Espectro de frecuencias en función de los polinómios de Tchebychev.

Por lo tanto lo que queremos evaluar es la forma explícita de la ecuación de eigenvalores, para lo cual es necesario el cálculo de los elementos de la matriz $T_{11}^{(n)}$. Empleando la notación usada para deducir la ecuación (3.14) esto es:

$$Q^m = \sum_{i=1}^n \{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_i -T^{-1}\,{\mbox{senh}}m\phi_i\} \frac{Y_i}{\,{\mbox{senh}}\phi_i}$$

Se tiene que

$$\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_i -T^{-1}\,{\mbox{senh}}m\phi_i \ =$$

$$=\left[\begin{array}{cccc} \,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_i & -\... ...}(m+1)\phi_i - \gamma\,{\mbox{senh}}m\phi_i \end{array}\right]$$ (4.42)

Para el caso de vibraciones a segundos vecinos, únicamente vamos a tener el desarrollo para dos términos, como vimos anteriormente por lo tanto de la fórmula para $Q^m$.

$$T^m =\{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_i -T^{-1}\,{\mbox{senh}}m\p... ...\mbox{senh}}m\phi_2 \}\frac{\gamma _2}{\,{\mbox{senh}}\phi_2}$$ (4.43)

En donde

$$\gamma _1 = \frac{[\cosh\Phi -II\cosh\phi_2 ]} {[\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2 ]}$$ (4.44)

$$\gamma _2 = \frac{[\cosh\Phi -II\cosh\phi_1 ]} {[\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2 ]}$$

Además habíamos definido anteriormente (ec. 3.14) que

$$\cosh\Phi =\frac{1}{2} (Q +Q^{-1})$$

Que en forma matricial, se puede escribir como

$$\cosh\Phi =\frac{1}{2} \left[\begin{array}{rccr} \gamma &... ...& 1 \\ -1 & \gamma & \beta +1 & \gamma \end{array}\right]$$

Por lo tanto los operadores de proyección $\gamma_1$ y $\gamma _2$ quedan finalmente como

$$\begin{eqnarray*} \gamma _1 & = & \frac{1}{\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2} \left[\begi... ...\cosh\phi_2 & \cosh\phi_2 \end{array}\right] %% linea de \beas \end{eqnarray*}$$

Si sustituimos en la ecuación (4.43) la forma matricial de los operadores $\gamma_1$ y $\gamma _2$ junto con las ecuaciones dadas por (4.42), obtendremos finalmente $T^{(m)}$ y por lo consiguiente la forma explícita de la ecuación de eigenvalores, que está dada por el menor de la matriz $T^{(m)}$, con objeto de reducir el álgebra escribiremos únicamente el cofactor $2\times 2$ de la esquina superior izquierda, esto es:

$$T^{(m)} =\frac{1}{\,{\mbox{senh}}\phi_1 (\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)} \cdot$$

$$\cdot \left[\begin{array}{ccc} \,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_1 \... ...ts & \vdots \\ \cdots & \cdots & \vdots \end{array}\right] +$$

$$+\frac{-1}{\,{\mbox{senh}}\phi_2 (\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)} \cdot$$

$$\cdot \left[\begin{array}{ccc} \,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_2 \... ...ts \\ %% Reng. 3 \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right]$$ (4.45)

Por lo tanto tenemos finalmente los elementos del menor $T_{11}^{(m)}$ los cuales son:

$$q_{11} = \frac{1}{(\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)}\left\{ \frac{\,{\mbox{senh}}... ...\cosh\phi_1 -\frac{1}{2}\,{\mbox{senh}}m\phi_1}{\,{\mbox{senh}}\phi_1}- \right.$$

$$\ \left. \qquad \frac{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_2\cosh\phi_2-\frac{1}{2}\,{\mbox{senh}} m\phi_2}{\,{\mbox{senh}}\phi_2}\right\}$$

$$q_{21} = \frac{1}{(\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)}\left\{ \frac{\,{\mbox{senh}}... ...nh}}\phi_1} - \frac{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_2}{2\,{\mbox{senh}}\phi_2}\right\}$$ (4.46)

$$q_{22} = \frac{1}{(\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)}\left\{ \frac{-\,{\mbox{senh}... ...osh\phi_2 -\frac{1}{2}\,{\mbox{senh}}m\phi_1} {\,{\mbox{senh}}\phi_1} + \right.$$

$$\ \left. \qquad \frac{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_2 [-\cosh\phi_1 +\frac{1}{2}\,{\mbox{senh}}m\phi_2} {\,{\mbox{senh}}\phi_2}\right\}$$

$$q_{12} = \frac{1}{(\cosh\phi_1 -\cosh\phi_2)}\left\{ \frac{\,{\mbox{senh}}... ...sh\phi_2] +\,{\mbox{senh}}m\phi_1\cosh\phi_2} {\,{\mbox{senh}}\phi_1} + \right.$$

$$\left. \qquad \frac{-\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi_2[-\frac{1}{2}-2\co... ...cosh\phi_2] -\,{\mbox{senh}}m\phi_2\cosh\phi_1} {\,{\mbox{senh}}\phi_2}\right\}$$

Después de cierta álgebra considerable, (ver apéndice C), obtenemos que el espectro de eigenvalores para el interior de cualquier cadena y en partícular para una cadena con extremos fijos, que se puede considerar como el interior de una cadena, esta dado por la ecuación determinantal.

$$\left\vert\begin{array}{cc} f(m+2) & -g(m+2)-f(m+1) \\ f(m+1) & -g(m+1)-f(m) \end{array}\right\vert = 0$$ (4.47)

En donde

$$f(m) = \frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{cc} \,{\mbox{senh}}m\phi_1 & \... ...\phi_2 \\ \,{\mbox{senh}}\phi_1 & \,{\mbox{senh}}\phi_2 \end{array}\right\vert$$ (4.48)

$$g(m) = \frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{cc} \,{\mbox{senh}}m\phi_1 & \... ...hi_2 \\ \,{\mbox{senh}}2\phi_1 & \,{\mbox{senh}}2\phi_2 \end{array}\right\vert$$ (4.49)

Además un denominador opcional, es disponible.

Si consideramos $f(m)/\,{\mbox{senh}}\phi_1\,{\mbox{senh}}\phi_2$ junto con los polinomios de Tchebychev dados por $U_m (\cos\theta)=\,{\mbox{sen}}(m+1)\theta/\,{\mbox{sen}}\theta$ (en donde si $\theta$ es un ángulo tal que $\vert\cos\theta\vert>1$, entonces $\theta$ tiene la forma $i\alpha$ ó $\pi +i\alpha$, nosotros podemos emplear la misma notación, desde luego $\cos i\alpha =\cosh\alpha,\; \,{\mbox{sen}}i\alpha=i\,{\mbox{senh}}\alpha$, y los factores $i$ se cancelan de la ecuación $U_m(\cosh\theta)$, resulta después de cierta álgebra (ver apéndice D) que

$$F(m) = \frac{f(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_1 \,{\mbox{senh}}\phi_2} =\frac{1... ...t\begin{array}{cc} U_m (\phi_1) & U_m (\phi_2) \\ 1 & 1 \end{array}\right\vert$$ (4.50)

$$= \frac{f(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_+ \,{\mbox{senh}}\phi_-} =\frac{1... ...} U_m (Z_+) & U_m (Z_-) \\ U_{m-2}(Z_+) & U_{m-2} (Z_-) \end{array}\right\vert$$

y

$$G(m) = \frac{g(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_1\,{\mbox{senh}}\phi_2} =\frac{1}... ...ay}{cc} U_{m}(Z_1) & U_m (Z_2) \\ U_1 (Z_1) & U_1 (Z_2) \end{array}\right\vert$$ (4.51)

$$= \frac{g(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_+\,{\mbox{senh}}\phi_-} =\frac{1}... ...}(Z_+) & U_{m-1} (Z_-) \\ U_{m-3} (Z_+) & U_{m-3} (Z_-) \end{array}\right\vert$$

Que es precisamente en términos de estas ecuaciones, como se graficó el espectro de eigenvalores dado por la condición de que $T^{(n)}_{11} = O$ como se puede apreciar en la gráfica (IV.V). En esta gráfica se varió $Z_1$ y $Z_2$ fijando el valor de $m$, por lo cual se obtienen contornos de regiones negativas (región estrellada) y positivas (región blanca), en donde la frontera de estas dos regiones nos da la variación de las frecuencias. Esta gráfica como se puede apreciar fácilmente se realizó en un sistema de coordenadas distinto al de la gráfica (IV.IV), pero nos representa la misma informacion. En el apéndice D se da un ejemplo para $m = 2$ y se obtiene la forma explícita del determinante que se empleó para graficar los polinomios de Tchebychev de argumento variable, esto es:

$$\frac 1 {16(Z_2-Z_1)^2} \left\vert \begin{array}{cc} U_{m+3... ...2}(Z_1) & U_{m+1}(Z_2)-U_{m+1}(Z_1) \end{array}\right\vert = 0$$ (4.52)

Se graficó el espectro de frecuencias para m = 1,2,...,10, usando el sistema de computación IBM-1130, además debido a la complejidad del álgebra fue necesario encontrar una relación de recurrencia para los polinomios de Tchebychev (apéndice E) resultando que el polinomio característico finalmente está dado por

$$x_m(Z_1,Z_2) = - \frac 1 4 \sum_{k=0}^{m+1} (m+2-k)U_k(Z_1)U_k(Z_2)$$ (4.53)