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Sean
un espacio vectorial de dimensión finita y
un subespacio de
. Designamos por
la inyección canónica. Por el teorema 1.4.5 la aplicación
es un homomorfismo inyectivo del álgebra
en el álgebra
. Permite identificar
, el álgebra exterior sobre
con su imagen
, subálgebra del álgebra exterior
sobre
.
Elementos
se identificarán con sendos elementos
,
de
y
el producto exterior
con:
Asimismo por el teorema 1.4.7
el subespacio
, espacio vectorial de los
-vectores sobre
se identificará con
subespacio vectorial de
. Ya que el espacio
está engendrado linealmente por los productos
con
, el espacio vectorial
identificado con éste está engendrado por los productos
(
es el mismo vector que
pero considerado como elemento de
).
Teorema 4.9
Sean
espacios vectoriales de dimensiones finitas y
una aplicación lineal de rango
:
. Vale:
Demostración
Pongamos
.
es un subespacio de
de dimensión
. Sean
la aplicación lineal definida por
y
la inyección canónica. Se verifica pues
![\begin{displaymath}
L = j \circ \lambda
\end{displaymath}](img823.png) |
(13) |
- Por el teorema 1.4.2 y la relación (13) el homomorfismo
puede representarse por:
![\begin{displaymath}
\land L = \land j \circ \land \lambda
\end{displaymath}](img825.png) |
(14) |
Puesto que
es una aplicación lineal superyectiva, por el teorema 1.4.5
es también una aplicación superyectiva, luego
Por el teorema 1.4.5
es inyectiva, luego por (14):
como afirmamos.
-
vale por el teorema 1.4.6:
![\begin{displaymath}
\stackrel{p}{\wedge} L = \stackrel{p}{\wedge} j \circ \stackrel{p}{\wedge} \lambda
\end{displaymath}](img831.png) |
(15) |
y por el teorema 1.4.7:
es una aplicación lineal superyectiva de
sobre
mientras que
es una aplicación lineal inyectiva de
en
, luego por (15):
Observación
El teorema 1.4.9 es más preciso que el teorema 1.4.8 y permite
recobrar éste. En efecto, sean
,
espacios vectoriales de dimensiones finitas y
una aplicación lineal de rango
. Sea
. Por el teorema 1.4.9 si
, se cumple
, luego
y si
:
, luego
.
Mediante el teorema 1.4.9 podemos también demostrar fácilmente los recíprocos de los teoremas 1.4.5 y 1.4.7.
Teorema 4.10
Sean
espacios vectoriales de sendas dimensiones finitas
. Sea
una aplicación lineal.
- Si el homomorfismo
es inyectivo, A es una aplicación lineal inyectiva.
- Si el homomorfismo
es superyectivo, A es una aplicación lineal superyectiva.
- Si para algún
,
es una aplicación lineal inyectiva, A es una aplicación lineal inyectiva.
- Si para algún
,
es una aplicación lineal superyectiva, A es una aplicación lineal superyectiva.
Demostración
Sea
.
- Supongamos que
es inyectiva. Luego:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\land A= \mbox{\rm dim }\land E =2^n
\end{displaymath}](img842.png) |
(16) |
Pero por el teorema 1.4.9 también:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\land A =2^r
\end{displaymath}](img843.png) |
(17) |
Al cotejar (16) con (17) obtenemos
. Así pues
es inyectiva.
- Supongamos que
es superyectiva. Luego:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\land A= \mbox{\rm dim }\land F= 2^m
\end{displaymath}](img845.png) |
(18) |
Por el teorema 1.4.9 tenemos también
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\land A =2^r
\end{displaymath}](img843.png) |
(19) |
Al cotejar (18) con (19) obtenemos
. Así pues,
es superyectiva.
- Supongamos que para cierto
:
es una aplicación lineal inyectiva, o sea:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {n \choose p }
\end{displaymath}](img847.png) |
(20) |
Pero por el teorema 1.4.9 vale también:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {r \choose p}
\end{displaymath}](img848.png) |
(21) |
Comparando (20) con (21) obtenemos
, luego
es una aplicación lineal inyectiva.
- Supongamos que para cierto
la aplicación lineal
es una aplicación superyectiva
. Vale pues
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {m \choose p}
\end{displaymath}](img850.png) |
(22) |
Por el teorema 1.4.9 tenemos también:
![\begin{displaymath}
\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {r \choose p}
\end{displaymath}](img848.png) |
(23) |
De (22) y (23) se sigue
. Por tanto la aplicación lineal
es superyectiva.
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Guillermo M. Luna
2009-06-14