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Caracterización geométrica del producto vectorial
$\vec{x}_1 \times \cdots\times \vec{x}_{n-1}$ en el caso euclidiano

Dirección.

$$\begin{eqnarray*} {\cal L}(\vec{x}_1 \times \cdots \times \vec{x}_{n-1}) &=& {... ...1})^\bot \\ &=& {\cal L}(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1})^\bot \end{eqnarray*}$$

Equivalentemente:

$$\fbox{${\displaystyle \vec{x}_1 \times \cdots \times \vec{x}_... ... \; \bot \; \vec{x}_k \quad \forall\, k \in [\![ 1, n-1 ]\!]}$}$$

Magnitud. Por la fórmula de Cauchy-Binet:

$$\begin{eqnarray*} \Vert \vec{x}_1 \times \cdots \times \vec{x}_{n-1} \Vert^2 &=... ...( \vec{x}_i \vert \vec{x}_j) \right)_{1\le i,j \le n-1} \right) \end{eqnarray*}$$

o sea:

$$\fbox{${\displaystyle \Vert \vec{x}_1 \times \cdots \times \v... ... \Vert = \mbox{\rm vol }\Pi (\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1})}$}$$

donde el segundo miembro es el volumen ``$(n-1)$-dimensional'' en el espacio vectorial euclidiano ${\cal L}(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1})$ de dimensión $n-1$.

Sentido. El $n$-uplo $(\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1}, \vec{x}_1 \times \cdots \times \vec{x}_{n-1})$ es de sentido positivo, pues:

$$[\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1}, \vec{x}_1 \times \cdots \tim... ...{n-1} \vert \vec{x}_1 \times \cdots \times \vec{x}_{n-1}) \ge 0$$

Hasta aquí nuestra introducción algebraica.