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Isomorfismos diferenciables

Definición 4.2   Sean ${\cal S},\,{\cal T}$ partes abiertas de sendos espacios afines normados ${\cal E},\, \cal F$ y sea $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal T$. $\varphi$ se dice ISOMORFISMO DIFERENCIABLE de $\cal S$ sobre $\cal T$, si

1. $\varphi$ es una biyección de $\cal S$ sobre $\cal T$,
2. $\varphi$ es diferenciable en $\cal S$,
3. $\varphi^{-1}$ es diferenciable en $\cal T$.

Nota
Mucho se ha difundido la bárbara palabra ``difeomorfismo'' por lo que llamamos ``isomorfismo diferenciable''. En este libro no la usaremos.

Teorema 4.5   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E,\, F$. Sea $\varphi$ una biyección de un abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre un abierto $\cal T$ de $\cal F$. Sea $a$ un punto de $\cal S$ tal que $\varphi$ es diferenciable en el punto $a$ y $\varphi^{-1}$ es diferenciable en el punto $\varphi(a) \in \cal T$. Entonces la diferencial $d\varphi (a)$ es un homeomorfismo lineal del espacio vectorial normado $E$ sobre el espacio vectorial normado $F$. El homeomorfismo lineal inverso es $d \varphi^{-1} (\varphi (a))$. En particular si $\varphi$ es un isomorfismo diferenciable del abierto $\cal S$ sobre el abierto $\cal T$, esto ocurre $\forall\, a \in \cal S$.

Demostración
Las fórmulas:

$$\varphi^{-1} \circ \varphi = {\cal I}_{\cal S} \quad \mbox{y}\quad \varphi \circ \varphi^{-1}= {\cal I}_{\cal T}$$

implican en virtud de la regla de la cadena (teorema 4.4.4) y las reglas $d{\cal I}_{\cal S}(a) = {\cal I}_E$, $d{\cal I}_{\cal T}(\varphi(a))={\cal I}_F$ (consecuencia del teorema 4.3.4):

$$d\varphi^{-1} (\varphi(a)) \circ d \varphi(a) = {\cal I}_E$$ (1)

$$d\varphi(a) \circ d \varphi^{-1} (\varphi (a)) = {\cal I}_F$$ (2)

Las fórmulas (1) y (2) demuestran el teorema. $\quad\Box$

Corolario 4.2   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados. Suponemos que existe un isomorfismo diferenciable de un abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre un abierto $\cal T$ de $\cal F$.

Entonces si uno de los espacios ${\cal E},\, \cal F$ es de dimensión finita, también lo es el otro y vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim } {\cal E}= \mbox{\rm dim }{\cal F}}$}$$

Por ejemplo, si existe un isomorfismo diferenciable de un abierto de ${\mathbb{R}}^n$ sobre un abierto de ${\mathbb{R}}^m$, se tiene necesariamente $m=n$.

Corolario 4.3   Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita y $\varphi$ una biyección de un abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre un abierto $\cal T$ de $\cal E$.

Si $\varphi$ es diferenciable en un punto $a\in \cal S$ y $\varphi^{-1}$ es diferenciable en el punto $\varphi(a) \in \cal T$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle J \varphi^{-1} (\varphi (a)) \cdot J \varphi(a) = 1}$}$$

Si $\varphi$ es un isomorfismo diferenciable de $\cal S$ sobre $\cal T$, esto se cumple $\forall\, a \in \cal E$, o sea, en $\cal S$ vale:

$$\fbox{${\displaystyle \left(J \varphi^{-1} \circ \varphi\right) (J \varphi) =1}$}$$

Un resultado inmediato es:

Teorema 4.6  

1. Si $\cal S$ es un abierto de un espacio afín normado, la aplicación idéntica ${\cal I}_{\cal S}$ es un isomorfismo diferenciable de $\cal S$ sobre $\cal S$.
2. Si $\varphi$ es un isomorfismo diferencible de un abierto $\cal S$ de un espacio afín normado $\cal E$ sobre un abierto $\cal T$ de un espacio afín normado $\cal F$, $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo diferenciable de $\cal T$ sobre $\cal S$.
3. Si $\varphi$ es un isomorfismo diferenciable de un abierto $\cal S$ de un espacio afín normado $\cal E$ sobre un abierto $\cal T$ de un espacio afín normado $\cal F$ y $\psi$ es un isomorfismo diferenciable de $\cal T$ sobre un abierto $\cal U$ de un espacio afín normado $\cal G$, la aplicación compuesta $\psi\circ \varphi$ es un isomorfismo diferenciable de $\cal S$ sobre $\cal U$

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