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Determinantes

Teorema 4.1 (y definición)   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre ${\mathbb{K}}$. Sea $L \colon E \to F$ una aplicación lineal. Existe un único homomorfismo $\wedge L$ del álgebra $\wedge E$ en el álgebra $\wedge F$ que es una ampliación de $L$. Dicho homomorfismo $\wedge L$ se llama la AMPLIACIÓN EXTERIOR DE LA APLICACIÓN LINEAL $L$.

Demostración

$$\begin{array}{rcl} E & \smash{ \mathop{\longrightarrow}\lim... ...& \mathop{\longrightarrow}\limits_{j} & \wedge F \end{array}$$

Designemos por $i \colon E \to \wedge E$ y $j \colon F \to \wedge F$ las inyecciones canónicas. Consideramos la aplicación lineal ``diagonal'' $j \circ L \colon E \to \wedge F$. Se verifica $\forall \, \vec x \in E$:

$$(j\circ L) \vec x \wedge (j\circ L) \vec x = L\vec x \wedge L \vec x =0$$

Así pues, $j\circ L$ es una aplicación lineal alternante del espacio vectorial $E$ en el álgebra $\wedge F$. Por la propiedad universal de la terna $(E,\wedge E, i)$ existe un único homomorfismo $\wedge L$ del álgebra $\wedge E$ en el álgebra $\wedge F$ tal que:

$$\wedge L \circ i = j \circ L$$ (1)

Ahora bien, la condición (1) significa:

$$\wedge L ( i\vec x )= j(L\vec x ) \quad \forall \, \vec x \in E$$

o, en definitiva:

$$\wedge L (\vec x )= L \vec x \quad \forall \, \vec x \in E$$

La relación (1) equivale, pues, a decir que el homomorfismo $\wedge L$ es una ampliación de la aplicación lineal $L$. $\quad\Box$

Teorema 4.2   Las siguientes aseveraciones son ambas verdaderas:

1. Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \wedge {\cal I}_E = {\cal I}_{\wedge E} }$}$$
   
   
   Aquí ${\cal I}_E$ es la aplicación idéntica de $E$ e ${\cal I}_{\wedge E}$ es la aplicación idéntica de $\wedge E$.
2. Sean $E, F$ y $G$ espacios vectoriales de dimensiones finitas. Entonces para cualesquiera aplicaciones lineales $A\colon E \to F$ y $B \colon F \to G$, vale la regla:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \wedge (B \circ A) = \wedge B \circ \wedge A}$}$$
   
   

Demostración

1. La aplicación ${\cal I}_{\wedge E}$ es un homomorfismo del álgebra $\wedge E$ en sí y amplía la aplicación lineal ${\cal I}_E$ de $E$ en $E$. Por la unicidad en el teorema 1.4.1 dicho homomorfismo ${\cal I}_{\wedge E}$ es la ampliación exterior de ${\cal I}_E$, o sea, efectivamente:
   
   $$\wedge {\cal I}_E = {\cal I}_{\wedge E}$$
   
   

2. Observamos que los siguientes diagramas conmutan:
   
   $$\begin{array}{rcl} E & \smash{ \mathop{\longrightarrow}\lim... ...{ \mathop{\longrightarrow}\limits^{}} & \wedge G \end{array}$$
   
   
   La aplicación $\wedge B \circ \wedge A$ de $\wedge E$ en $\wedge G$ es un homomorfismo del álgebra $\wedge E$ en el álgebra $\wedge G$. Dicho homomorfismo amplía la aplicación lineal $B \circ A$ del espacio vectorial $E$ en el espacio vectorial $G$. Por la unicidad en el teorema 1.4.1 el homomorfismo $\wedge B \circ \wedge A$ es la ampliación exterior de $B \circ A$, o sea
   
   $$\wedge (B \circ A) = \wedge B \circ \wedge A$$
   
   
   $\quad\Box$

A título auxiliar vamos a recordar dos resultados de álgebra lineal.

Teorema 4.3   Una aplicación lineal $A$ de un espacio vectorial $E$ en un espacio vectorial $F$ es inyectiva si y sólo si existe una aplicación lineal $A^\prime$ de $F$ en $E$ tal que:

$$A^\prime \circ A = {\cal I}_E$$

Demostración

1. Supongamos que existe una aplicación lineal $A^\prime \colon F \to E$ tal que:
   

   $$A^\prime \circ A = {\cal I}_E$$ (2)

   
   
   Sean $\vec x ,\, \vec y \in E$ tales que:
   

   $$A \vec x = A \vec y$$ (3)

   
   
   Aplicando $A^\prime$ a los dos miembros de (3) obtenemos:
   
   $$(A^\prime \circ A) (\vec x) = (A^\prime \circ A ) (\vec y)$$
   
   
   o sea, por (2), $\vec x =\vec y$. Por tanto la aplicación lineal $A$ es inyectiva.
2. Recíprocamente supongamos $A$ inyectiva. Podemos considerar $A$ como un isomorfismo lineal del espacio vectorial $E$ sobre el subespacio $V=\colon A(E)$ de $F$. Sea $B \colon V \to E$ el isomorfismo lineal inverso de éste. Sea $W$ un subespacio vectorial de $F$ complementario al subespacio $V$, es decir $F = V \oplus W$. Tal subespacio $W$ siempre existe. (Si $F$ es de dimensión finita esto se demuestra simplemente completando una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ de $V$ a una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r;\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$ de $F$ y tomando por $W$ el subespacio de $F$ engendrado por $(\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$).

   Definamos la aplicación lineal $A^\prime$ de $F$ en $E$ como la única que satisface:

   $$\begin{eqnarray*} A^\prime \vec v &=& B \vec v \quad \mbox{si }\quad \vec v \in V \\ A^\prime \vec w &=& 0 \quad \mbox{si }\quad \vec w \in W \end{eqnarray*}$$
   
   
   Vale patentemente: $A^\prime \circ A = {\cal I}_E$. $\quad\Box$

Teorema 4.4   Una aplicación lineal $A$ de un espacio vectorial $E$ en un espacio vectorial $F$ es superyectiva si y sólo si existe una aplicación lineal $A^\prime$ de $F$ en $E$ tal que

$$A \circ A^\prime ={\cal I}_F$$

Demostración

1. Supongamos que existe una aplicación lineal $A^\prime \colon F \to E$ tal que
   

   $$A \circ A^\prime ={\cal I}_F$$ (4)

   
   
   Sea $\vec z$ un vector arbitrario de $F$. Para el vector $\vec x = \colon A^\prime \vec z$ de $E$ vale por (4):
   
   $$A\vec x = (A \circ A^\prime)(\vec z) ={\cal I}_F \vec z = \vec z$$
   
   
   Así pues la aplicación lineal $A$ es superyectiva.
2. Recíprocamente supongamos que $A$ es superyectiva. Sea $V$ un subespacio de $E$ complementario al subespacio $\mbox{\rm ker } A$ (núcleo de $A$), o sea $E=(\mbox{\rm ker } A) \oplus V$. Afirmamos que la restricción $B$ de la aplicación $A$ al subespacio $V$ es un isomorfismo lineal de $V$ sobre $F$.

   En efecto, sea $\vec v \in V$ tal que $B\vec v =0$, es decir $A \vec v =0$. Se sigue que $\vec v \in V \cap \mbox{\rm ker } A$, es decir $\vec v =\vec 0$. Esto prueba que la aplicación lineal $B \colon V \to F$ es inyectiva. Mostremos que es también superyectiva. Sea $\vec z$ un vector arbitrario de $F$. Por ser $A$ superyectiva existe un vector $\vec u +\vec v$ de $E$, donde $\vec u \in \mbox{\rm ker } A$, $\vec v \in V$ tal que $A(\vec u + \vec v)= \vec z$. Esto equivale a $B \vec v = \vec z$. $B$ es pues efectivamente superyectiva y, en definitiva, un isomorfismo lineal de $V$ sobre $F$.

   Sea $A^\prime \colon F \to E$ la aplicación $A^\prime =\colon j \circ B^{-1}$ donde $j\colon V \to E$ es la inyección canónica. Patentemente:
   

   $$A \circ A^\prime ={\cal I}_F$$
   
   
   $\quad\Box$

Volvamos al álgebra exterior.

Teorema 4.5   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas.

1. Si $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal inyectiva, la aplicación $\wedge A$ es un homomorfismo inyectivo (``monomorfismo'') del álgebra $\wedge E$ en el álgebra $\wedge F$.
2. Si $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal superyectiva, la aplicación $\wedge A$ es un homomorfismo superyectivo (``epimorfismo'') del álgebra $\wedge E$ sobre el álgebra $\wedge F$.

Demostración

1. Supongamos que $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal inyectiva. Por el teorema 1.4.3 existe una aplicación lineal $A^\prime \colon F \to E$ tal que
   

   $$A^\prime \circ A = {\cal I}_E$$ (5)

   
   
   Tomando las ampliaciones exteriores de ambos miembros de (5) y aplicando el teorema 1.4.2 conseguimos:
   
   $$(\wedge A^\prime ) \circ (\wedge A) = {\cal I}_{\wedge E}$$
   
   
   De nuevo del teorema 1.4.3 se sigue que $\wedge A$ es una aplicación inyectiva.
2. Supongamos que $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal superyectiva. Por el teorema 1.4.3 existe una aplicación lineal $A^{\prime \prime} \colon F \to E$ tal que:
   

   $$A \circ A^{\prime \prime} ={\cal I}_F$$ (6)

   
   
   De (6) se obtiene por el teorema 1.4.2: $\wedge A \circ \wedge A^{\prime \prime} = {\cal I}_{\wedge F}$. De ahí se sigue de nuevo por el teorema 1.4.3 que $\wedge A$ es una aplicación superyectiva. $\quad\Box$

Nota
El recíproco del teorema 1.4.5 se demostrará más adelante como teorema 1.4.10.

Corolario 4.1 (del teorema 1.4.5)   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensión finita y $A$ un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$. El homomorfismo de álgebras $\land A$ es un isomorfismo del álgebra $\land E$ sobre el álgebra $\land F$. El isomorfismo inverso es:

$$\fbox{${\displaystyle ( \land A)^{-1} = \land(A^{-1}) }$}$$

Demostración
Del teorema 1.4.5 se desprende sin más que $\land A$ es un isomorfismo del álgebra $\land E$ sobre el álgebra $\land F$. Se verifican las relaciones:

$$\begin{eqnarray*} A^{-1} \circ A &=& {\cal I}_E \\ A \circ A^{-1} &=& {\cal I}_F \end{eqnarray*}$$

Tomando las ampliaciones exteriores de ambos miembros de estas fórmulas obtenemos por el teorema 1.4.2:

$$\begin{eqnarray*} \land (A^{-1}) \circ (\land A) &=& {\cal I}_{\land E} \\ (\land A )\circ \land( A^{-1}) &=& {\cal I}_{\land F} \end{eqnarray*}$$

De ahí se ve de nuevo que $\land A$ es un isomorfismo del álgebra $\land E$ sobre el álgebra $\land F$ y también que $\land(A^{-1})= (\land A)^{-1}$. $\quad\Box$

Definición 4.1   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas y $A$ una aplicación lineal $E \to F$. $\forall \, p \in {\mathbb{Z}}$ se designa por $\stackrel{p}{\wedge} A$ y se llama $p$-ésima POTENCIA EXTERIOR DE LA APLICACIÓN LINEAL $A$ a la restricción del homomorfismo $\land A$ al subespacio $\stackrel{p}{\wedge} E$ de $\land E$.

Notamos que:

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{0}{\wedge} A = {\cal I}_{{\mathbb K}} \quad \mbox{y} \quad \stackrel{1}{\wedge} A = A }$}$$

Supongamos $p \in {\mathbb{N}}$. Ya que $\stackrel{p}{\wedge} A$ es la restricción a $\stackrel{p}{\wedge} E$ del homomorfismo $\land A$, vale $\forall \, \vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p \in E$:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \left( \stackrel{p}{\wedge} A \ri... ... \vec{x}_p ) = A \vec{x}_1 \land \cdots \land A \vec{x}_p }$}}$$ (7)

El segundo miembro de esta fórmula es un elemento del espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} F$. Puesto que todo elemento de $\stackrel{p}{\wedge} E$ es una suma de elementos descomponibles, se sigue de la fórmula (7) que $\stackrel{p}{\wedge} A$ aplica el espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} E$ en el subespacio $\stackrel{p}{\wedge} F$ del álgebra $\land F$. Cambiando ligeramente la notación consideraremos pues de aquí en adelante $\stackrel{p}{\wedge} A$ como una aplicación lineal del espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} E$ en el espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} F$.

Observación
Si $\overline{u} \in \stackrel{p}{\wedge} E$, $\overline{v} \in \stackrel{q}{\wedge} E$ y $A \in {\cal L} (E,F)$, se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{p+q}{\wedge} A (\overline{u} ... ...A) \overline{u} \land (\stackrel{q}{\wedge} A) \overline{v} }$}$$

En efecto, todas las potencias exteriores de $A$ que figuran en esta fórmula son restricciones de la ampliación exterior $\land A$ y ésta es un homomorfismo de álgebras.

Teorema 4.6   Las siguientes aseveraciones son ciertas:

1. Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita, vale $\forall \, p$:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \stackrel{p}{\wedge} {\cal I}_E = {\cal I}_{\stackrel{p}{\wedge} E}}$}$$
   
   

2. Si $E, F, G$ son espacios vectoriales de dimensiones finitas y $A\colon E \to F$, $B \colon F \to G$ son aplicaciones lineales vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \stackrel{p}{\wedge} (B \circ A) = (\stackrel{p}{\wedge} B) \circ (\stackrel{p}{\wedge} A)}$}$$
   
   

Demostración

1. Puesto que $\stackrel{p}{\wedge} {\cal I}_E$ es la restricción de $\land {\cal I}_E$ al espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} E$, vale en virtud del teorema 1.4.2 $\forall \, \overline{x} \in \stackrel{p}{\wedge} E$:
   
   $$\left( \stackrel{p}{\wedge} {\cal I}_E \right) (\overline{x})... ...\overline{x} = {\cal I}_{\stackrel{p}{\wedge} E} (\overline{x})$$
   
   
   probando el enunciado a.
2. Puesto que $\stackrel{p}{\wedge} A,\, \stackrel{p}{\wedge} B,\, \stackrel{p}{\wedge} (B \circ A)$ son restricciones de las aplicaciones $\land A,\, \land B,\, \land (B \circ A)$ a sendos espacios vectoriales $\stackrel{p}{\wedge} E,\, \stackrel{p}{\wedge} F \; \mbox{y} \; \stackrel{p}{\wedge} E$, vale en virtud del teorema 1.4.2 $\forall \, \overline{x} \in \stackrel{p}{\wedge} E$:
   $$\begin{eqnarray*} \stackrel{p}{\wedge} \left( B \circ A\right) (\overline{x}) &... ...p}{\wedge} B \circ \stackrel{p}{\wedge} A \right) (\overline{x}) \end{eqnarray*}$$
   
   
   probando el enunciado b. $\quad\Box$

Teorema 4.7   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas:

1. Si $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal inyectiva entonces también
   $\stackrel{p}{\wedge} A \colon \stackrel{p}{\wedge} E \to \stackrel{p}{\wedge} F$ es una aplicación lineal inyectiva.
2. Si $A\colon E \to F$ es una aplicación lineal superyectiva entonces también $\stackrel{p}{\wedge} A \colon \stackrel{p}{\wedge} E \to \stackrel{p}{\wedge} F$ es una aplicación lineal superyectiva.

Demostración

1. Supongamos la aplicación $A$ inyectiva. Por el teorema 1.4.5 la aplicación $\land A$ es también inyectiva. Luego $\stackrel{p}{\wedge} A$, restricción de ésta es también inyectiva.
2. Supongamos $A$ superyectiva. Por el teorema 1.4.5 también $\land A$ es superyectiva. Luego si $\overline{z}$ es un elemento arbitrario de $\stackrel{p}{\wedge} F$ existe $\overline{x} \in \land E$ tal que
   

   $$\land A (\overline{x} ) = \overline{z}$$ (8)

   
   
   Podemos escribir de manera única: ${\displaystyle \overline{x} = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} \overline{x}_k }$ con $\overline{x}_k \in \stackrel{k}{\wedge} E$. De ahí ${\displaystyle (\land A) \overline{x} = \sum_{k \in {\mathbb{Z}}} (\land A) \overline{x}_k}$ con $(\land A ) \overline{x}_k \in \stackrel{k}{\wedge} F$. Comparando con (8), vemos que $\land A (\overline{x}_k) =0$ si $k \ne p$ y (8) se reduce a:
   
   $$\land A( \overline{x}_p) = \overline{z} \quad \mbox{o sea} \quad \stackrel{p}{\wedge} A (\overline{x}_p) =\overline{z}$$
   
   
   probando el enunciado b. $\quad\Box$

Nota
El recíproco del teorema 1.4.7 se probará más adelante como teorema 1.4.10.

Corolario 4.2 (del teorema 1.4.7)   Si $E, F$ son espacios vectoriales de dimensiones finitas y $A\colon E \to F$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$, la aplicación $\stackrel{p}{\wedge} A$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{p}{\wedge} E$ sobre $\stackrel{p}{\wedge} F$. Además:

$$\fbox{${\displaystyle \left( \stackrel{p}{\wedge} A \right)^{-1} = \stackrel{p}{\wedge} \left( A^{-1} \right) }$}$$

Demostración
Las dos partes del teorema 1.4.7 hacen patente que $\stackrel{p}{\wedge} A$ es un isomorfismo lineal de $\stackrel{p}{\wedge} E$ sobre $\stackrel{p}{\wedge} F$. Rigen las relaciones:

$$A^{-1} \circ A = {\cal I}_E$$ (9)

$$A \circ A^{-1} = {\cal I}_F$$ (10)

Al tomar las $p$-ésimas potencias exteriores de ambos miembros de (9) y (10) se obtiene en virtud del teorema 1.4.6:

$$\stackrel{p}{\wedge}(A^{-1}) \circ \stackrel{p}{\wedge} A ={\cal I}_{\stackrel{p}{\wedge} E}$$ (11)

$$(\stackrel{p}{\wedge} A) \circ \stackrel{p}{\wedge} (A^{-1} ) = {\cal I}_{\stackrel{p}{\wedge} F}$$ (12)

Estas relaciones prueban otras vez que $\stackrel{p}{\wedge} A$ es un isomorfismo de $\stackrel{p}{\wedge} E$ sobre $\stackrel{p}{\wedge} F$ y además que $\stackrel{p}{\wedge} (A^{-1} ) = (\stackrel{p}{\wedge} A)^{-1}$. $\quad\Box$

Teorema 4.8   (Potencias exteriores de una aplicación lineal y el rango de ésta). Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas y $L$ una aplicación lineal de $E$ en $F$. Sea $r$ el rango de $L$. Se tiene:

$$\fbox{${\displaystyle \stackrel{p}{\wedge} L \ne 0 \ \mbox{ s... ...ace{3em} \stackrel{p}{\wedge} L =0 \ \mbox{ si } \; p > r }$}$$

Demostración

1. Supongamos $p \le r$.

   Sean $\vec{a}_1, \ldots,\vec{a}_r$ vectores de $E$ tales que la familia $(L \vec{a}_1,\ldots,L \vec{a}_r)$ constituye una base del subespacio $L(E)$ de $F$. La subfamilia $(L \vec{a}_1,\ldots,L \vec{a}_p)$ de dicha base es linealmente independiente. De ahí por el teorema 1.3.4:
   

   $$\stackrel{p}{\wedge} L (\vec{a}_1 \wedge \cdots \land \vec{a}_p) = L \vec{a}_1 \land \cdots \land L \vec{a}_p \ne 0$$
   
   
   Así pues $\stackrel{p}{\wedge} L \ne 0$.
2. Supongamos $p > r$.

   Para todo $p$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_p)$ de vectores de $E$, el $p$-uplo $(L \vec{x}_1,\ldots,L \vec{x}_p)$ de vectores de $L(E)$ es linealmente dependiente, luego, por el teorema 1.3.4:
   

   $$\stackrel{p}{\wedge} L (\vec{x}_1 \land \cdots \land \vec{x}_p) = L \vec{x}_1 \land \cdots \land L \vec{x}_p =0$$
   
   
   Esta relación prueba que $\stackrel{p}{\wedge} L$ se anula sobre todos los elementos descomponibles de $\stackrel{p}{\wedge} E$. Ya que éstos engendran el espacio vectorial $\stackrel{p}{\wedge} E$, vale $\stackrel{p}{\wedge} L =0$. $\quad\Box$

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