Relación de Dispersión.

Ahora deseamos encontrar los números de onda, lo cual se puede hacer encontrando los eigenvalores $\mu$ de la matriz de transferencia.

$$\left[\begin{array}{cccc} K^2+\frac{\xi}{\rho}+2(K+1)-\mu... ... 1 & 0 & -\mu & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\mu \end{array}\right] =0$$

desarrollando el determinante, empleando el tercer renglón resulta

$$-\mu K^2 (\xi\rho+2K+3)-(K^2-1) +\mu(K^2 -1)(\xi\rho +2K +2 -\mu) +K^2$$

$$-\mu\{-\mu (K^2 +\frac{\xi}{\rho} +2(K+1) -\mu)(\xi\rho +2K +2 -\mu) -K^2 +$$

$$+(K^2 +\frac{\xi}{\rho} +2(K+1) -\mu) +uK^2(\xi\rho +2K +3)\} = 0$$

Reagrupando términos resulta la relación de dispersión que involucra, $M$ y $\xi$.

$$\mu^4 -\mu^3 [K^2 +\xi(\rho +\frac{1}{\rho}) +4(K+1)] +\mu^2[(K^2 +\xi / \rho +2(K+1) )\cdot (\xi\rho +2(K+1))+$$

$$-K^2 \cdot (\xi\rho +2(K+1) -2K^2 +2] - \mu [K^2 +\xi(\rho +1/ \rho) +4 (K+1)] +1 = 0$$

El coeficiente de $\mu^2$ puede ser simplificado más, para esto, definimos

$$X = 2(K+1)$$

esto es

$$\begin{eqnarray*} (X+\frac{\xi}{\rho})(X+\xi\rho) -2K^2 +2 & = & X^2 +X(\frac{\... ...4(K+1)^2 + [ 2(K+1)\xi(\frac{\rho +1}{\rho}) +\xi^2 - 2K^2 + 2 ] \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto la relación de dispersión, conectando $\mu$ y $\xi$ es

$$\mu^4 -\mu^3 [K^2 +\xi(\rho +\frac{1}{\rho}) +4(K+1)] +\mu^2[4(K+1)^2 -2K^2 +2 +2(K+1)\xi(\frac{\rho +1}{\rho}) +\xi^2]$$

$$-\mu [K^2 +\xi(\rho +\frac{1}{\rho})+ 4(K+1)] +1 = 0$$ (8.12)

Como vemos los coeficientes de esta ecuación resultan simétricos, como en el caso del interior de una cadena. Además sabemos que las raíces ocurren en parejas recíprocas, definamos

$$\begin{array}{rcl} r_1 +\frac{1}{r_1} & = & a \\ r_2 +\frac{1}{r_2} & = & b \end{array}$$ (8.13)

Entonces la forma factorizada de la ecuación toma la forma

$$(\mu^2 -a\mu +1)(\mu^2 -b\mu +1) = 0$$

desarrollando

$$\mu^4 - (a+b)\mu^3 +(2+ab)\mu^2 -(a+b) +1 =0$$ (8.14)

Comparando las ecuaciones (8.12) con (8.14), tenemos que resolver las ecuaciones siguientes:

$$\begin{eqnarray*} a+b & = & K^2 +\xi(\rho +\frac{1}{\rho}) +4(K+1) \\ 2+ab & = & 4(K+1)^2 -2K^2 +2 +2(K+1)\xi(\rho +\frac{1}{\rho}) +\xi^2 \end{eqnarray*}$$

Como la relación de masas entra solamente en la combinación.

$$P =\rho +\frac{1}{\rho}$$ (8.15)

podemos, por lo tanto introducir esta definición en las dos ecuaciones anteriores resultando

$$\begin{array}{rcl} a+b & = & K^2 +\xi P +4(K+1) \\ 2+ab & = & 2(K^2 +4K +3) +2(K+1)\xi P +\xi^2 \end{array}$$ (8.16)

Estas ecuaciones determinan los números de onda como función de $K, P$ y $\xi$. Sin embargo, podemos resolver la relación de dispersión para $\xi$, para esto despejamos $\xi$ de la ecuación (8.12) junto con la definición (8.15) resultando

$$\xi^2 +2P\xi [K+1 - C] +4C^2 -2C[K^2 +4(K+1)] +4(K+1)^2 -2K^2 = 0$$ (8.17)

En donde se empleó una definición anterior, esto es

$$\mu +\frac{1}{\mu} =2C$$

La ecuación ha sido simplificada al punto de que puede ser solucionada para $\xi$, esto es:

$$\xi=\frac{-2P(K+1 -C)\pm \sqrt{4P^2(C-K+1)^2 -4\{4C^2 -2C[K^2 +4(K+1)] +2K^2 +8K +4\} }} {2}$$

Que después de cierta álgebra toma la forma simplificada

$$\xi+P [K-C+1] = \pm \sqrt{(P^2 -4)(K-C+1)^2+2K^2(C+1)}$$ (8.18)

Con objeto de checar el álgebra, consideremos el caso donde $M=m$ así que

$$\rho ^2= \frac m M = 1$$

$$P =\rho + \frac 1 \rho = 2$$

Sustituyendo estos valores en la ecuación (8.18) tenemos

$$\xi + 2 (K-C+1)= \pm K \sqrt{2(C+1)}$$

Regresando a la relación de dispersión (8.17) esto es

$$\xi^2 +2P\xi (K+1 - C) +4C^2 -2C(K^2 +4(K+1)) + 2(K^2+4K+2) = 0$$

Ahora queremos solucionar para $C$ en términos de $\xi ,P$ y $K$, por lo tanto reduciendo a una ecuación de segundo orden la ecuación anterior.

$$4C^2 +2C(P\xi +K^2 +4K +4) +\xi^2 +2P\xi(K+1) +2(K^2 +4(K+2)) = 0$$

Por lo tanto

$$C=\frac{2[P\xi +(K+2)^2\pm \sqrt{4[P\xi +(K+2)^2]^2 -4\cdot 4[\xi^2 + 2P\xi(K+1) +2(K^2 +4K +2)]}}{8}$$ (8.19)

El descriminante, que define la transición entre números de onda reales y complejos, es:

$$[P\xi +(K+2)^2]^2 =4[\xi^2 +2P\xi (K+1) +2(K^2 +4K +2)]$$

que se reduce a la ecuación simplificada

$$(P^2 -4)\xi^2 +2K^2 P\xi +K^2 (K+4)^2 = 0$$ (8.20)

Para $P$ y $K$ fijos, hay dos valores de $\xi$ que satisfacen esta relación, y para los cuales $C$ puede tener una doble raíz. Cuando $P=2$, hay solamente una raíz.

Para el caso general

$$\xi=\frac{-2K^2 P\pm \sqrt{4K^2 P^2 -4(P^2 -4)(K^2 (K+4)^2))}} {2(P^2 -4)}$$ (8.21)

Por lo tanto $\xi$ tendrá únicamente una raíz cuando

$$K^2 P^2 =(P^2-4) (K+4)^2$$

despejando $P^2$ resulta

$$P^2=\frac{(K+4)^2}{2(K+2)} \mbox{\hspace{.2in}si\hspace{.2in}} K=1 \rightarrow P^2 =4.16;$$

$$\mbox{\hspace{.2in}si\hspace{.2in}} K=2 \rightarrow P^2 =4.5$$ (8.22)

$$\mbox{\hspace{.2in}o sea que\hspace{.2in}} P=2+\xi$$

Para valores de $P$ dados por la ecuación anterior, tendremos la frontera entre la región real y compleja de los números de onda, además es conveniente conocer donde $C=\pm 1$, retornando a la relación de dispersión dada por (8.17) y suponiendo $C=1$.

$$\xi^2 +2KP\xi +4-2(K^2 +4(K+1)) +2(K^2 +4K +2)=0$$

Que se reduce a:

$$\xi (\xi +2KP) = 0$$

Por lo tanto para $C=1\;,\;\xi=0;\; \xi=-2KP$. Para $C=-1$

$$\xi^2 +2P\xi (K+2) +4+2(K^2 +4(K+1) +2(K^2 +4K +2)=0$$

que es simplificado en la forma

$$\xi^2 +2(K+2)P\xi +4(K+2)^2 = 0$$

Esto ocurre cuando

$$\xi =-(K+2) \left[P\mp\sqrt{P^2 -4}\;\right]$$

O sea que si $C=-1$ entonces $\xi$ tendrá dos raíces distintas y generalmente positivas, ya que el radical es siempre positivo.

Modificando ligeramente la relación de dispersión (8.17)

$$\begin{eqnarray*} \xi^2 +2P\xi(K+1-C) +4C^2 -2C(K^2+4K+4) +2(K^2+4K+4) -4 & = & 0 \\ \xi^2 +2P\xi(K+1-C) +4C^2 -2(C-1)(K^2+4K+4) -4 & = & 0 \end{eqnarray*}$$

finalmente

$$\xi^2 +2P\xi(K+1-C) +4(C^2-1) -2(C-1)(K+2)^2 = 0$$

Que es finalmente la ecuación que deseamos graficar e interpretar físicamente, esto es gráficas (VIII.1), (VIII.2), (VIII.3).

Lo que deseamos graficar es $\xi=\xi(K,P,C)$. En donde tenemos que $P$ es un parámetro que es la razón de masas y $C$ es una constante que depende de los dos números de onda y que en las gráficas es la que nos va a definir los contornos, con objeto de distinguir las dos $C$'s que se obtienen una la denotamos con $C$ y la otra con $C'$.

En la gráfica (VIII.1) la razón de masas $P$ que utilizamos fué de 2:1, en esta gráfica podemos apreciar las bandas características de las cadenas diatómicas, así podemos distinguir la banda acústica (esta banda se caracteriza por curvas de baja frecuencia) entre los contornos de $C=1.0$ y $C=-1.0$ en esta región también podemos apreciar que al menos existe una onda oscilatoria la cual nos indica que hay propagación. La banda óptica está dada por la familia de curvas de $C<1$, en esta gráfica vemos que no es posible ordenar las frecuencias por el número de onda que es característico de primeros vecinos, esto es debido a que hay una cierta inversión de las frecuencias en esta región. La banda prohibida formada entre estas dos regiones se caracteriza porque no existe ninguna onda $\vert C\vert<1$.

La gráfica (VIII.2) se llevó a cabo con una razón de masas de $1:1$ lo cual nos indica que es el caso de la cadena uniforme, al comparar esta gráfica con la (IV.IV) vemos que concuerdan en algunos aspectos, otros aspectos que no son observados con claridad debido a que se necesita una investigación mayor en este punto, como por ejemplo no llevamos a cabo el análisis completo de la región compleja que se caracteriza por estar formada por familias de hipérbolas, sin embargo, el único fin que nos propusimos fue el de indentificar ciertos aspectos que al final de cuentas, fueran congruentes. La gráfica (VIII.3) es con razón de más $5:1$ ésta da esencialmente la misma información que la gráfica (VIII.2).

Una cosa que podemos apreciar de estas gráficas es que al aumentar la razón de masas, los rangos de las bandas se van haciendo más cortos.