Matriz de movimiento y relación de disperción.

La matriz de movimiento que describe el sistema esta dada por:

$$M_c =\left[\begin{array}{llllll} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & ... ...ots & a_{n-3} \\ \vdots & & & & \vdots \end{array}\right]$$

Por lo tanto tenemos un tipo de matrices en cuya forma muy general vemos: La diagonal principal es cíclica con elementos $a_0$, la primera diagonal cíclica con elementos $a_1$ , etc. por lo tanto es un tipo de matriz llamada circulante, además se cumple que $a_i =a_{n-i}$, que es impuesto por las condiciones mecánicas de las redes.

Como vemos la matriz de movimiento $M_c$ es simétrica, que es una consecuencia del problema pero que no va a influir mucho en las consideraciones matemáticas.

Además es fácil ver que la matriz $M_c$ se puede factorizar en la forma:

$$M_c =\left[\begin{array}{lcl} a_0 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 ... ... 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_1 \end{array}\right] II+ \cdots$$

y que por lo tanto depende en la matriz $S$ (Ver. Ref.[13]), que tiene como elementos ``unos'' encima de la diagonal principal y un ``uno'' en la esquina inferior izquierda y todos los demás elementos cero, esto es

$$S = \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & \\ & & 1 & &... ...& \\ & & & \ddots & 1 \\ 1 & & & & 0 \end{array}\right]$$

Por otra parte de las propiedades de esta matriz se sabe que:

$$SX = \lambda X$$

tiene como solución

$$\lambda_k =e^{\frac {2 \pi i} N} = W^k$$ (5.1)

Es decir tiene raices $n$-ésimas de ``uno'' como eigenvalores y los eigenvectores tienen la forma:

$$K=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ W^k \\ W^{... ...box{\hspace{.2in}donde\hspace{.2in}} W = e^{\frac{2\pi }{N}i}$$

Por lo tanto con esta base, podemos solucionar el problema cíclico que corresponde a un anillo; con estas consideraciones podemos expresar la matriz $M_c$ en la forma:

$$M_c =\sum_{i=0}^{n-1} a_i S^i \mbox{\hspace{.2in}donde\hspace{.2in}} S^0 =II \qquad \mbox{y} \qquad S^n =II$$ (5.2)

Entonces las potencias se generan por un ciclo de $n$'s, todas diferentes, hasta $S^n$ que reproduce $S^0$ y $S^{n+1}=S^1$,...,etc.

Además $M_c$ es una función de $S$, y cualquier función de $S$ se puede escribir, utilizando un teorema visto con anterioridad en la forma

$$f(S) =\sum_{i=1}^n f(\lambda_i) \vert i \!\! >< \!\! i\vert$$ (5.3)

donde $\vert i \!\! >< \!\! i\vert$ es el operador de proyección que es el producto exterior de los eigenvectores y además lo eigenvalores de $M_c$ están dados por

$$f(\lambda) =\sum_{i=0}^{n-1} a_i \lambda^i$$ (5.4)

Ahora sabemos que, $\lambda^i$ está dada explícitamente como una exponencial (ec. 5.1), que la matriz es simétrica, lo cual nos permite determinar los eigenvalores de $M_c$ y que los eigenvalores de una función matricial, son las mismas funciones de los eigenvalores de la matriz original, entonces en lugar de la matriz tenemos que sustituir los eigenvalores esto es:

$$f(\lambda_k) =\sum_{i=0}^n a_i \lambda_k^i$$

Además como $\lambda_k =W^k$ que corresponde al eigenvalor número $k$, tenemos

$$f(W^k) =a_0 II+\sum_{i=1}^{n/2} a_i (W^{ki} +W^{-ki}) +\frac{a_n}{2} W^{\frac{kn}{2}}$$ (5.5)

En donde $n/2$ es el entero más cercano y el último término ocurre cuando $\lambda$ es par, por ejemplo si la matriz es de orden 6 tenemos

$$\begin{eqnarray*} f(W) & = & a_0 II+a_1 S^1 +a_1 S^{-1} +a_2 S^2 +a_2 S^{-2} +a_2 S^3 \\ & = & a_0 II+a_1(S+S^{-1}) +a_2 (S^2 +S^{-2}) +a_3 S^3 \end{eqnarray*}$$

En donde vemos que sobra el término $a_3 S^3$ que corresponde al último término de (5.5), además el exponente está elevado a la dimensión de la matriz sobre dos; por lo tanto existe una diferencia entre casos pares e impares que esta dado por el último término.

Calculemos:

$$W^{kj} -W^{-kj} =e^{\frac{2\pi i}{N}kj} +e^{-\frac{2\pi i}{N}kj} = 2\cos\frac{2\pi }{N} kj$$

y sustituyendolo en (5.5) resulta:

$$f(W^k)=a_0 II+2\sum_{i=1}^{n/2} a_i\cos\frac{2\pi }{N} ik+\frac{a_n}{2}e^{\frac{2\pi i}{N}kN} \eqno{(5.5')}$$

Además como

$$e^{\frac{2\pi i}{N} kN} =(-1)^k$$

Por lo tanto resulta finalmente que

$$f(W^k) =a_0 II+2\sum_{i=1}^{n/2} a_i\cos\frac{2\pi }{N} ik +\frac{a_n}{2} [(-1)^k]$$

Que es la ley de dispersión, que da la frecuencia (al cuadrado) como función del número de onda $k$.

Para el caso de interacciones a segundos vecinos tenemos que $n=2$

$$f(W^k)= f(\lambda_k)= a_0 +2a_1\cos\frac{2\pi k}{N} + 2a_2\cos\frac{2\pi }{N}\cdot 2k$$

Además como en problemas mecánicos se cumple que

$$a_0 +2a_1 +2a_2 =0 \mbox{\hspace{.2in}y adem\'as como\hspace{.2in}} \cos 2\theta =2\cos^2\theta -1$$

Resulta.

$$f(\lambda_k) =-2a_1 (1-\cos \frac{2\pi k}{N}) -4a_2 (1-\cos^2\frac{2\pi k}{N})$$ (5.6)

Expresando esta ecuación, con los mismos términos empleados en el caso del interior de cualquier cadena, esto es:

$$\xi =\frac{-\lambda}{4(a_1 +a_2)} \mbox{\hspace{.2in}y\hspace{.2in}} Y =\frac{ a_1}{4a_2}$$

tendremos

$$f(\lambda_k) =-4\xi (a_1 -a_2)$$

con lo cual de (5.6) resulta que

$$-4\xi (a_1 -a_2) =-2a_1 (1-\cos\frac{2\pi k}{N}) -4a_2 (1-\cos^2\frac{2\pi K}{N})$$

dividiendo entre $-4a_2$ y despejando $\xi$ resulta que

$$\xi =\frac{(1-\cos^2\frac{2\pi k}{N}) +2Y(1-\cos\frac{2\pi k}{N})}{4Y+1}$$

y definiendo $C=\cos\frac{2\pi k}{N}$ resulta finalmente que

$$\xi =(1-c)\frac{1+C+2Y}{1+4Y}$$ (5.7)

Que es exactamente la relación de dispersión para el interior de cualquier cadena, la única diferencia en la obtención de esta ecuación con respecto a la primera, es que ésta tiene como eigenvalores.

$$\mu =e^{\frac{2\pi i}{N}\cdot k}$$