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Concepto de diferencial

Sea ${\displaystyle {\cal E}\supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F}$ y sea $a$ un punto interior de $\cal S$. Ponemos

$$-a + {\cal S} = \colon \left\{ \vec u \in E \bigm\vert a + \vec u \in {\cal S} \right\}$$

y consideramos la aplicación $\vec u \mapsto \varphi( a +\vec u)$ de $-a + \cal S$ en $\cal F$.

Sea $B(a,\rho)$ una bola abierta de $\cal E$ contenida en $\cal S$. Entonces

$$\mbox{\frakiii B} (0,\rho) = \colon \left\{ \vec u \in E \bigm\vert \Vert \vec u \Vert < \rho \right\}$$

es una bola abierta de $E$ de centro en 0, contenida en $-a + \cal S$. El vector $0 \in E$ es pues un punto interior del conjunto $-a + \cal S$.

Sea $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$ una aplicación afín continua. Deseamos que, en un sentido por precisar, $\Phi$ ``aproxime la aplicación $\varphi$ cerca del punto $a$''.

En primer lugar exigimos:

$$\Phi (a) = \varphi(a)$$ (3)

Pedir luego que sea meramente ${\displaystyle \lim_{\vec u\to 0} \left( \varphi( a+ \vec u) - \Phi (a+ \vec u)\right) =0}$ sería bien insuficiente, pues si $\varphi$ es continua en $a$, esta condición se cumple para cualquier aplicación afín continua $\Phi$. En vez de lo último requerimos pues que, cuando $\vec u \to 0$, la diferencia $\varphi (a + \vec u) - \Phi (a+ \vec u)$ ``tienda a cero más rápidamente que $\vec u\,$'' es decir:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \lim_{\vec u \in -a + {\cal S} ,\... ... \vec u ) - \Phi(a + \vec u) \over \Vert \vec u \Vert } =0}$}}$$ (4)

Si se cumplen las relaciones (3) y (4), se dice que la aplicación afín continua $\Phi$ es TANGENTE A LA APLICACIÓN EN EL PUNTO .

Mediante (3) vale:

$$\Phi( a + \vec u) = \Phi (a) + \Phi_* (\vec u) = \varphi( a) + \Phi_* (\vec u)$$

luego (4) reza:

$$\lim_{\vec u \in -a + {\cal S} ,\, \vec u \ne 0 \atop \vec u ... ... \vec u) - \varphi(a ) - L \vec u \over \Vert \vec u \Vert } =0$$

donde $L=\colon \Phi_*$ es una aplicación lineal continua $E \to F$.

Estas consideraciones nos conducen a la siguiente:

Definición 3.1   Sean ${\displaystyle {\cal E}\supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F}$ y a un punto interior de $\cal S$. Se dice que la aplicación $\varphi$ es DIFERENCIABLE EN EL PUNTO , si existe una aplicación lineal continua $L \colon E \to F$ tal que:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \lim_{\vec u \in -a + {\cal S} ,... ... \vec u ) - \varphi(a ) - L \vec u}{\Vert \vec u \Vert} =0}$}}$$ (5)

Esta relación claramente equivale a:

$$\lim_{\vec u \in {\frak B }(0,\rho),\, \vec u \ne 0 \atop \ve... ...vec u ) - \varphi(a ) - L \vec u \over \Vert \vec u \Vert } =0$$

Salvo cuando nos sea realmente útil, omitiremos en fórmulas de este tipo la referencia explícita al conjunto donde varía $\vec u$.

Teorema 3.1 (y definición)   La aplicación lineal continua $L \colon E \to F$ en la fórmula (5), si existe, es única. Se llama la DIFERENCIAL DE LA APLICACIÓN EN EL PUNTO y se le designa por $d\varphi (a)$.

Existe, pues, entonces, una única aplicación afín continua $\Phi \colon {\cal E} \to {\cal F}$ tangente a $\varphi$ en el punto a. Está dada por:

$$\fbox{${\displaystyle \Phi (m) = \varphi(a) + d \varphi (a) (m-a) \quad \forall \, m \in \cal E}$}$$

Demostración
Supongamos que existe $L$. Fijemos arbitrariamente un vector $\vec v \ne 0$ en $E$. Apliquemos la fórmula (5) al vector $\vec u = \colon t \vec v$ con $t \in {\mathbb{R}}$ tal que ${\displaystyle \vert t \vert < {\rho \over \Vert \vec v \Vert }}$, lo que implica $t \vec v \in \mbox{\frakiii B}(0,\rho) \subset -a+ {\cal S}$. Obtenemos:

$$\lim_{t \to 0 \atop t \ne 0} {\varphi(a+ t \vec v ) - \varphi(a ) - t L \vec v \over t \Vert \vec v \Vert } =0$$

Equivalentemente, al dividir el numerador y denominador por $t$:

$$\lim_{t \to 0 \atop t \ne 0} {\varphi(a+ t \vec v ) - \varphi(a )\over t } =L \vec v$$

La última fórmula prueba que existe la derivada $\partial_{\vec v} \varphi (a)$ y vale:

$$L \vec v = \partial_{\vec v} \varphi (a)$$

de donde la unicidad de $L$. $\quad\Box$

Observación 1

La fórmula (5) de la definición 4.2.3 se escribirá de aquí en adelante explícitamente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \lim_{ \vec u \to 0 \atop \vec u ... ...hi(a ) - d\varphi (a) \vec u \over \Vert \vec u \Vert } =0}$}}$$ (6)

Con más frecuencia escribiremos equivalentemente: Existe una aplicación $\theta \colon -a+{\cal S} \to F$ tal que:

$$\fbox{${\displaystyle \lim_{\vec u \to 0} \theta (\vec u)=0}$}$$

y

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \varphi( a+ \vec u) - \varphi(a) ... ...t \theta (\vec u) \quad \forall\, \vec u \in -a + {\cal S}}$}}$$ (7)

Observación 2

La demostración del teorema 4.3.1 enseña lo siguiente:

Si $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$, para todo $\vec u \in E$ existe la derivada $\partial_{\vec u} \varphi(a)$ y vale $\forall \, \vec u \in E$:

$$\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u} \varphi( a)= d \varphi(a) \vec u}$}$$

Así pues en este caso la aplicación $\vec u \mapsto \partial_{\vec u} \varphi (a)$ es una aplicación lineal continua de $E$ en $F$ y, de hecho, coincide con la diferencial $d\varphi (a)$. En particular si $\cal E$ es de dimensión finita y $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es una base de $E$, obtenemos al poner:

$$\fbox{${\displaystyle \vec u = \sum_{i=1}^n u^i \vec{e}_i \quad u^i \in {\mathbb R}}$}$$

$$\partial_{\vec u} \varphi (a) = \sum_{i=1}^n u^i \left( d \varphi(a) \vec{e}_i \right)$$

o sea

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle \partial_{\vec u} \varphi (a) = d\varphi (a) \vec u =\sum_{i=1}^n u^i \partial_i \varphi (a)}$}}$$ (8)

donde $\partial_i \varphi(a)$ son las derivadas parciales de $\varphi$ en $a$ con respecto a la base $(\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ de E.

Observación 3

Sean ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$. Si $\varphi$ es una constante en $\cal S$, $\varphi$ es diferenciable en todo punto interior p de $\cal S$ y para todo tal punto p:

$$\fbox{${\displaystyle d \varphi (p) =0}$}$$

Demostración
Sea $c \in \cal F$ el valor constante de $\varphi$ en $\cal S$. La relación (7) de la observación 1 es válida con $\varphi (p + \vec u) = \varphi(p)=c,\; d \varphi(p)=0$ y $\theta =0$, de donde la conclusión.

Observación 4 (Carácter local de la diferenciación)

Sean ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$ y $a$ un punto interior de $\cal S$. Sea $T$ una parte de $\cal S$ tal que $a$ es también punto interior de $T$. La aplicación $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$ si y sólo si su restricción $\varphi_T$ al conjunto $T$ es diferenciable en el punto $a$ y entonces vale:

$$d \, \varphi_T (a) = d\, \varphi (a)$$

Demostración
Siendo $a$ un punto interior de $T$, existe $\rho^\prime \in ] 0,\rho ]$ tal que:

$$B(a, \rho^\prime ) \subset T \subset {\cal S}$$

Luego $\mbox{\frakiii B} (0, \rho^\prime) \subset -a + T \subset -a + \cal S$. Sea $L$ una aplicación lineal continua de $E$ en $F$. Cada una de las relaciones:

$$\lim_{\vec{u} \in -a + {\cal S},\, \vec u \ne 0 \atop \vec u \to 0} {\varphi (a+ \vec u) - \varphi (\vec u) - L \vec u \over \Vert \vec u \Vert } = 0$$ (9)

$$\lim_{\vec{u} \in -a + T,\, \vec u \ne 0 \atop \vec u \to 0} {\varphi (a+ \vec u) - \varphi (\vec u) - L \vec u \over \Vert \vec u \Vert } = 0$$ (10)

equivalen a:

$$\lim_{\vec{u} \in {\frak B}(0, \rho^\prime ) ,\, \vec u \ne 0... ... u) - \varphi (\vec a) - L \vec u \over \Vert \vec u \Vert } =0$$

Luego las relaciones (9) y (10) son equivalentes entre sí, de donde la conclusión. $\quad\Box$

Teorema 3.2   Si la aplicación $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$, $\varphi$ es continua en $a$.

Se desprende, por ejemplo, de la fórmula (7) en la observación 1 arriba:

$$\lim_{\vec u \to 0} ( \varphi (a + \vec u) - \varphi (a) ) =0$$

$\quad\Box$

Teorema 3.3   El cambio de normas en $E$ y $F$ por sendas normas equivalentes no afecta ni la diferenciabilidad de $\varphi$ en el punto $a$ ni, en su caso, la diferencial $d\varphi (a)$.

Demostración
Sean ${\cal N},\, \cal M$ las ``antiguas'' y ${\cal N}^\prime,\, {\cal M}^\prime$ las ``nuevas'' normas en sendos espacios vectoriales $E$, $F$. Puesto que ${\cal N}^\prime$ es equivalente a $\cal N$ y ${\cal M}^\prime$ es equivalente a $\cal M$, por el teorema 4.2.1 existen números positivos $A,\, B,\, C,\, D$ tales que:

$$A {\cal N}^\prime \ \le {\cal N} \; \le B {\cal N}^\prime$$ (11)

$$C {\cal M}^\prime \le {\cal M} \le D {\cal M}^\prime$$ (12)

Supongamos que para las antiguas normas ${\cal N},\, \cal M$ la aplicación $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$ con la diferencial $d\varphi (a)$. Desde un principio notemos que $d\varphi (a)$ es también una aplicación lineal continua de $E$ en $F$ para las nuevas normas, pues éstas definen sobre sendos espacios $E$, $F$ las mismas topologías que las antiguas. Por la fórmula (6) en la observación 1, después del teorema 4.3.1, nuestra hipótesis significa:

$$\lim_{{\cal N} (\vec u) \to 0 \atop \vec u \ne 0} {{\cal M} \... ...i (a) - d \varphi (a) \vec u \right) \over{\cal N} (\vec u)} =0$$

Explícitamente, dado cualquier $\epsilon > 0$, existe $\delta >0$ tal que:

$${\cal N} (\vec u) \le \delta \; \Rightarrow \; {\cal M} \le... ...varphi (a ) \vec u \right) \le \epsilon \, {\cal N} (\vec u)$$ (13)

Tomemos:

$${\cal N}^\prime (\vec u) \le {\delta \over B}$$

de donde por (11): ${\cal N} (\vec u) \le \delta$. De ahí , por la implicación (13) y la primera desigualdad en (12):

$$\begin{eqnarray*} {\cal M}^\prime \left( \varphi (a + \vec u) - \varphi (a) - d ... ...) \vec u \right) \\ &\le& {\epsilon \over C} {\cal N} (\vec u) \end{eqnarray*}$$

o sea, por la segunda desigualdad en (11):

$${\cal M}^\prime \left( \varphi (a + \vec u) - \varphi(a) - d\... ...\vec u \right) \le {B \over C} \epsilon \cdot {\cal N} (\vec u)$$

Así viene probado que:

$$\lim_{{\cal N}^\prime (\vec u) \to 0 \atop \vec u \ne 0} { {\... ...d \varphi(a ) \vec u \right) \over {\cal N}^\prime (\vec u)} =0$$

Luego $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$ según las nuevas normas con la misma diferencial $d\varphi (a)$ que con las antiguas. $\quad\Box$

Este teorema dice esencialmente que la diferenciabilidad y la diferencial dependen no tanto de las normas individuales en $E$ y $F$ como de las topologías que dichas normas inducen en sendos espacios $\cal E$, $\cal F$.

Consideremos el caso de ser $\cal E$, $\cal F$ de dimensiones finitas. Sabemos por el teorema 4.2.15 que en el caso considerado, las topologías tanto de $\cal E$ como de $\cal F$ (que son las topologías ``naturales'' de estos espacios) no dependen de la elección de las normas. Al hacer el cálculo diferencial con espacios afines de dimensiones finitas es, pues, inútil precisar las normas que se usan en los correpondientes espacios vectoriales asociados. Para resolver un problema particular se puede sin pérdida de generalidad trabajar con normas más cómodas para éste.

En el caso de ser $\cal E$ de dimensión finita, en virtud del teorema 4.2.6 sobra también el calificativo ``continua'' para la aplicación lineal $L \colon E \to F$ en la definición de la diferenciabilidad.

Teorema 3.4   Sean $\cal E$, $\cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E$, $F$. Sea $\Phi$ una aplicación afín continua de $\cal E$ en $\cal F$ (resp. la restricción de tal aplicación a un abierto $\cal S$ de $\cal E$.) $\Phi$ (resp. dicha restricción) es diferenciable en todo punto $m \in \cal E$ y se verifica:

$$\fbox{${\displaystyle d \Phi (m) = \Phi_* \quad \forall \, m\in {\cal E} (\mbox{resp. } \forall \,m \in {\cal S})}$}$$

Demostración
Por la fórmula (5) después de la definición 4.1.5 vale $\forall \, m \in \cal E$ (resp. $\forall \, m \in \cal S$) y $\forall \vec u \in E$:

$$\Phi (m + \vec u) = \Phi (m) + \Phi_* (\vec u)$$ (14)

Por el teorema 4.2.19 $\Phi_*$ es una aplicación lineal continua: $E \to F$. Luego la relación (14) es un caso particular de la relación (7) de la observación 1, después del teorema 4.3.1, con $\theta =0$.

De ahí la conclusión. En particular: Si $\cal S$ es un abierto de $\cal E$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle d {\cal I}_{\cal S} (m) = {\cal I}_E \quad \forall \, m\in \cal S}$}$$

Corolario 3.1 (del teorema 4.3.4.)   Sean $E$, $F$ espacios vectoriales normados y $L \colon E \to F$ una aplicación lineal continua (o la restricción de tal a un abierto S de E). Vale:

$$\fbox{${\displaystyle d L(m) = L \quad \forall \, m \in E \;\; (\mbox{resp. }\forall \, m \in S)}$}$$

En efecto, según la observación después del teorema 4.1.5 y el teorema 4.1.7, $L$ es un caso particular de una aplicación afín continua y $L$ es su propia parte lineal.

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