El vector
de
, si existe se llama la DERIVADA DE LA APLICACIÓN EN EL PUNTO SEGÚN EL VECTOR .
En el caso particular de ser
y
, considerado como vector del
espacio vectorial
de dimensión 1, se tiene
, la derivada
usual de
en el punto
. Esta circunstancia motiva la definición (1).
La definición (1) conserva el sentido si . Por cierto la derivada según el vector cero siempre existe
y se verifica:
Así pues:
Si existe
, existe también
y se verifica:
Nota
Autores anglosajones dicen frecuentemente ``derivada direccional'' en vez de ``derivada según un vector''. La fórmula (2) muestra que esta terminología es incorrecta, pues
si , no es cierto que
dependa solamente de la
``dirección'' de
, o sea del subespacio
de
de dimensión 1, engendrado por el vector
.
Caso de ser de dimensión finita
Supongamos
Si mantenemos fija la base
En la última circunstancia
Nota
y consideremos una base
de
. Si para algún
existe la derivada
la llamaremos DERIVADA PARCIAL DE EN , DE ´iNDICE CON RESPECTO A LA BASE
y pongamos
. Vale:
De ahí vemos que si, mediante el referencial
identificamos los puntos de
con los
correspondientes
-uplos de sus coordenadas,
no será otra que la derivada parcial ``usual'' (de orden 1)
de
en
``con respecto al argumento número
''.
nos permitiremos escribir simplemente
en vez de
. Esto será siempre el caso si
y
es la base natural de
.
es sensu stricto la derivada parcial usual de
en
``con
respecto al
-ésimo argumento''.
La existencia de las derivadas
aun para todo
(a fortiori la mera existencia de todas
las derivadas parciales con respecto a una base en el caso de dimensión finita) no constituye todavía una generalización adecuada de la
derivabilidad de
en
en el caso familiar
, pues:
La verdadera y fecunda generalización del concepto de derivada en dimensión 1 es aquél de ``diferencial'' que procedemos a definir.
en
,
de
en
no es necesariamente
lineal, como sería deseable,
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Guillermo M. Luna
2009-06-14