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Matriz de la aplicación dual

Teorema 2.6   Sean $E,\;F$ espacios vectoriales de sendas dimensiones finitas $n,m$, provistos de sendas bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n), \, (\vec{f_1},\ldots,\vec{f}_m)$. Designemos por las correspondientes bases duales de $E^*$ y $F^*$.

Sea $A$ una aplicación lineal de $E$ en $F$. Supongamos que rigen las relaciones:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle A\vec{e_k}= \sum\limits_{i=1}^m a_k^i \vec{f_i} \qquad k=1,\ldots,n}}$}}$$ (6)

Entonces se verifica también :

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle A^* \mathop{\vtop{... ...echa$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \qquad i=1,\ldots,m}}$}}$$ (7)

Nota
Al referirse a las relaciones (6) se suele decir que $\left( a_k^i \right)_{1\leq k \leq n}^{1 \leq i \leq m}$, matriz de tipo $m \times n,$ es la matriz de la aplicación lineal $A$ con respecto a las bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y $(\vec{f_1},\ldots,\vec{f}_m)$ de $F$. El índice inferior $k$ se interpreta actualmente como ``índice de columna''. Según este convenio, la columna número $k$ de la matriz considerada contiene las componentes del vector $A \vec{e_k}$ con respecto a la base $(\vec{f_1},\ldots,\vec{f}_m)$. Si deseamos mantener un convenio semejante para la aplicación dual $A^*$, la matriz de ésta con respecto a las bases de $F^*$ y de $E^*$ debe ser del tipo $n \times m$ y su columna número $i$ debe contener las componentes de con respecto a la base de $E^*$. El índice $i$ en la fórmula (7) del enunciado deberá, pues, considerarse, contrariamente a nuestro uso anterior, como índice de columna. Esto sentado, podremos decir que la matriz de $A^*$ con respecto a las bases de $F$ y de $E$ es igual a la traspuesta de la matriz de $A$ con respecto a las bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ y $(\vec{f_1},\ldots,\vec{f}_m)$ de $F$.

Demostración
Copiamos las fórmulas de la hipótesis:

$$A\vec{e_k}= \sum_{i=1}^m a_k^i \vec{f_i} \qquad k=1,\ldots,n$$ (8)

y ponemos:

$$A^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (9)

con coeficientes $b_k^i$ por determinar. Por (9), la observación después de la definición 2.2.3 y (8) obtenemos:

$$b_k^i= \bigl\langle \vec{e_k}, A^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

$\quad\Box$

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