Matrices de movimiento y transferencia.

Para poder obtener una relación de dispersión para este modelo partimos del hecho de que la matriz de movimiento toma la forma (ver apéndice F).

$$M_d =\left[\begin{array}{llllllcc} a_0/m & a_1/\sqrt{mM} ... ... \vdots & & & & & & & \\ 0 & & & & & & & \end{array}\right]$$

En donde únicamente por consistencia con las demás constantes definidas se tiene que en este caso:

$$a_1 =k, \;\; a_2 =k' \mbox{\hspace{.2in}y\hspace{.2in}} a_0 =-2(k+k')$$

Además la matriz de transferencia para un bloque de 4 p artículas toma la forma después de cierta álgebra como

$$T=\left[\begin{array}{cccr} 1\sqrt{M/m}a_1/a_2 & (\lambda... ...0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ (8.7)

Para los otros bloques, tenemos exactamente la misma cosa, con reemplazar $m$ por $M$ en todos los lugares, esto es:

$$\left[\begin{array}{cccr} -\sqrt{m/M}a_1/a_2 & (\lambda m... ...0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ (8.8)

Con objeto de simplificar el álgebra será conveniente mantener la razón de masas constante; $Mm={\cal M}^2$ e introducir el cociente de las masas como un parámetro, esto es:

$$\rho^2 =\frac{m}{M}$$

también es conveniente denotar la razón de constantes de resorte como otro parámetro, esto es:

$$K = \frac{a_1}{a_2}$$

En cuyo caso las dos matrices (8.7) y (8.8) toman la forma:

$$\left[\begin{array}{cccr} -K/\rho & (\lambda M-a_0)/a_2 &... ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

y

$$\left]\begin{array}{cccr} -K\rho & (\lambda m-a_0)/a_2 & ... ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

En este modelo estamos considerando que todas las contantes elásticas permanecen fijas, pero las masas alternan, es decir, vamos a suponer que tenemos una masa pesada y una ligera, por lo tanto multiplicando las matrices de transferencia resulta finalmente la matriz.

$$T_d =\left[\begin{array}{cccc} K^2+ (\lambda M-a_0)/a_2 & ... ...& -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Notemos además que

$$\begin{array}{lcl} m={\cal M}\rho & \qquad ; \qquad & \r... ...M}} {\rho} & \qquad y \qquad & \rho^2 = \frac m M \end{array}$$ (8.9)

Además el eigenvalor $\lambda$ siempre va involucrado en la constante $a_2$ por lo tanto, de (8.9) resultan las igualdades siguientes

$$\begin{array}{ccc} \lambda M/ a_2 & = & \lambda{\cal M}/a... ...\ \lambda m/ a_2 & = & \lambda{\cal M}\rho /a_2 \end{array}$$ (8.10)

Con lo cual definimos $\xi =\lambda{\cal M}/a_2 =\lambda\sqrt{M m/a_2}$ que depende en la media geométrica de las masas y la constante del resorte a segundos vecinos.

Además tomando en cuenta el término $a_0 /a_2$, tenemos

$$a_0 =-2(a_1 +a_2)$$

así que

$$-a_0 /a_2 =2(K+1)$$ (8.11)

Sustituyendo las ecuaciones (8.10) y (8.11) en la matriz de transferencia $T_d$ resulta finalmente:

$$T_d = \left[\begin{array}{cccc} K^2+\frac{\xi}{\rho}+2(K+... ...& -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$$