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Subvariedad abierta

Sean $M$ una variedad $C^k$ y $G$ un abierto no vacío de la variedad $M$. Sea
$\mbox{\frakiii U} = \left( U_\alpha, x_\alpha, n_\alpha \right)_{\alpha \in I}$ un atlas admisible de $M$. Consideremos el conjunto de índices $I^\prime = \colon \left\{ \alpha \in I \vert G \cap U_\alpha \ne \emptyset \right\}$ y el atlas:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\frakiii U}_G = \colon \left( U_\... ...t _{U_\alpha \cap G}, n_\alpha \right)_{\alpha \in I^\prime}}$}$$

del espacio topológico $G$.

$\forall\,\alpha \in I^\prime$ sea $y_\alpha = \colon x_\alpha \vert _{U_\alpha \cap G}$. Sean $\alpha, \, \beta \in I^\prime$ tales que $U_\alpha \cap U_\beta \cap G \ne \emptyset$. El cambio de mapa $y_\beta \circ y_\alpha^{-1} \colon x_\alpha( U_\alpha \cap U_\beta \cap G) \to x_\beta(U_\alpha \cap U_\beta \cap G)$ no es otro que la restricción del cambio de mapa:

$$x_\beta \circ x_\alpha^{-1} \colon x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta) \to x_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)$$

al abierto $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta \cap G)$ de ${{\mathbb{R}}}^{n_\alpha} = {{\mathbb{R}}}^{n_\beta}$ contenido en $x_\alpha(U_\alpha \cap U_\beta)$. Por el teorema 4.5.6, esta restricción es de clase $C^k$.

Así pues, el atlas $\mbox{\frakiii U}_G$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $G$. Sea otro atlas admisible de $M$, o sea $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V}$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $M$. Claramente

$$\left( \mbox{\frakiii U} \cup \mbox{\frakiii V}\right)_G = \mbox{\frakiii U}_G \cup \mbox{\frakiii V}_G$$

Por el razonamiento hecho arriba, al substituir por $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V}$, vemos que $\mbox{\frakiii U}_G \cup \mbox{\frakiii V}_G$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $G$, o sea $\mbox{\frakiii V}_G \sim \mbox{\frakiii U}_G$.

Así pues, la clase de equivalencia del atlas $\mbox{\frakiii U}_G$ es independiente de la elección de atlas admisible de $M$. Dicha clase de equivalencia define sobre $G$ la estructura de una variedad $C^k$ dicha ESTRUCTURA DE VARIEDAD INDUCIDA SOBRE EL ABIERTO $G$ por la de $M$. $G$ provisto de esta estructura, se llama una SUBVARIEDAD ABIERTA DE LA VARIEDAD $M$.

Si $M$ es una vecindad pura de dimensión n, $G$ es también una vecindad pura de misma dimensión.

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