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Cambios de mapas

Sean $(U,x,n),\, (V,y,m)$ mapas de un espacio topológico $X$ tales que sus dominios sean ajenos, $U \cap V \ne \emptyset$.

Si consideramos las aplicaciones $x,\,y$ restringidas al abierto $U \cap V$ de $X$ la aplicación:

$$\fbox{${\displaystyle y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V)}$}$$

será un homeomorfismo del abierto $x(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$ sobre el abierto $y(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^m$. Del teorema de la invariancia de la dimensión se sigue $m=n$. Así pues,:

Teorema 1.5   Si los dominios de dos mapas de un espacio topológico se intersecan, las dimensiones de ambos mapas son iguales.

El homeomorfismo $y \circ x^{-1}$ de $x(U \cap V)$ sobre $y(U \cap V)$ y su inverso $x \circ y^{-1}$, homeomorfismo de $y(U \cap V)$ sobre $x(U \cap V)$ se llaman CAMBIOS DE MAPAS.

Definición 1.2   Sean $M$ una variedad topológica y $p$ un punto de $M$. Si $(U,x,n)$ es un mapa de $M$ en el punto $p$ definimos la DIMENSIÓN DE LA VARIEDAD $M$ en el punto $p$ como $\mbox{\rm dim}_p M = n$.

En virtud del teorema 5.1.5 esta definición es unívoca, o sea es independiente del mapa $(U,x,n)$ elegido en el punto $p$ de $M$. Con las notaciones de la definición 5.1.2 tenemos claramente $\forall \, q \in U$: $\mbox{\rm dim}_q M = n$. De esto se sigue que $\forall \, n \in {\mathbb{N}}$ el conjunto:

$$\left\{ p \in M \bigm\vert \mbox{\rm dim}_p M = n \right\}$$ (1)

es una vecindad de cualquiera de sus puntos, es decir es un conjunto abierto. El complemento del conjunto (1) es:

$$\bigcup_{\nu \in {\mathbb{N}}- \{ n\}} \left\{ p \in M \bigm\vert {\rm dim}_p M = \nu \right\}$$

Dicho complemento, reunión de conjuntos abiertos, es también un conjunto abierto. De ahí vemos: Una variedad topológica conexa tiene la misma dimensión en todo punto.

Definición 1.3   Una variedad topológica $M$ se dice VARIEDAD PURA si tiene la misma dimensión en todo punto. Dicha dimensión se llama la DIMENSIÓN DE LA VARIEDAD $M$.

Acabamos de probar:

Toda variedad topológica conexa es una variedad pura.

Recordemos que un espacio topológico $X$ es localmente conexo si y sólo si las componentes conexas de todo abierto de $X$ son también conjuntos abiertos. En particular, toda componente conexa de $X$ es un conjunto abierto (y también cerrado) en $X$. De ahí , sin más, por el teorema 5.1.1:

Teorema 1.6   Las componentes conexas de toda variedad topológica $M$ son conjuntos a la vez abiertos y cerrados en $M$. Luego $M$ es la suma topológica de sus componentes conexas.

Sean $C$ una componente conexa de $M$ y $m \in C$. Sea $(U,x,n)$ un mapa de la variedad $M$ en el punto $m$. Ya que $C$ es un abierto de $M$, $C \cap U$ es un abierto tanto en $M$ como en $C$ y $\left( U \cap C , x_{U\cap C},n \right)$ es un mapa de $C$ en $m$. $C$ es, pues, también una variedad topológica y, por lo visto arriba, es una variedad pura. Así pues, el teorema 5.1.6 entraña:

Teorema 1.7   Toda variedad topológica es suma topológica de variedades puras.

Sin pérdida esencial de generalidad podemos, pues, limitarnos a estudiar variedades puras.

Esto ocurrirá en particular, si la variedad de que se trata es pura o si la dimensión no interesa mayormente. Frecuentemente se estará dado implícitamente cuando escribamos $(U, x = (x^1,\ldots,x^n))$.

Las variedades topológicas no poseen una estructura suficientemente rica para servir de sede a un cálculo diferencial. Para ello necesitamos objetos matemáticos con estructura más precisa, llamados ``variedades diferenciables''. Éstas nos proponemos ahora definir y estudiar.

Aunque variedades diferenciables sean un caso particular de variedades topológicas, su teoría, es decir de hecho todo nuestro libro, será independiente de los teoremas de Brouwer. En efecto para las variedades diferenciables el teorema 5.1.5 y sus consecuencias los teoremas 5.1.6 y 5.1.7 se seguirán sin más del corolario del teorema 4.4.5.

Los teoremas de Brouwer los citamos meramente como complemento ``inoficial'' de información para el lector.

Definición 1.4   Sean $(U,x,n),\, (V,y,m)$ dos mapas de un espacio topológico $X$ (a suponer que existen). Sea $k \in {{\mathbb{N}}} \cup \{\infty \}$. Se dice que los mapas considerados son COMPATIBLES $C^k$ si bien $U \cap V= \emptyset$ o bien $U \cap V \ne \emptyset$ y el cambio de mapa $y \circ x^{-1} \colon x(U \cap V) \to y(U \cap V)$ es una aplicación de clase $C^k$ en el abierto $x(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$.

Invirtiendo los papeles de los dos mapas, vemos que si los mapas $(U,x,n)$, $(V,y,m)$ son compatibles $C^k$ y $U \cap V \ne \emptyset$, también el cambio de mapa $x \circ y^{-1}$ es de clase $C^k$ en el abierto $y(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^m$. A fin de cuentas $y \circ x^{-1}$ es un isomorfismo $C^k$ del abierto $x(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n$ sobre el abierto $y(U \cap V)$ de ${{\mathbb{R}}}^m$.

De ahí, por el corolario del teorema 4.4.5 y, sin uso de los teoremas de Brouwer:

$$\fbox{${\displaystyle m=n}$}$$

Definición 1.5  

1. Un atlas sobre un espacio topológico $X$ (a suponer que existe) se dice ATLAS COHERENTE $C^k$ si todo par de mapas de es compatible $C^k$.
2. Sean , dos atlas coherentes $C^k$ sobre $X$. Dichos atlas se dicen ATLAS EQUIVALENTES, y se escribe $\mbox{\frakiii U} \sim \mbox{\frakiii V}$, si $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V}$ es un atlas coherente $C^k$. Vale decir, todo mapa de es compatible $C^k$ con todo mapa de .

Lema 1.1   Sean $(U,x)$, $(W,z)$ mapas de un espacio topológico $X$. Se supone que cada uno de dichos mapas es compatible $C^k$ con todo mapa de cierto atlas de $X$. Entonces dichos mapas son compatibles $C^k$ entre sí.

Demostración
Basta suponer $U \cap W \ne \emptyset$. Con esta hipótesis debemos probar que el cambio de mapa $z \circ x^{-1} \colon x(U \cap W) \to z(U \cap W)$ es una aplicación de clase $C^k$. En virtud del teorema 4.50 (``carácter local de aplicaciones de clase $C^k$'') basta mostrar que todo punto del abierto $x(U \cap W)$ posee una vecindad abierta contenida en $x(U \cap W)$ tal que la restricción de $z \circ x^{-1}$ a dicha vecindad abierta es de clase $C^k$.

Aprovechando el hecho de que la restricción de $x$ al abierto $U \cap W$ de $X$ es un homeomorfismo de $U \cap W$ sobre $x(U \cap W)$, podemos formular esta condición como sigue:

$$\left.\mbox{\begin{minipage}{27em} {\em Todo punto $p \in U... ...s una aplicaci\'on de clase $C^k$. } \end{minipage}}\right\}$$ (2)

Sea, pues, $p$ un punto arbitrario de $U \cap W$. Sea $(V, y)$ un mapa del atlas en el punto $p$. Definamos:

$$G = \colon U \cap V \cap W$$

$G$ es una vecindad abierta del punto $p$ en $X$ contenida en el abierto $U \cap W$ de $X$. Vale:

$$z \circ x^{-1} \, _{x(G)} = (z \circ y^{-1}) \, _{y(G)} \circ (y \circ x^{-1})\, _{x(G)}$$ (3)

Ahora bien, por hipótesis los mapas $(U,x)$ y $(V,x)$ son compatibles $C^k$, es decir, la aplicación $y \circ x^{-1} \, _{x(U \cap V)}$ es de clase $C^k$ en $x(U \cap V)$. Por el teorema 4.5.6 también su restricción $y \circ x^{-1} \,_{x(G)}$ es de clase $C^k$ en $x(G)$.

Igualmente, por hipótesis los mapas $(V, y)$ y $(W,z)$ son compatibles $C^k$, es decir, la aplicación $z \circ y^{-1} \, _{y(V \cap W)}$ es de clase $C^k$. También su restricción $z \circ y^{-1}\, _{y(G)}$ es de clase $C^k$. Se sigue, pues, de (3) en virtud del teorema 4.5.5 que la aplicación $z \circ x^{-1}\, _{x(G)}$ es de clase $C^k$.

Con ello vienen probados la afirmación (2) y el lema. $\quad\Box$

Teorema 1.8   La relación $\sim$ de la definición 5.1.5 es una relación de equivalencia en el conjunto de todos los atlas coherentes $C^k$ sobre un espacio topológico $X$.

Demostración
La relación $\sim$ es obviamente reflexiva y simétrica. En virtud del lema 5.1.1 es también transitiva. $\quad\Box$

Definición 1.6   Sea $k \in {{\mathbb{N}}} \cup \{\infty \}$ y sea $M$ un espacio topológico que posee por lo menos un atlas coherente $C^k$.

1. Un par $(M,\mbox{\frakiii c})$ donde es una clase de equivalencia de atlas coherentes $C^k$ sobre $M$ se llama una VARIEDAD DIFERENCIABLE DE CLASE $C^k$, brevemente una VARIEDAD .
2. Un atlas coherente $C^k$ sobre $M$ se llama ATLAS ADMISIBLE de la vecindad diferenciable $(M,\mbox{\frakiii c})$ si pertenece a la clase de equivalencia de .
3. Un mapa de $M$ se dice MAPA ADMISIBLE de la variedad diferenciable $(M,\mbox{\frakiii c})$ es compatible $C^k$ con todo mapa de un atlas admisible de dicha variedad diferenciable.

   Una condición equivalente reza:

   Si se adjunta dicho mapa a cierto atlas admisible de la variedad diferenciable, resulta un atlas coherente $C^k$, automáticamente también admisible.

Del lema 5.1.1 se sigue:

Un mapa admisible de una variedad $C^k$ es compatible $C^k$ con todo mapa de un atlas admisible cualquiera de dicha variedad $C^k$.

Por un abuso del lenguaje común de tipo ya varias veces señalado se habla simplemente de la ``variedad $M$ de clase $C^k$'' en vez de la variedad $(M,\mbox{\frakiii c})$ de clase $C^k$. Evidentemente no es lícito comentar dicho abuso de lenguaje, si se considera diferentes estructuras de variedad diferenciable sobre el mismo espacio topológico $M$.

Como secuela de dicho abuso de lenguaje se habla de ``atlas admisibles'' y de ``mapas admisibles'' de la ``variedad $M$ de clase $C^k$''.

Si $(M,\mbox{\frakiii c})$ es una variedad $C^k$, el espacio topológico $M$ es patentemente una variedad topológica. Permitiéndonos el abuso de lenguaje mencionado, diremos que toda variedad diferenciable es a fortiori una variedad topológica.

Valen, pues, para una variedad diferenciable los teoremas desde 5.1.1 hasta 5.1.7 inclusive. Como ya dicho, los teoremas 5.1.5, 5.1.6, 5.1.7 para vecindades diferenciables son independientes de los teoremas de Brouwer.

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