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Atlas maximales

Definición 1.7   Un atlas coherente $C^k$ sobre un espacio topológico $M$ se llama ATLAS COHERENTE MAXIMAL si no está contenido estrictamente en ningún atlas coherente $C^k$ sobre $M$. En otras palabras:

es un atlas coherente $C^k$ sobre $M$ si siempre que $\mbox{\frakiii V} \supset \mbox{\frakiii U}$, vale $\mbox{\frakiii V} = \mbox{\frakiii U}$.

Observación
Si , son atlas maximales coherentes $C^k$ sobre $M$, equivalentes, necesariamente coinciden. Pues, siendo por hipótesis $\mbox{\frakiii V} \cup \mbox{\frakiii U}$ un atlas coherente $C^k$, las relaciones $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V} \supset \mbox{\frakiii U}$ , $\mbox{\frakiii U} \cup \mbox{\frakiii V} \supset \mbox{\frakiii V}$ implican por maximalidades:

$$\mbox{\frakiii U} = \mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V} = \mbox{\frakiii V}.$$

Teorema 1.9   Todo atlas coherente $C^k$ sobre $M$ está contenido en un único atlas $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ coherente $C^k$ maximal.

Demostración
Sea un atlas coherente $C^k$ sobre $M$. Sea $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ el conjunto de todos los mapas de $M$ compatibles $C^k$ con todos aquellos de . Ya que $\tilde{\mbox{\frakiii U}} \supset \mbox{\frakiii U}$, $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ es un atlas sobre $M$. Por el lema 5.1.1, dos mapas arbitrarios de son compatibles $C^k$, luego $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ es un atlas coherente $C^k$.

Sea cualquier atlas coherente $C^k$ que contiene $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$, contiene también luego todo mapa de es compatible $C^k$ con todo mapa de , de donde, por definición de $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ : $\tilde{\mbox{\frakiii U}} \supset \mbox{\frakiii V}$, o sea, en definitiva $\mbox{\frakiii V} = \tilde{\mbox{\frakiii U}}$. Así pues, $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ es un atlas coherente $C^k$ maximal que contiene .

Si dos atlas coherentes $C^k$ maximales contienen , son ambos equivalentes a $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$, luego equivalentes entre sí. Por la observación precedente coinciden, de donde la unicidad. $\quad\Box$

Teorema 1.10   Para todo atlas coherente $C^k$ maximal sobre $M$, designemos por $d\mbox{\frakiii U}$ la clase de equivalencia de .

La aplicación $\mbox{\frakiii U} \mapsto d\mbox{\frakiii U}$ es una biyección del conjunto de todos los atlas coherentes $C^k$ maximales sobre el conjunto de todas las clases de equivalencia de atlas coherentes $C^k$.

Demostración
Sean , atlas coherentes $C^k$ maximales tales que $d\mbox{\frakiii U} = d\mbox{\frakiii V}$. Esto significa $\mbox{\frakiii U} \sim \mbox{\frakiii V}$; luego, por la observación después de la definición 5.1.7, $\mbox{\frakiii U} = \mbox{\frakiii V}$. La aplicación considerada es, pues, inyectiva. Sea una clase de equivalencia arbitraria de atlas coherentes $C^k$ sobre $M$. Sea $\mbox{\frakiii W} \in \mbox{\frakiii c}$. Por el teorema 5.1.8 está contenido en un único atlas coherente $C^k$ maximal $\tilde{\mbox{\frakiii W}}$. Vale $d\tilde{\mbox{\frakiii W}} = \mbox{\frakiii c}$. Luego la aplicación considerada es también superyectiva. $\quad\Box$

Merced al teorema 5.1.9 podemos formular la siguiente definición equivalente a la definición 5.1.6 de una variedad diferenciable.

Definición 1.8   Sea $M$ un espacio topológico que posee por lo menos un atlas coherente $C^k$. Un par $(M, \mbox{\frakiii V})$ donde es un atlas coherente $C^k$ maximal sobre $M$ se llama una VARIEDAD DIFERENCIABLE DE CLASE $C^k$.

Al usar la definición 5.1.8, un ATLAS ADMISIBLE de la variedad es cualquier atlas contenido en . Un MAPA ADMISIBLE de la variedad es cualquier mapa del atlas .

En la práctica, para definir una variedad $C^k$ sobre un espacio topológico $M$, uno da un solo atlas coherente $C^k$ sobre $M$, que será un atlas admisible de ésta. Conociendo dicho atlas, se conoce sin ambigüedad su clase de equivalencia que determina la variedad según la definición 5.1.6. El único atlas maximal $\tilde{\mbox{\frakiii U}}$ coherente $C^k$ que contiene determina la variedad según la definición 5.1.7.

Los atlas admisibles son aquellos equivalentes a . Un mapa admisible es cualquier mapa compatible $C^k$ con todo mapa de .

Nota
Cuando se considere de aquí en adelante más de una variedad diferenciable, todas las variedades diferenciables consideradas serán, salvo aviso contrario, de una misma clase $C^k$ con $k \in {{\mathbb{N}}} \cup \{\infty \}$.

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