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Repaso de dualidad

La teoría de espacios duales figura como parte de cualquier curso de álgebra lineal. El sucinto repaso a continuación sirve, antes que todo, para fijar terminología y notaciones.

Definición 2.1  

1. Se llama FORMA LINEAL sobre un espacio vectorial $E$ toda aplicación lineal $E \to {{\mathbb{K}}}$.
2. El espacio vectorial ${\cal L}(E,{{\mathbb{K}}})$ de todas las formas lineales sobre $E$ se llama el ESPACIO DUAL de $E$. Se designa por la notación $E^*$. Así pues:
   
   $$\fbox{${\displaystyle E^* =\colon {\cal L}(E,{{\mathbb K}})}$}$$
   
   

Los elementos de $E$ que, como antes, llamaremos VECTORES, los seguiremos designando por letras con flechas encima. Las formas lineales, elementos de $E^*$ que también llamaremos COVECTORES, los designaremos por letras con flechas abajo.

Si designaremos por el símbolo más bien que por el escalar, valor de la forma lineal sobre el vector $\vec x$.

Rigen las reglas:

$$\fbox{${\displaystyle \begin{array}{rcl} \bigl\langle \alpha_... ...\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in E^* \end{array}}$}$$

En otras palabras, la aplicación es una aplicación bilineal de $E\times E^*$ en ${{\mathbb{K}}}$.

En efecto, la primera regla expresa meramente el hecho de que es una aplicación lineal. La segunda regla es solamente la definición de las operaciones en $E^* =\colon {\cal L}(E,{{\mathbb{K}}})$.

Definición 2.2   Supongamos $E$ de dimensión finita $n$. Sea $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ una base de $E$. $\forall i \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ la aplicación $E \to {{\mathbb{K}}}$ definida por:

$$x^1\vec{e}_1+\cdots+x^n\vec{e}_n \mapsto x^i$$

es patentemente una forma lineal sobre $E$, elemento de $E^*$. Dicha forma lineal la designaremos por .

Siendo $\forall j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack ,\; \vec{e}_j=\sum_{h=1}^n \delta_j^h \vec{e}_{h}$ vale:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{e}_j,\mathop{\v... ...\quad \forall j \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack }$}}$$ (1)

Estas relaciones caracterizan al covector , pues una aplicación lineal del espacio vectorial $E$, en cualquier otro, está únicamente determinada por sus valores sobre una base de $E$.

Teorema 2.1 (y definición)   Con las notaciones de arriba es una base del espacio vectorial $E^*$. Se llama la BASE DE DUAL DE LA BASE $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$.

Demostración

1. Supongamos una relación lineal .

   Evaluando ambos miembros de esta relación sobre un vector $\vec e_k$ obtenemos, en virtud de la relación (1): ${\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \delta_k^i =0}$ o sea $\alpha_k =0$. Esto es válido $\forall k\in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$. Luego la familia es linealmente independiente en $E^*$.

2. Sea un covector, elemento de $E^*$, arbitrario. Para un vector arbitrario ${\displaystyle \vec{x}=\sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i\;\in E}$ obtenemos:
   
   $$\bigl\langle \vec{x},\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   de ahí que (al quitar el argumento $\vec x$): La última relación prueba que la familia engendra el espacio vectorial $E^*$.

De a) y b) se sigue que es una base de $E^*$. $\quad\Box$

Para referencia destacamos la relación siguiente utilizada en la demostración precedente:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

Consecuencia del teorema 2.2.1. Si $E$ es un espacio vectorial de dimensión finita, lo es también $E^*$ y se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }E^*=\mbox{\rm dim }E}$}$$

Observación
Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión finita provisto de una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y $E^*$ su espacio dual provisto de la base dual de la anterior.

Sean $\vec x$ un vector arbitrario en $E$ e un covector arbitrario en $E^*$. Podemos escribir de manera única:

$$\vec{x}=\sum_{i=1}^n x^i \vec{e}_i \quad;\quad \mathop{\vtop{... ...n-5pt}}}}\limits \quad \mbox{con }\; x^i,y_i \in {{\mathbb{K}}}$$

Afirmamos que entonces:

$$\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \bigl\langle \vec{x},\ma... ...rn-5pt}}}}\limits \bigr\rangle =\sum\limits_{i=1}^n x^i y_i}}$}$$

En efecto, usando la bilinealidad de la aplicación obtenemos:

$$\begin{eqnarray*} \bigl\langle \vec{x},\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

$\quad\Box$

Definición 2.3   Sean $E, F$ espacios vectoriales y $L$ una aplicación lineal de $E$ en $F$. Si , la aplicación compuesta es una aplicación lineal de $E$ en ${\mathbb{K}}$, elemento de $E^*$. Queda pues, definida la aplicación $L^*$ de $F^*$ en $E^*$ por la fórmula:

$$\fbox{${\displaystyle L^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

La aplicación $L^* \colon F^* \to E^*$ se llama la APLICACIÓN DUAL de la aplicación lineal $L \colon E \to F$.

Observación
La definición de $L^*$ equivale patentemente a la regla:

$$\fbox{${\displaystyle \bigl\langle \vec{x},L^* \mathop{\vtop{... ...lineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in F^*}$}$$

Teorema 2.2  

1. Con las notaciones de la definición 2.2.3, $L^*$ es una aplicación lineal de $F^*$ en $E^*$.
2. La aplicación $L \mapsto L^*$ es una aplicación lineal del espacio vectorial ${\cal L}(E,F)$ en el espacio vectorial ${\cal L}(F^*,E^*)$.

Demostración

1. vale:
   $$\begin{eqnarray*} L^*(\alpha_1 \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   probando la afirmación a).
2. $\forall L_1,\;L_2 \in {\cal L}(E,F),\;\forall \alpha_1,\;\alpha_2 \in {{\mathbb... ...{\kern1.5pt\nointerlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits \in F^*$ vale:
   $$\begin{eqnarray*} (\alpha_1 L_1+ \alpha_2 L_2)^* (\mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   O sea, quitando el argumento .
   
   $$(\alpha_1 L_1 + \alpha_2 L_2)^* = \alpha_1 L_1^* + \alpha_2 L_2^*$$
   
   
   $\quad\Box$

Teorema 2.3  

1. Si $E$ es un espacio vectorial, vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle ({\cal I}_E)^* = {\cal I}_{E^*}}$}$$
   
   

2. Si $E, \, F, \, G$ son espacios vectoriales y $A\colon E \to F$, $B \colon F \to G$ aplicaciones lineales, vale:
   
   $$\fbox{${\displaystyle (B \circ A)^* = A^* \circ B^*}$}$$
   
   

Demostración

1. vale: ; de ahí que $({\cal I}_E)^* = {\cal I}_{E^*}$, probando la afirmación a).
2. vale:
   $$\begin{eqnarray*} (B \circ A)^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$
   
   
   De ahí que: $(B \circ A)^* = A^* \circ B^*$. $\quad\Box$

Note los diagramas:

$$\begin{array}{rclcl} E&\smash{ \mathop{\longrightarrow}\lim... ...&\smash{ \mathop{\longleftarrow}\limits^{B^*}}&G^* \end{array}$$

con la inversión de las flechas en el segundo.

Teorema 2.4   Sean $E, F$ espacios vectoriales y $L$ una aplicación lineal de $E$ en $F$.

1. Si $L$ es inyectiva, $L^*$ es una aplicación superyectiva de $F^*$ sobre $E^*$.
2. Si $L$ es superyectiva, $L^*$ es una aplicación inyectiva de $E^*$ en $F^*$.

Demostración

1. Supongamos $L$ inyectiva. Por el teorema 1.21 existe una aplicación lineal $M$ de $F$ en $E$ tal que: $M\circ L = {\cal I}_E$. Tomando las aplicaciones duales de ambos miembros y aplicando el teorema 2.2.3 obtenemos de ahí: $L^* \circ M^* = {\cal I}_{E^*}$. En virtud del teorema 1.4.4, esta relación entraña que $L^*$ es superyectiva
2. Supongamos $L$ superyectiva. Por el teorema 1.22 existe una aplicación lineal $N\colon F \to E$ tal que: $L \circ N = {\cal I}_F$. Tomando las aplicaciones duales de ambos miembros y aplicando el teorema 2.2.3 conseguimos de ahí: $N^* \circ L^*= {\cal I}_{F^*}$. En virtud del teorema 1.4.3, esta relación entraña que $L^*$ es inyectiva. $\quad\Box$

Corolario 2.1   Si $L$ es un isomorfismo lineal de un espacio vectorial $E$ sobre un espacio vectorial $F$, $L^*$ es un isomorfismo lineal de $F^*$ sobre $E^*$.

Teorema 2.5   Si $L$ es un isomorfismo lineal de un espacio vectorial $E$ sobre un espacio vectorial $F$ se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle (L^*)^{-1} =(L^{-1})^*}$}$$

Demostración
Se cumplen la relaciones:

$$L^{-1} \circ L = {\cal I}_E$$ (2)

$$L \circ L^{-1} = {\cal I}_F$$ (3)

Al tomar las aplicaciones duales de ambos miembros de (2) y (3) y aplicar el teorema 2.2.3 conseguimos:

$$L^* \circ (L^{-1})^* = {\cal I}_{E^*}$$ (4)

$$(L^{-1})^* \circ L^* = {\cal I}_{F^*}$$ (5)

Las relaciones (4) y (5) prueban de nuevo que $L^*$ es un isomorfismo de $E^*$ sobre $F^*$ y $(L^{-1})^* =(L^*)^{-1}$. $\quad\Box$

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