B'

Otra fórmula importante, que es necesario demostrar, es la que aparece como producto exterior de los eigenvectores, en los teoremas de Espectación y de Sylvester que es un teorema de una validez más general, esto es:

$$\Gamma_i =\vert i \!\! >< \!\! i\vert= \frac{\prod_{\mu_i\neq\mu_j} (T-\mu_j)I}{\prod_{i\neq j}(\mu_i-\mu_j)}$$

Una forma de calcular estos operadores idempotentes, es recordando que si $T$ es una matriz que se puede diagonalizar, entonces es posible expresarla como:

$$u^{-1} T\; u =\Lambda$$ (B.1)

En donde $u$ es una matriz cuyas columnas son los eigenvectores de la matriz $T$ y $\Lambda$ es una matriz diagonal, cuyos elementos son los eigenvalores de $T$.

Restemos $\mu_i$ en ambos miembros de B.1.

$$u^{-1} (T-\mu_i)u =(\Lambda -\mu_i)I$$ (B.2)

Con objeto de poder visualizar bien esto calculamos los productos parciales.

$$(\Lambda -\mu_2)(\Lambda -\mu_3)(\Lambda -\mu_4)\cdots (\Lambda -\mu_n) = \prod_{i\neq j}^n (\Lambda -\mu_j) =$$

$$\left[\begin{array}{ccccc} \mu_1-\mu_2 & & & & \\ & 0 & & ... ... & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & \ \end{array}\right]\times$$

$$\left[\begin{array}{ccccc} \mu_1-\mu_4 & & & & \\ & \mu_2-... ...-\mu_n & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 0 \end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cccccccc} (\mu_1-\mu_2) & (\mu_1-\mu... ... & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0 \end{array}\right]$$

O sea que nos resulta una matriz con un elemento distindo de cero, por lo tanto, el producto de matrices lo podemos expresar como:

$$\prod_{i\neq j}^n (\Lambda -\mu_j) =\prod_{j\neq 1}^n (\mu_... ...y}\right] =\prod_{j\neq 1}^n (\mu_1-\mu_j) :1 \!\!><\!\! 1:$$

Por lo tanto este resultado se puede generalizar fácilmente en la forma:

$$\prod_{i\neq j}^n (\Lambda -\mu_j) =\prod_{i\neq j}^n (\mu_i-\mu_j) :1 \!\!><\!\! 1:$$

multiplicando esta ecuación por la izquierda por $u$ y por la derecha por $u^{-1}$ resulta:

$$\frac{\prod_{i\neq j}^n u(\Lambda -\mu_j)}{\prod_{i\neq j}^n (\mu_i-\mu_j)} u^{-1}=u :i \!\!><\!\! i: u^{-1}$$ (B.3)

Por otra parte si multiplicamos la ecuación (B.2) por la izquierda y derecha respectivamente, resulta:

$$(T-\mu_i) =u(\Lambda -\mu_i)u^{-1}$$ (B.4)

Analicemos el producto de $u$ por el vector ordenado $:i \!\!>$

$$u:i \!\!> =(\vert 1 \!\! >\vert 2 \!\! >\cdots\vert i \!\! ... ...{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]$$

Del cálculo de este producto vemos que, como $u$ consta de columnas que son los eigenvectores, multiplicada por un vector, el cual tiene un ``uno'' en el lugar $i$-ésimo y ``ceros'' en los demás lugares, el resultado de este producto, selecciona precisamente la columna $i$-ésima de la matriz $u$, por lo tanto:

$$u:i \!\!>=\vert i \!\! >$$ (B.5)

y para el producto $<\!\! i:u^{-1}$ el razonamiento es similar, esto es:

$$<\!\! i:u^{-1} =< \!\! i\vert$$ (B.6)

Sustituyendo B.4 a B.6 en B.3 resulta finalmente:

$$\frac{\prod_{i\neq j}^n (T-\mu_j)}{\prod_{i\neq j}^n (\mu_i... ...\!\! i\vert =\Gamma_i \mbox{\hspace{.2in} Q.E.D\hspace{.2in}}$$

Analizando esta fórmula vemos entre otras cosas, que cuando hay factores repetidos, es necesario omitir el eigenvalor que hace que los factores sean cero ya que si no lo hacemos $\Gamma_i =0$, lo que implica que el producto exterior de los eigenvectores sería cero, por el momento consideramos eigenvalores distintos, y el producto de índices distintos nos da eigenvalores distintos.