Apéndice D

Demostración de que $f(m)$ y $g(m)$ definidos por (C.9) y (C.10) toman la forma en función de los polinomios de Tchebychev siguiente:

$$\begin{eqnarray*} F(m) & = & \frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{cc} u_m(z_+) ... ...m+1}(z_-) \\ u_{m-3}(z_+) & u_{m-3}(z_-) \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

Consideremos

$$\begin{eqnarray*} \frac{f(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_1\,{\mbox{senh}}\phi_2} & = & ... ...cc} u_m(\phi_1) & u_m(\phi_2) \\ 1 & 1 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

donde $\qquad u_m(\cos\theta)=\frac{\,{\mbox{sen}}(m+1)\theta}{\,{\mbox{sen}}\theta}$.

Que es un polinomio de Tchebychev de segunda clase de argumento imaginario. Para la demostración es necesario el empleo de algunas identidades trigonométricas, estas son:

$$\begin{array}{ccc} \,{\mbox{senh}}x+\,{\mbox{senh}}y & = ... ...x{senh}}\frac{x+y}{2}\,{\mbox{senh}}\frac{x-y}{2} \end{array}$$ (D.1)

$$\begin{eqnarray*} f(m) & = & \frac 1 2 \left\vert \begin{array}{cc} \,{\mbox{s... ...x{senh}}\phi_2 - \,{\mbox{senh}}m \phi_2 \,{\mbox{senh}}\phi_1 ) \end{eqnarray*}$$

sumando y restando una cantidad

$$2f(m)=\frac{1}{2}[\cosh(m\phi_1-\phi_2)-\cosh(m\phi_1-\phi_2)] -\frac{1}{2}[\cosh(m\phi_2-\phi_1)-\cosh(m\phi_2-\phi_1)]$$

ordenando términos

$$4f(m)= [\cosh(m\phi_1+\phi_2)-\cosh(m\phi_2+\phi_1)] -[\cosh(m\phi_1-\phi_2)-\cosh(m\phi_2+\phi_1)]$$

usando las ecuaciones (D.1) resulta

$$\begin{eqnarray*} 4f(m) & = & 2\,{\mbox{senh}}(m\frac{\phi_1+\phi_2}{2}+\frac{\... ...{\phi_1+\phi_2}{2} \,{\mbox{senh}}(m+1)\frac{\phi_1-\phi_2}{2} \end{eqnarray*}$$

Definamos

$$\begin{array}{ccc} \phi_+ & = & \frac{\phi_1+\phi_2}{2} \\ & & \\ \phi_- & = & \frac{\phi_1-\phi_2}{2} \end{array}$$ (D.2)

con lo cual $f(m)$ tomó la forma matricial siguiente

$$f(m)=\frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{cc} \,{\mbox{sen}... ...m-1)\phi_+ & \,{\mbox{senh}}(m-1)\phi_- \end{array}\right\vert$$ (D.3)

Procediendo a expresar $g(m)$ en esos mismos términos tenemos.

$$2g(m) =\,{\mbox{senh}}m\phi_1 \,{\mbox{senh}}2\phi_2 -\,{\mbox{senh}}m\phi_2\,{\mbox{senh}}2\phi_1$$

que se puede poner en la forma siguiente

$$2g(m) =\frac{1}{2}[\cosh(m\phi_1 +2\phi_2)-\cosh(m\phi_1 -2... ...-\frac{1}{2}[\cosh(m\phi_2 +2\phi_1)-\cosh(m\phi_2 -2\phi_1)]$$

empleando las ecuaciones (D.1) resulta que

$$2g(m) =\,{\mbox{senh}}(m+2)\phi_+\,{\mbox{senh}}(m-2)\phi_- -\,{\mbox{senh}}(m-2)\phi_+\,{\mbox{senh}}(m+2)\phi_-$$

o finalmente

$$g(m) =\frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{cc} \,{\mbox{sen... ...2)\phi_+ & \,{\mbox{senh}}(m_2)\phi_- \end{array}\right\vert$$ (D.4)

Como vemos (D.3) y (D.4) tienen la forma más simétrica, para los elementos de nuestro determinante.

Las ecuaciones (D.1) nos permiten el cálculo del denominador opcional, esto es.

$$\,{\mbox{senh}}\phi_1\,{\mbox{senh}}\phi_2(\cosh\phi_1-\cos... ...\frac{\phi_1+\phi_2}{2}\,{\mbox{senh}}\frac{\phi_1-\phi_2}{2}$$

Empleando las definiciones (D.2) resulta.

$$\,{\mbox{senh}}\phi_1\,{\mbox{senh}}\phi_2(\cosh \phi_1-\co... ...enh}}\phi_+\,{\mbox{senh}}\phi_-(\cosh 2\phi_+-\cosh 2\phi_-)$$

Por lo tanto tenemos finalmente que

$$\frac{f(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_+\,{\mbox{senh}}\phi_-} =\f... ...}(m-1)\phi_-}{\,{\mbox{senh}}\phi_-} \end{array}\right\vert$$

$$F(m) =\frac{1}{2}\left\vert\begin{array}{ll} U_m (Z_+) & ... ...\\ & \\ U_{m-2}(Z_+) & U_{m_2}(Z_-) \end{array}\right\vert$$ (D.5)

Usando la misma notación resulta:

$$\frac{g(m)}{\,{\mbox{senh}}\phi_+\,{\mbox{senh}}\phi_-} \... ...h}}(m-2)\phi_-}{\,{\mbox{senh}}\phi_-} \end{array}\right\vert$$

$$G(m)=\left\vert \begin{array}{cc} U_{m+1}(Z_+) & U_{m+1}(Z_... ...ray}\right\vert \quad \mbox{\hspace{.2in} Q.E.D\hspace{.2in}}$$ (D.6)

Es posible calcular algunos de los polinomios de subíndices pequeños, tenemos que

$$U_n(Z) =2ZU_{n-1}(Z) -U_{n-2}(Z)$$

con

$$U_0(Z) =1 \mbox{\hspace{.2in}por esto\hspace{.2in}} U_{-1}(Z)=0$$

Por lo tanto los valores de algunos polinomios son:

$$\begin{array}{lcl} U_{-1}(Z) & = & 0 \\ U_0 (Z) & = & 1 ... ...Z^3 +6Z \\ U_6 (Z) & = & 64Z^6 -80Z^4 +24Z^2 -1 \end{array}$$ (D.7)

De este modo tenemos, usando (D.5) y (D.6) junto con los polinomios anteriores.

$$\begin{eqnarray*} F(1) & = & \frac{1}{2}\left\vert \begin{array}{cc} U_1(Z_4) &... ...t \\ & = & 8(Z_+^2-Z_-^2)\cdot (8Z_+^2-Z_-^2-2(Z_+^2+Z_-^2)+1) \end{eqnarray*}$$

Similarmente para las $G$'s

$$\begin{eqnarray*} G(1) & = & 0 \\ G(2) & = & 0 \\ G(3) & = & 2(Z_+^2-Z_-^2)... ...-3\} \\ G(4) & = & 32Z_+Z_-(Z_+^2-Z_-^2)\{ Z_+^2 -Z_-^2 -1 \} \end{eqnarray*}$$

finalmente utilizando la condición dada por (C.12) para encontrar el espectro de eigenvalores resulta, por ejemplo para $m = 2$

$$\frac{1}{(\cosh 2\phi_+ -\cosh 2\phi_-)^2} \left\vert \be... ...) & -G(4)-F(3) \\ F(3) & -G(3)-F(2) \end{array}\right\vert = 0$$ (D.8)

$$=\frac{1}{(\cosh 2\phi_+ -\cosh 2\phi_-)^2} \qquad \qquad \qquad \qquad$$

$$\left\vert \begin{array}{cc} {8(Z_+^2-Z_-^2)(8Z_+^2Z_-^2-2(... ...\{4(Z_+^2+Z_-^2)-3\}-2(Z_+^2-Z_-^2)}\end{array}\right\vert = 0$$

$$=\frac{(Z_+^2-Z_-^2)^2 8.2}{4(Z_+^2-Z_-^2)} \left\vert \b... ...2)+3\} \\ Z_+Z_- & 4(Z_+^2+Z_-^2)-4 \end{array}\right\vert = 0$$ (D.9)

En donde el denominador se obtiene, examinando cuidadosamente la definición de las $U$'s, esto es:

$$\begin{eqnarray*} U_m(\cos\theta) & = & \frac{\,{\mbox{sen}}(m+1)\theta}{\,{\mb... ...fine como\hspace{.2in}} \\ t_m(\cos\theta) & = & \cos m\theta \end{eqnarray*}$$

En nuestra notación $Z= \cos\theta$.

Calculemos $\qquad \cosh 2\phi=t_2(Z)$

Por lo tanto $\qquad \qquad \quad =\cosh^2\phi +\,{\mbox{senh}}^2\phi= 2\cosh^2\phi-1 = 2Z^2-1$

$$\cosh 2\phi_+ -\cosh 2\phi_- = (2Z_+^2 -1)-(2Z_-^2 -1) = 2(Z_+^2-Z_-^2)$$ (D.10)

Además como $Z$ tiene un rango de $-\infty$ a $\infty$, entonces es conveniente examinar a $Z= \cos\theta$, en tres regiones características, esto es:

Región I	para	$\vert Z\vert\leq 1$;	$\theta=\arccos \;Z$
Región II	para	$Z \geq 1$;	$\theta=i{\mbox{arcosh}}\; Z$
Región III	para	$Z \leq -1$;	$\theta=i{\mbox{arcosh}}(\vert Z\vert+\pi)$

En la región I, tenemos la definición estandar de los polinomios de Techebychev.

En la región II, tenemos

$$U_m(\cos\theta) =\frac{\,{\mbox{sen}}(m+1)\theta }{\,{\mbox... ...}Z} = \frac{ \,{\mbox{senh}}(m+1)\phi }{\,{\mbox{sen}}\phi}$$

En la región III

$$\begin{eqnarray*} U_m(\cos\theta) & = & \frac{\,{\mbox{sen}}(m+1)[i{\mbox{arcosh... ...i} = (-1)^m\frac{\,{\mbox{senh}}(m+1)\phi}{\,{\mbox{senh}}\phi} \end{eqnarray*}$$

En donde $\phi ={\mbox{arcosh}}\vert Z\vert$.

Por lo tanto $(-1)^m$ restablece la paridad de $\vert Z\vert$ en la suma de polinomios.

Por otra parte, la forma simétrica para $F(m)$ y $G(m)$ encontradas anteriormente (ecs. (D.5) y (D.6)), no nos dan con claridad la forma de variación de los argumentos en los polinomios de Tchebychev, por lo tanto, es necesario encontrar una más adecuada, lo cual se logra por uso de $F(m)$ y $G(m)$ definidos anteriormente, esto es:

$$\begin{eqnarray*} F(m) = & \frac{1}{2}\left\vert \begin{array}{cc} U_m(Z_1) & U... ...ight\vert & \mbox{\hspace{.2in}donde\hspace{.2in}} U_1(Z) =2Z \end{eqnarray*}$$

Con esto

$$\begin{array}{ccl} F(m) & = & \frac{1}{2}[U_m(Z_1) -U_m(Z... ...(m) & = & \frac{1}{2}[2Z_2U_m(Z_1) -Z_1U_m (Z_2)] \end{array}$$ (D.11)

Por lo tanto de (C.11) junto con (D.8) y (D.9) tenemos

$$\begin{eqnarray*} & & \frac{1}{4\cdot 4(Z_1-Z_2)^2}\\ & &\left\vert \begin{ar... ...+1}(Z_2)]-\frac{1}{2}[U_m(Z_1)-U_m(Z_2)] \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

Restando $Z_2$ veces la primera columna a la segunda, tenemos

$$\frac{1}{16(Z_1-Z_2)^2} \left\vert \begin{array}{cc} U_{m+2... ...Z_1U_{m+1}(Z_1))+U_{m}(Z_1)-U_{m}(Z_2) \end{array}\right\vert$$

Usando la relación de recursión $U_n =2ZU_{n-1}-U_{n-2}$ y agrupando ligeramente, resulta finalmente que:

$$\frac{1}{16(Z_1-Z_2)^2} \left\vert \begin{array}{cc} U_{m+2... ...{m+1}(Z_2) & U_{m+2}(Z_2)-U_{m+2}(Z_1) \end{array}\right\vert$$