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Anuladores

Definición 2.4   Sea $E$ un espacio vectorial y $S$ un subconjunto arbitrario de $E$. Definimos un subconjunto $S^\circ$ de $E^*$ por:

$$\fbox{${\displaystyle S^{\circ}= \colon \{ \mathop{\vtop{\ial... ...n-5pt}}}}\limits \bigr\rangle =0 \; \forall \vec{s}\in S \} }$}$$

El conjunto $S^\circ$ se llama el ANULADOR DEL CONJUNTO $S$. Obviamente $S^\circ$ es un subespacio de $E^*$ (aún si $S$ no es un subespacio de $E$). Es claro también que:

$$\fbox{${\displaystyle \{ 0 \} ^{\circ} = E^* \qquad \mbox{y} \qquad E^\circ = \{ 0\}}$}$$

Teorema 2.7   Si $S$ y $T$ son subconjuntos de $E$ y $S \subset T$ vale: $T^\circ \subset S^\circ$.

Demostración
Supongamos $S \subset T \subset E$. Sea es decir . Si $\vec{s} \in S$, es cierto también que $\vec{s} \in T$, luego o sea . Así pues $T^\circ \subset S^\circ$. $\quad\Box$

Aunque la definición del anulador $S^\circ$ no exige que $S$ sea un subespacio de $E$, ``no se pierde nada'' al considerar solamente este último caso. En efecto, vale:

Teorema 2.8   Si $E$ es un espacio vectorial y $S$ es un subconjunto arbitrario de $E$, se tiene:

$$\fbox{${\displaystyle S^\circ = {\cal L} (S) ^\circ}$}$$

donde ${\cal L} (S)$ es el subespacio de $E$ engendrado por el conjunto $S$.

Demostración

1. Ya que $S \subset {\cal L}(S)$, se sigue del teorema 2.2.7:
   

   $${\cal L}(S)^\circ \subset S^\circ$$ (10)

   
   

2. Sea . El covector se anula sobre todo elemento de $S$. Ya que el subespacio ${\cal L} (S)$ consta de combinaciones lineales finitas de elementos de $S$, se anula también sobre todo elemento de ${\cal L} (S)$. Así pues:
   

   $$S^\circ \subset {\cal L}(S)^\circ$$ (11)

   
   
   De (10) y (11) se sigue:
   

   $$S^\circ= {\cal L}(S)^\circ$$ (12)

   
   
   $\quad\Box$

Teorema 2.9   Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita. Para todo subespacio $V$ de $E$ se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }V^\circ + \mbox{\rm dim }V =\mbox{\rm dim }E}$}$$

Demostración
Sean $r =\colon \mbox{\rm dim }V$ y $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ una base del subespacio $V$. Completamos la familia $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r)$ a una base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r;\vec{e}_{r+1},\ldots,\vec{e}_n)$ del espacio vectorial $E$.

Sea la base de $E^*$, dual de esta última. Claramente un covector pertenece al anulador $V^\circ$ si y sólo si se anula sobre los vectores $\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_r$, equivalentemente si y sólo si $y_1=y_2= \cdots =y_r=0$, es decir, (subespacio de $E^*$ engendrado por ). Así pues, es una base de $V^\circ$, de donde:

$$\mbox{\rm dim }V^{\circ} = n -r = \mbox{\rm dim }E - \mbox{\rm dim }V$$

$\quad\Box$

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