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Álgebra exterior sobre un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita

Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita y $V$ un subespacio de $E$. Designamos por $i \colon V \to E$ la inyección canónica. Por el teorema 1.4.5 la aplicación $\land i \colon \land V \to \land E$ es un homomorfismo inyectivo del álgebra $\land V$ en el álgebra $\land E$. Permite identificar $\land V$, el álgebra exterior sobre $V$ con su imagen $(\land i) (\land V)$, subálgebra del álgebra exterior $\land E$ sobre $E$.

Elementos $\overline{v},\, \overline{w} \in \land V$ se identificarán con sendos elementos $(\land i) \overline{v}$, $(\land i) \overline{w}$ de $\land E$ y el producto exterior $\overline{v} \land \overline{w}$ con:

$$\fbox{${\displaystyle \left( \land i \right)(\overline{v} \la... ...ight) \overline{v} \land \left(\land i \right) \overline{w} }$}$$

Asimismo por el teorema 1.4.7 $\forall \, p \in {\mathbb{Z}}$ el subespacio $\stackrel{p}{\wedge} V$, espacio vectorial de los $p$-vectores sobre $V$ se identificará con $\left( \stackrel{p}{\wedge} i \right) \left( \stackrel{p}{\wedge} V \right)$ subespacio vectorial de $\stackrel{p}{\wedge} E$. Ya que el espacio $\stackrel{p}{\wedge} V$ está engendrado linealmente por los productos $\vec{v}_1 \land \cdots \land \vec{v}_p$ con $\vec{v}_1,\ldots,\vec{v}_p \in V$, el espacio vectorial $\left( \stackrel{p}{\wedge} i \right) \left( \stackrel{p}{\wedge} V \right)$ identificado con éste está engendrado por los productos $i \vec{v}_1 \land \cdots \land i \vec{v}_p$ ($i\vec{v}_k$ es el mismo vector que $\vec{v}_k$ pero considerado como elemento de $E$).

Teorema 4.9   Sean $E, F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas y $L \colon E \to F$ una aplicación lineal de rango $r$: $\mbox{\rm ran }L =r$. Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rll} {\rm 1)} & \mbox{\rm... ...e p} & \forall \, p \in \{ 0 \} \cup {\mathbb N} \end{array}}$}$$

Demostración
Pongamos $V=\colon L(E) \subset F$. $V$ es un subespacio de $F$ de dimensión $r$. Sean $\lambda \colon E \to V$ la aplicación lineal definida por $\lambda \vec x = \colon L \vec x \; \forall \, \vec x \in E$ y $j \colon V \to F$ la inyección canónica. Se verifica pues

$$L = j \circ \lambda$$ (13)

1. Por el teorema 1.4.2 y la relación (13) el homomorfismo $\land L \colon \land E \to \land F$ puede representarse por:
   

   $$\land L = \land j \circ \land \lambda$$ (14)

   
   
   Puesto que $\lambda \colon E \to V$ es una aplicación lineal superyectiva, por el teorema 1.4.5 $\land \lambda \colon \land E \to \land V$ es también una aplicación superyectiva, luego
   
   $$\mbox{\rm dim }(\land \lambda) (\land E) = \mbox{\rm dim }\land V = 2^r$$
   
   
   Por el teorema 1.4.5 $\land j$ es inyectiva, luego por (14):
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{\rm ran }\land L &=& \mbox{\rm dim }(\land L) (\land E) ... ...\land E) \right) \\ &=& \mbox{\rm dim }\land j (\land V) = 2^r \end{eqnarray*}$$
   
   
   como afirmamos.
2. $\forall \, p \in \{ 0 \} \cup {\mathbb{N}}$ vale por el teorema 1.4.6:
   

   $$\stackrel{p}{\wedge} L = \stackrel{p}{\wedge} j \circ \stackrel{p}{\wedge} \lambda$$ (15)

   
   
   y por el teorema 1.4.7: $\stackrel{p}{\wedge} \lambda$ es una aplicación lineal superyectiva de $\stackrel{p}{\wedge} E$ sobre $\stackrel{p}{\wedge} V$ mientras que $\stackrel{p}{\wedge} j$ es una aplicación lineal inyectiva de $\stackrel{p}{\wedge} V$ en $\stackrel{p}{\wedge} F$, luego por (15):
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} L &=& \mbox{\rm dim }\stac... ...& \mbox{\rm dim }(\stackrel{p}{\wedge} V) \\ &=& {r \choose p} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $\quad\Box$

Observación
El teorema 1.4.9 es más preciso que el teorema 1.4.8 y permite recobrar éste. En efecto, sean $E$, $F$ espacios vectoriales de dimensiones finitas y $L \colon E \to F$ una aplicación lineal de rango $r$. Sea $p\in \{ 0 \} \cup {\mathbb{N}}$. Por el teorema 1.4.9 si $p \le r$, se cumple ${\displaystyle \mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} L = {r \choose p} >0}$, luego $\stackrel{p}{\wedge} L \ne 0$ y si $p > r$: $\mbox{\rm ran }{\displaystyle \stackrel{p}{\wedge} L = {r \choose p} =0}$, luego $\stackrel{p}{\wedge} L =0$.

Mediante el teorema 1.4.9 podemos también demostrar fácilmente los recíprocos de los teoremas 1.4.5 y 1.4.7.

Teorema 4.10   Sean $E, F$ espacios vectoriales de sendas dimensiones finitas $n,m$. Sea $A\colon E \to F$ una aplicación lineal.

1. Si el homomorfismo $\land A \colon \land E \to \land F$ es inyectivo, A es una aplicación lineal inyectiva.
2. Si el homomorfismo $\land A \colon \land E \to \land F$ es superyectivo, A es una aplicación lineal superyectiva.
3. Si para algún $p \in [\![ 0,n ]\!]$, $\stackrel{p}{\wedge} A \colon \stackrel{p}{\wedge} E \to \stackrel{p}{\wedge} F$ es una aplicación lineal inyectiva, A es una aplicación lineal inyectiva.
4. Si para algún $p \in [\![ 0,m ]\!]$, $\stackrel{p}{\wedge} A \colon \stackrel{p}{\wedge} E \to \stackrel{p}{\wedge} F$ es una aplicación lineal superyectiva, A es una aplicación lineal superyectiva.

Demostración
Sea $r= \colon \mbox{\rm ran }A$.

1. Supongamos que $\land A$ es inyectiva. Luego:
   

   $$\mbox{\rm ran }\land A= \mbox{\rm dim }\land E =2^n$$ (16)

   
   
   Pero por el teorema 1.4.9 también:
   

   $$\mbox{\rm ran }\land A =2^r$$ (17)

   
   
   Al cotejar (16) con (17) obtenemos $r=n$. Así pues $A$ es inyectiva.
2. Supongamos que $\land A$ es superyectiva. Luego:
   

   $$\mbox{\rm ran }\land A= \mbox{\rm dim }\land F= 2^m$$ (18)

   
   
   Por el teorema 1.4.9 tenemos también
   

   $$\mbox{\rm ran }\land A =2^r$$ (19)

   
   
   Al cotejar (18) con (19) obtenemos $r=m$. Así pues, $A$ es superyectiva.
3. Supongamos que para cierto $p \in [\![ 0,n ]\!]$: $\stackrel{p}{\wedge} A$ es una aplicación lineal inyectiva, o sea:
   

   $$\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {n \choose p }$$ (20)

   
   
   Pero por el teorema 1.4.9 vale también:
   

   $$\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {r \choose p}$$ (21)

   
   
   Comparando (20) con (21) obtenemos $r=n$, luego $A$ es una aplicación lineal inyectiva.
4. Supongamos que para cierto $p \in [\![ 0,m ]\!]$ la aplicación lineal $\stackrel{p}{\wedge} A$ es una aplicación superyectiva $\stackrel{p}{\wedge} E \to \stackrel{p}{\wedge} F$. Vale pues
   

   $$\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {m \choose p}$$ (22)

   
   
   Por el teorema 1.4.9 tenemos también:
   

   $$\mbox{\rm ran }\stackrel{p}{\wedge} A = {r \choose p}$$ (23)

   
   
   De (22) y (23) se sigue $r=m$. Por tanto la aplicación lineal $A$ es superyectiva. $\quad\Box$

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