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Cambio de base en productos exteriores y sus duales

Sea $r\in \lbrack\!\lbrack 0,n \rbrack\!\rbrack$. Sea $K \subset \lbrack\!\lbrack 1,n \rbrack\!\rbrack$ tal que $\vert K\vert=r$. Escribimos $K = \{ j_1,\ldots,j_r \}$, $j_1< \cdots < j_r$. Vale en virtud de (2):

$$\begin{eqnarray*} (\stackrel{r}{\wedge} S ) ({\overline e}_{K}) &=& (\stackrel{r... ...}_{j_r})\\ &=& \vec{f}_{j_1} \wedge \cdots\wedge \vec{f}_{j_r} \end{eqnarray*}$$

O sea:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (\stackrel{r}{\wedge} S )({\overline e}_{K})= {\overline f}_{K}}$}}$$ (7)

Por otra parte, por el teorema 1.4.19, la matriz del automorfismo $\stackrel{r}{\wedge} S$ del espacio vectorial $\stackrel{r}{\wedge}E$ con respecto a cualquiera de las bases $({\overline e}_{K})_{\vert K\vert=r}$, $({\overline f}_{K})_{\vert K\vert=r}$ de este espacio es $(S_K^H)_{\vert K\vert=r}^{\vert H\vert=r}$, la matriz de los menores de orden $r$ de la matriz $\cal S$. Tenemos pues:

$$(\stackrel{r}{\wedge} S) ({\overline e}_{K}) = \sum\limits_{\vert H\vert=r} S_K^H {\overline e}_{H}$$ (8)

y

$$(\stackrel{r}{\wedge} S) ({\overline f}_{K}) = \sum\limits_{\vert H\vert=r} S_K^H {\overline f}_{H}$$ (9)

Al comparar (7) con (8) obtenemos:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \displaystyle {\overline f}_{K}= ... ...K^H {\overline e}_{H} \quad \mbox{si} \quad \vert K\vert=r}$}}$$ (10)

fórmula que generaliza (1).

También por los teoremas 2.2.6 y 2.3.3 la fórmula (9) equivale a:

$$(\stackrel{r}{\wedge} S^*) ({\underline f}^{H}) =\sum\limits... ... S_K^H {\underline f}^{K} \quad \mbox{si} \quad \vert H\vert=r$$ (11)

Por otra parte, usando (7):

$$\bigl\langle {\overline e}_{K},(\stackrel{r}{\wedge}S^*) {\un... ...overline f}_{K},{\underline f}^{H}\bigr\rangle = \delta_{K}^{H}$$

y esto dice que:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\underline e}^{H} = \stackrel{r}{\wedge} S^* ({\underline f}^{H})}$}}$$ (12)

fórmula que generaliza (5).

Finalmente, comparando (11) con (12) llegamos a:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle {\displaystyle {\underline e}^{H} = \sum\limits_{\vert K\vert=r} S_{K}^H {\underline f}^{K}}}$}}$$ (13)

fórmula que generaliza (7).

Como en la subsección 2.5.1, cabe señalar un ``doble fenómeno de inversión'' al pasar de las fórmulas (10) a las fórmulas (13).

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