El jacobiano

Definición 4.1 Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita n y ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal E$ . La aplicación $\varphi$ se supone diferenciable en un punto interior $a\in \cal S$ . Entonces la diferencial $d\varphi (a)$ es un endomorfismo lineal del espacio vectorial E, de dimensión n, asociado al espacio afín $\cal E$ . El determinante de este endomorfismo se llama el JACOBIANO DE LA APLICACIÓN $\varphi$ en el punto y se designa por $J\varphi (a)$ .

$\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle J\varphi (a) = \colon \mbox{\rm Det }d\varphi(a)}$}\end{displaymath}$

Si $(I;\vec{e}_1,\ldots,\vec{e}_n)$ es un referencial de $\cal E$ , $J\varphi (a)$ no es otro que el determinante de la matriz jacobiana de $\varphi$ en

con respecto a dicho referencial:

$\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle J\varphi (a) = \mbox{\rm Det } \left( \partial_k\varphi^i (a)\right)_{1\le k \le n}^{1 \le i \le n}}$}\end{displaymath}$

Teorema 4.3 Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales E, F. Sean $\cal S$ una parte arbitraria de $\cal E$ y $\varphi$ un aplicación $\colon {\cal S} \to \cal F$ . Sean puntos de $\cal S$ tales que $[a,b]\subset \cal S$ . Si $\varphi$ es diferenciable en todo punto del segmento , vale:

$\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle \Vert \varphi(b) - \varphi (a) \Vert \l... ...rt \, \sup_{z \in [a,b]} \Vert d\varphi (z) \Vert \le \infty}$}\end{displaymath}$

(F´ORMULA DE INCREMENTOS FINITOS)

Teorema 4.4 Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios vectoriales; ${\cal S} \subset {\cal E},\, {\cal T} \subset \cal F$ ; $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal T$ y $\psi$ una aplicación ${\cal T} \to {\cal G}$ . Sea un punto interior de $\cal S$ . Se supone que $\varphi(a)$ es un punto interior de $\cal T$ .

Si $\varphi$ es diferenciable en y $\psi$ es diferenciable en $\varphi(a)$ , también la aplicación compuesta $\psi\circ \varphi$ es diferenciable en y vale:

$\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle d(\psi \circ \varphi ) (a) = d\psi(\varphi (a)) \circ d\varphi(a)}$}\end{displaymath}$

(REGLA DE LA CADENA).

Corolario 4.1 Sea $\cal E$ un espacio afín de dimensión finita. Sean ${\cal S},\,{\cal T}$ subconjuntos de $\cal E$ , $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal T$ y $\psi$ una aplicación ${\cal T} \to \cal E$ . Sea un punto interior de $\cal S$ . Se supone que $\varphi(a)$ es un punto interior de $\cal T$ . Si $\varphi$ es diferenciable en el punto y $\psi$ es diferenciable en el punto $\varphi(a)$ vale:

$\begin{displaymath}\fbox{${\displaystyle J(\psi \circ \varphi ) (a) = J \psi (\varphi (a)) \, J \varphi (a)}$}\end{displaymath}$