente elegida en $E$. Sea G el álgebra de Grassmann sobre $E$ asociada con dicha base. $j\colon E \to \mbox{\sf G}$ designará la inyección canónica. La multiplicación en G la designaremos aquí por el símbolo $\,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,$. Por el teorema 1.3.3 $(E,\mbox{\sf G}, j)$ es un álgebra exterior sobre $E$. Consideramos también un álgebra exterior $(E,\wedge E, i)$ sobre $E$ construída de cualquier manera. La notación $\wedge E$ para un álgebra exterior es actualmente clásica. La multiplicación en el álgebra $\wedge E$ la designamos por el símbolo $\wedge$. Seguiremos llamándola MULTIPLICACIÓN EXTERIOR.

Por el teorema 1.3.2 existe un único isomorfismo $p$ del álgebra G sobre el álgebra $\wedge E$ tal que:

$$i = p \circ j$$ (21)

o sea, es conmutativo el diagrama:

$$\begin{array}{rcl} E & \smash{ \mathop{\longrightarrow}\li... ...ter{\hbox{$\scriptstyle p$}}$} & \\ \wedge E & & \end{array}$$

Ya que $j$ y $p$ son aplicaciones inyectivas, también es inyectiva la aplicación lineal alternante $i \colon E \to \wedge E$ (Informalmente y sin demostración ese resultado ya lo hemos anunciado).

Una vez para siempre convenimos en identificar el subespacio vectorial $i(E)$ del álgebra $\wedge E$ con $E$, vale decir todo elemento $i\vec x (\vec x \in E)$ de $\wedge E$ con $\vec x \in E$. Mediante este convenio el espacio vectorial $E$ llega a ser un subespacio vectorial del álgebra $\wedge E$. Dado que un convenio análogo ya fue hecho para $j$ en §1, la relación (21) reza ahora simplemente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle p\vec x = \vec x \quad \forall \, \vec x \in E }$}}$$ (22)

El elemento uno del álgebra $\wedge E$ lo designaremos simplemente por $\vec 1$. La aplicación $\alpha \mapsto \alpha \vec 1$ de ${\mathbb{K}}$ en $\wedge E$ es un isomorfismo del cuerpo ${\mathbb{K}}$ sobre el cuerpo $\{ \alpha \vec 1 \bigm\vert \alpha \in {\mathbb{K}}\}$ contenido en $\wedge E$. Este último lo identificaremos con ${\mathbb{K}}$. Debido a este convenio tenemos:

$${\mathbb{K}}\subset \wedge E$$

Ya que $p$ transforma el elemento uno de G en el elemento uno de $\wedge E$, $p$ se reduce a la identidad sobre ${\mathbb{K}}$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle p(\alpha ) = \alpha \quad \forall \, \alpha \in {\mathbb K}}$}}$$ (23)

$\forall \alpha \in {\mathbb{K}}$ y $\forall \, \overline{x} \in \wedge E$ vale la regla:

$$\alpha \overline{x} = \alpha \wedge \overline{x}$$ (24)

En efecto, $\forall \, \overline{x} \in \wedge E$ existe un único $\overline{y} \in\mbox{\sf G}$ tal que $p(\overline{y}) = \overline{x}$ y la relación sabida $\alpha \overline{y}= \alpha \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\overline{y}$ implica: ${\displaystyle p(\alpha \overline{y})= p(\alpha \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\overline{y}) }$ o sea, usando (23): ${\displaystyle \alpha \overline{x}= \alpha \wedge \overline{x}}$ como enunciamos.

La relación (24) afirma que la multiplicación de un elemento de ${\mathbb{K}}$ por un elemento $\wedge E$ es un caso particular de la multiplicación exterior. En particular $1 \in {\mathbb{K}}$ es el elemento uno del álgebra $\wedge E$.

Sabemos que los $2^n$ elementos $1$ y $\vec{e}_{i_1} \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\cdots \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\vec{e}_{i_r} \,,\; r \in [\![ 1,n ]\!] \, ;$
$i_1 < \cdots < i_r$, constituyen una base de G. Puesto que $p(1)=1$ y
$p(\vec{e}_{i_1} \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\cdots \,\overline{{\scrip... ...le \wedge}} \,\vec{e}_{i_r}) = \vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}$, vemos que, cualquiera que fuese la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ de $E$, los $2^n$ elementos $1$ y $\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r},\, r\in [\![ 1,n ]\!]$, $i_1 < \cdots < i_r$ constituyen una base de $\wedge E$.

De esto se sigue:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim } \wedge E = 2^n }$}$$

Esta relación es, por cierto, evidente a priori, pues el isomorfismo $p$ preserva la dimensión.

$\forall \, p \in [\![ 1,n ]\!],\, \mbox{\sf G}^{(p)}$ es el subespacio vectorial de G engendrado linealmente por el conjunto de todos los productos $\vec{x}_1 \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\cdots \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\vec{x}_p$ con $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p \in E$. Designamos por $\stackrel{p}{\wedge} E$ el subespacio vectorial de $\wedge E$ engendrado linealmente por el conjunto de todos los productos $\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_p$ con $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p \in E$. Ponemos por definición:

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{0}{\wedge} E =\colon {\mathbb K}}$}$$

y $\stackrel{p}{\wedge} E = \colon \{ 0 \}$ si $p \in {\mathbb{Z}}\; \mbox{y} \; p<0 \; \mbox{\'o} \; p>n$. Los elementos de $\stackrel{p}{\wedge} E$ se llaman ELEMENTOS HOMOGÉNEOS DE GRADO del álgebra exterior $\wedge E$ o -VECTORES. Los $p$-vectores de la forma $\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_p$ con $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p \in E$ se llaman -VECTORES DESCOMPONIBLES. Vale en particular

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{1}{\wedge} E =E}$}$$

El espacio vectorial $\wedge E$ es suma directa de los subespacio $\stackrel{p}{\wedge} E$:

$$\fbox{${\displaystyle \wedge E = \stackrel{0}{\wedge} E \oplu... ...el{1}{\wedge} E \oplus \cdots \oplus \stackrel{n}{\wedge} E }$}$$

Puesto que $\forall \, r \in [\![ 0,n ]\!]$: $\stackrel{r}{\wedge} E = p(\mbox{\sf G}^{(r)} )$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mbox{\rm dim } \stackrel{r}{\wedge} E = {n \choose r}}}$}$$

Ya que una base de ${\sf G}^{(r)}$ consta de los ${\displaystyle { n \choose r}}$ elementos $\vec{e}_{i_1} \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\cdots \,\overline{{\scriptstyle \wedge}} \,\vec{e}_{i_r}$, con $i_1 < \cdots < i_r$, una base de $\stackrel{r}{\wedge}E$ consta de los ${\displaystyle { n \choose r}}$ elementos $\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}$, $i_1 < \cdots < i_r$.

Al poner $H=\colon \{ i_1,\ldots,i_r \},\, i_1< \cdots < i_r$ seguiremos escribiendo $\overline{e}_H$ por $\vec{e}_{i_1} \wedge \cdots \wedge \vec{e}_{i_r}$ como lo hacíamos para el álgebra de Grassmann. Los elementos $\overline{e}_H$ obedecen a la tabla de multiplicación

$$\fbox{${\displaystyle \overline{e}_H \wedge \overline{e}_K = \rho_{H,K} \overline{e}_{H \cup K}. }$}$$

Rige la implicación

$$\fbox{${\displaystyle \overline{x} \in \stackrel{p}{\wedge} E... ...overline{x} \wedge \overline{y} \in \stackrel{p+q}{\wedge} E}$}$$

o sea,

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm gr }( \overline{x}\wedge\over... ...= \mbox{\rm gr } \overline{x} + \mbox{\rm gr } \overline{y} }$}$$

Del teorema 1.1.5 para G se sigue inmediatamente para $\wedge E$ la ley de conmutación:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{Si} \; \overline{x} \in \stackrel... ...e \overline{x} = (-1)^{pq} \overline{x} \wedge \overline{y} }$}$$

Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo ${\mathbb{K}}$, ya no hablaremos de aquí en adelante del álgebra de Grassmann asociada con una base de $E$, sino simplemente del álgebra exterior $\wedge E$ sobre $E$.

En efecto, según el teorema 1.3.2 esta última es esencialmente única, en particular ya independiente de la elección de cualquier base de $E$. Está pues ligada ``canónicamente'' con $E$.

El recurso de la ``propiedad universal'' nos sirvió precisamente para liberarnos de la molesta dependencia de bases en la definición inicial. El éxito fue completo. Como dirían familiarmente algunos matemáticos, todo parece indicar que el álgebra exterior no es una creación artificial sino que ``existe en la naturaleza''.

Esta impresión se corrobora mucho por el simple e importante:

Teorema 3.4   Una familia finita $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ de vectores de E es linealmente dependiente si y sólo si

$$\fbox{${\displaystyle \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r =0}$}$$

Demostración

1. Supongamos la familia $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ linealmente dependiente. Cambiando, si es necesario, la numeración, podemos suponer que el vector $\vec{x}_r$ es combinación lineal de $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{r-1}$, o sea
   
   $$\vec{x}_r= \sum_{i=1}^{r-1} \lambda_i \vec{x}_i \quad \mbox{con} \;\lambda_1,\ldots , \lambda_{r-1} \in {\mathbb{K}}$$
   
   
   De ahí :
   $$\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r &=& \vec{x}_1 \wedg... ... \vec{x}_i \wedge \cdots \land \vec{x}_{r-1} \wedge \vec{x}_i =0 \end{eqnarray*}$$
   
   
   pues cada término de la última suma tiene dos factores iguales, luego es nulo.
2. Supongamos ahora la familia $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r)$ linealmente independiente. Podemos completar dicha familia a una base $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_r;\vec{x}_{r+1},\ldots,\vec{x}_n)$ de $E$. El elemento $\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r$ es uno de los elementos de la base asociada de $\wedge E$, luego $\vec{x}_1 \wedge \cdots \wedge \vec{x}_r \ne 0$. $\quad\Box$

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