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Cambio de base en espacios vectoriales y sus duales

Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Consideremos en $E$ una ``antigua base'' $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ y una ``nueva base'' $(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$. Rigen unas relaciones:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \vec{f}_k = \sum\l... ...ec{e}_i \qquad k=1,\ldots,n,\quad s_k^i \in {{\mathbb K}}}}$}}$$ (1)

La matriz:

$$\fbox{${\displaystyle {\cal S}=\colon \left( s_k^i \right)_{1\le k\le n}^{1\le i\le n}}$}$$

de tipo $n\times n$ se llama la MATRIZ DE TRANSICIÓN DE LA ANTIGUA BASE #MATH2676# DE A LA NUEVA BASE $(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$. Puesto que $(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ es una familia linealmente independiente en $E$, la matriz $\cal S$ es una matriz inversible. Introducimos también las bases de $E^*$ duales de sendas bases $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n),\;(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ de $E$. Sea $S$ el único endomorfismo lineal de $E$ tal que:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle S \vec{e}_k =\vec{f}_k \quad \mbox{para} \quad k=1,\ldots,n }$}}$$ (2)

$S$ es de hecho un automorfismo lineal de $E$. Ya que por (1) y (2):

$$S\vec{e}_k= \sum_{i=1}^n s_k^i \vec{e}_i ;\quad k=1,\ldots,n$$

la matriz de transición $\cal S$ es la matriz del automorfismo $S$ con respecto a la antigua base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de E.

Aplicando el operador $S$ a ambos miembros de (1), obtenemos:

$$S\vec{f}_k= \sum_{i=1}^n s_k^i S\vec{e}_i ;\quad k=1,\ldots,n$$

o sea, teniendo en cuenta (2):

$$S\vec{f}_k = \sum\limits_{i=1}^n s_k^i \vec{f}_i ;\quad k=1,\ldots,n$$ (3)

Estas fórmulas muestran que la matriz de transición $\cal S$ es también la matriz del automorfismo $S$ con respecto a la nueva base $(\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_n)$ de $E$.

Pasemos al automorfismo dual $S^*$ de $E^*$. Por el teorema 2.2.6 las fórmulas (3) equivalen a:

$$S^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (4)

Por otra parte, $\forall i,k \in \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ en virtud de (2)

$$\bigl\langle \vec{e}_k,S^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$

de donde:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle S^* \mathop{\vtop{\ialign{ ...$$ (5)

Comparando con (4), obtenemos la fórmula ``dual'' de (1):

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle \mathop{\vtop{\ial... ...nterlineskip} $\flecha$\cr\noalign{\kern-5pt}}}}\limits }}$}}$$ (6)

Al pasar de (1) y (6) notamos un ``doble fenómeno de inversión'', a saber:

1. Las fórmulas (1) expresan los elementos de la nueva base de $E$ en función de la antigua base. Pero las fórmulas (6) expresan los elementos de la antigua base dual de $E^*$ en función de la nueva.
2. En cada fórmula (1) se fija el índice inferior $k$ (índice de columna) de $s_k^i$. Pero en cada fórmula (6) es fijo el índice superior $i$ (índice de fila) de $s_k^i$; o, si se quiere:

   La fórmula número $k$ en (1) pone en obra la columna número $k$ de $\cal S$.

   La fórmula número $i$ en (6) pone en obra la fila número $i$ de $\cal S$.

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