Sea $R(z)$ una función racional de grado $d$ ($d>1$) de la variable compleja $z$; si tenemos

$$z_1 = R(z), \hspace{0.5in} z_n = R(z_{n-1}),$$

podemos expresar a $z$ en función de $z$ a través de la relación

$$z_n = R_n(z),$$

donde $R_n(z)$ designa una fracción racional cuyo grado es (exactamente) $d^n$. Las funciones $R, R_2, ..., R_n, ...$ son las iteradas sucesivas de R(z). Los puntos $z_1, z_2, ..., z_n, ...$ son llamados consecuentes sucesivos del punto $z$; en particular $z_1 = R(z)$ es el consecuente inmediato de $z$. Inversamente, dada $z$; los puntos raíz $z_{-n}$ de la ecuación $R_n(y) = z$ son los antecedentes de rango $n$ del punto $z$; esos puntos, en total $d^n$, son distintos cuando $z$ es arbitraria. En particular los antecedentes de rango $1$ serán también llamados antecedentes inmediatos de $z$. Podemos escribir $z_{-n} = R_{-n}(z)$ siendo $R_{-n}(z)$ una función algebraica en $d^n$ ramas^1.1 que es la función inversa de $R_n(z)$. Como consecuencia de la existencia de esos valores multiples, dos puntos pueden dar lugar, en las series de sus consecuentes respectivos, a un término común sin ser consecuente el uno del otro; si dos puntos $z$ y $z'$ son tales que $R_n(z)=R_{n'}(z')$ para dos valores enteros positivos convenientes $n$ y $n'$ decimos que son equivalentes; ésta es en efecto la condición necesaria y suficiente para que los puntos $z$ y $z'$ se deduzcan el uno del otro por una substitución del grupo $G$ de substituciones algebraicas que se derivan de la substitución $[ z \mid R(z)]$ y de su inversa; veremos que ese grupo puede ser estrictamente o no discontinuo; su estudio está estrechamente relacionado a todas las cuestiones examinadas en ésta investigación.

Uno de los problemas fundamentales que se presentan en el estudio de la iteración de substituciones racionales es la búsqueda de figuras invariantes mediante estas substituciones y en primer lugar de los puntos invariantes. Los puntos invariantes o puntos dobles de substitución: $z_1 = R(z)$, corresponde a los valores finitos o infinitos de $z$ que cumplen la relación $z = R(z)$. Para que el punto en el infinito sea un punto doble, es necesario y suficiente que el grado del numerador de $R(z)$ sea superior al grado del denominador. Llamamos multiplicador de un punto doble $\alpha$ a un número $s$ igual a $R' (\alpha)$ si $\alpha$ es finito, y a $\Large\frac{1}{(R'(\alpha))}$ si $\alpha$ es infinito. Verificamos inmediatamente que ese número $s$ es relativamente invariante a toda transformación homográfica efectuada simultaneamente sobre las variable $z_1$ y $z$ y más generalmente a toda transformación conforme regular y biunívoca en la vecindad de un punto doble. Tenemos^1.2 por otra parte, en la vecindad de $\alpha$,

$$z_1 - \alpha = s(z - \alpha) + k(z - \alpha)^2 + \cdots$$

o, si $\alpha$ está en el infinito,

$$z_1 = \frac{z}{s} + k + \frac{l}{z} + \cdots$$

La condición necesaria y suficiente para que el punto doble $\alpha$ sea raíz múltiple de la ecuación $R(z) = z$ es que el multiplicador $s$ sea igual a $+1$. Si esto se cumple tendremos; en la vecindad de ese punto doble, supuesta raíz de orden $q$ de la ecuación $R(z) = z$,

$$z_1 - \alpha = z - \alpha + k(z - \alpha)^{q+1} + ... \hspace{0.5in} (k \neq 0)$$

o, si $\alpha$ está en el infinito,

$$z_1 = z + \frac{k}{z^{q-1}} + ...$$

El número total de puntos invariantes, cada uno contado con su grado de multiplicidad como raíz de $R(z) = z$, es igual a $d + 1$.

Vamos a establecer una relación importante entre los multiplicadores de puntos dobles de una misma substitución racional. Podemos suponer que el punto en el infinito no es un punto doble. Suponemos, además, que los puntos dobles son todos distintos. Consideremos entonces la fracción racional:

$$\varphi(z) = \frac{1}{R(z) - z}.$$

Los puntos dobles $\alpha$ son polos simples de $\varphi(z)$ la que, por otra parte, se anula en el infinito. Tenemos entonces

$$\varphi(z) = \frac{1}{R(z) - z} = \sum \frac{A}{z - \alpha}.$$

Encontramos inmediatamente

$$A = \frac{1}{R'(\alpha) - 1} = \frac{1}{s - 1}.$$

Igualando los términos principales ( en $\Large\frac{1}{z}$ ) de los dos últimos miembros, deducimos

$$\sum A = -1$$

ó

$$\sum^{d+1}_{1} \frac{1}{s-1} + 1 = 0.$$

Tal es la relación fundamental que queríamos establecer.

Una consecuencia fácil de ésta relación es la existencia de al menos un punto doble de multiplicador más grande, en módulo, que la unidad.

Pongamos, en efecto,

$$s = u + iv,$$

$$\sigma = \frac{1}{s-1} = \xi + i\eta.$$

Se sigue que

$$\xi = \frac{u-1}{u^2 + v^2 - 2u + 1}.$$

Las relaciones

$$\xi = -\frac{1}{2}, \hspace{0.5in} \xi > -\frac{1}{2}, \hspace{0.5in} \xi < -\frac{1}{2}$$

equivalen respectivamente a

$$u^2 + v^2 = 1, \hspace{0.5in} u^2 + v^2 > 1, \hspace{0.5in} u^2 + v^2 < 1,$$

es decir que la circunferencia $\mid s \mid = 1$, el exterior y el interior de ésta circunferecia corresponden respectivamente, en el plano de la variable $\sigma$, a la recta $R(\sigma) = -\Large\frac{1}{2}$, y a los semiplanos a derecha e izquierda de ésta recta. En virtud de la relación fundamental, tenemos

$$\sum^{d+1}_{1}\xi = -1.$$

Como $d + 1$ es al menos igual a $3$ ($d>1$), los $\xi$ no son todos inferiores o iguales a $-1/2$, por eso resultaría $\sum \xi \leq -\frac{3}{2} < -1$. Tenemos entonces, para al menos un punto doble,

$$\Re(\sigma) > -\frac{1}{2}$$

ó

$$\mid s \mid > 1$$

Remarquemos que podemos dar valores arbitrarios a todos los multiplicadores, excepto a aquel que se encuentra determinado por la relación fundamental; es posible entonces, no tener más que un solo punto doble para el cual $\mid s \mid$ sea superior a la unidad.

Si consideramos los coeficientes de la fracción $R(z)$ de grado $d$ como variables independientes, las $s$ que son funciones algebraicas de esos coeficientes cumplen igualmente la relación fundamental. Si esos coeficientes tienden a valores numéricos tales que alguna $s$ llegue a ser igual a $+1$ y por consecuencia $\Large {\frac{1}{s-1}}$ infinito, existe, en virtud de la relación fundamental, otro multiplicador que tiende a $+1$.

Suponemos ahora que, no siendo el infinito un punto doble, ciertos multiplicadores sean iguales a $+1$. Tendremos entonces para la fracción $\Large\frac{1}{R(z)-z}$ una descomposición en elementos simples de la forma

$$\frac{1}{R(z)-z} = \sum\frac{1}{s-1}\frac{1}{z-\alpha} + \su... ...}}{(z-\beta)^{q-1}} + \cdots + \frac{a_{-1}}{z-\beta} \right],$$

la segunda sumatoria siendo extendida a los puntos dobles del multiplicador igual a $+1$ y el entero $q$ siendo como consecuencia $> 1$. De lo anterior deducimos, entre los coeficientes $a_{-1}$ y los multiplicadores $s$ diferentes de $1$, la relación

$$\sum\frac{t}{s-1} + \sum\prime[a_{-t} + 1] = 0$$

Consideramos ahora una función $R_n(z)$, la iterada de $R(z)$, y las raíces de la ecuación

$$R_n(z) = z.$$

Sea $\alpha$ cualquier punto y $p$ el entero más pequeño tal que $R_p(\alpha) = \alpha$; los puntos $\alpha, \alpha_1, ..., \alpha_{p-1}$ son todos distintos, pues si tuvieramos $\alpha_h = \alpha_k$, $h$ y $k$ siendo más pequeñas que $p$, deduciríamos que

$$R_{p-h}(\alpha_h) = R_{p-h}(\alpha_k),$$

es decir

$$R_p(\alpha) = R_{p-h+k}(\alpha),$$

y como $R_p(\alpha) = \alpha$ :

$$\alpha = R_{p+k-h}(\alpha) = R_q(\alpha).$$

Si $h > k$, tenemos a $q = p + k - h < p$; por otra parte $q \geq 1$. Entonces $p$ no sería el entero más pequeño tal que $R_p(\alpha) = \alpha$.

La serie $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, ...$ es periódica, el periodo comprendiendo $p$ términos siendo distintos todos sus términos. Diremos que los puntos ( $\alpha, \alpha_1, ..., \alpha_{p-1}$) forman un ciclo de orden $p$. Todos los puntos del ciclo son raíces de la ecuación $R_p(z) = z$. Considerados como puntos dobles de la substitución $Z = R_p(z)$, todos tienen el mismo multiplicador. En efecto tenemos, suponiendo que ninguno de los puntos $\alpha$ esté en el infinito,

$$s = R'_p(\alpha) = R'(\alpha)R'(\alpha_1)\cdot\cdot\cdot R'(\alpha_{p-1})$$

$$= R'_p(\alpha_1)$$

$$= R'_p(\alpha_2) ;$$

$$=$$

$$\vdots$$

el número $s$ es el multiplicador del ciclo.

Subrayemos que las raíces de $R_n(z) = z$ se distribuyen en ciclos cuyos ordenes son divisores de $n$. En particular, entre esas raíces, se encuentran aquellas de $R(z) = z$, es decir los puntos dobles. Sea $\alpha$ un punto doble de multiplicador $s$, de suerte que

$$R(z) = \alpha + s(z - \alpha) + a(z - \alpha)^q + \cdots \hspace{0.25in}(a \neq 0).$$

Fácilmente encontramos por recurrencia

$$R_n(z) = \alpha$$

$$+ s^n(z-\alpha)$$

$$+ as^{n-1}[ 1 + s^{q-1} + s^{2(q-1)} + \cdots$$

$$+ s^{(n-1)(q-1)} ](z - \alpha)^q + \cdots$$

ó

$$R_n(z) - z = (s^n - 1)(z - \alpha)$$

$$+ as^{n-1}[1 + s^{q-1} + s^{2(q-1)} + \cdots + s^{(n-1)(q-1)}](z - \alpha)^q + \cdots$$

Se deduce que en tanto $s$ es diferente de la unidad, $\alpha$ es un cero del mismo orden de multiplicidad para $R(z) - z$ y $R_n(z) - z$ (es entonces un cero simple). Es lo mismo si $s = +1$, pues en cuyo caso tenemos

$$R(z) - z = a(z - \alpha)^q + \cdots,$$

$$R_n(z) - z = na(z - \alpha)^q + \cdots,$$

es decir que $\alpha$ es un cero de orden $q$ para éstas dos expresiones.

Ahora suponemos que $s$ es una raíz primitiva de $s^r = 1$ ($r>1$). Si $n$ no es múltiplo de $r$ , $\alpha$ es una raíz simple de las dos ecuaciones. Si $n$ es múltiplo de $r$, $\alpha$ es una raíz simple de la primera ecuación y raíz de al menos orden $q$ para la segunda: exactamente de orden $q$ si $s^{q-1} = +1$, es decir si $q-1$ es múltiplo de $r$, de orden superior a $q$, si $q-1$ no es múltiplo de $r$.

Si $n$ es un número primo absoluto, distinto de los enteros $r$ en número límite correspondiendo a los multiplicadores de los puntos dobles que son de la forma $\Large {e^{2i\pi\frac{m}{r}}}$, los ceros de $R(z) - z$ son ceros del mismo orden de multiplicidad que los de $R_n(z) - z$; los ceros de ésta última función que no pertenecen a la primera, en total $d^n -d$, forman $\Large\frac{d^n - d}{n}$ ciclos de orden $n$. Veamos entonces que existen ciclos de puntos de orden tan elevado como queremos, particularmente ciclos de orden $n$ cuando $n$ es un número primo superior a un cierto límite.

Consideremos una fracción racional $R(z)$ tal que $R(z) = z$ tenga todas sus raíces distintas; sea $n$ un número primo distinto de los enteros $r$ definidos en el parágrafo anterior y $t$ el multiplicador de un ciclo de orden $n$. Si ningun $t$ es igual a $+1$, el análisis del parágrafo 2 aplicado a $R_n(z)$ conduce a la relación

$$n\sum{\frac{1}{t-1}} + \sum\frac{1}{s^n - 1} + 1 = 0,$$

la primera sumatoria siendo extentida a $\Large\frac{d^n - d}{n}$ ciclos de orden $n$, la segunda a $d + 1$ puntos dobles de multiplicadores $s$.

Para $n = 2$, tenemos la relación

$$2\sum^{\frac{d^2 - d}{2}}_{1}\frac{1}{t - 1} + \sum^{d + 1}_{1}\frac{1}{s^2 - 1} + 1 = 0,$$

válida en tanto ningun $s$ sea igual a $\pm1$, ni ningun $t$ sea igual a $+1$. Multiplicamos por $2$ los dos miembros de ésta relación y le sustraemos la siguiente

$$\sum\frac{1}{s-1} + 1 = 0.$$

Con lo que obtenemos

$$4\sum^{\frac{d^2-d}{2}}_{1}\frac{1}{t-1} + \sum^{d+1}_{1}\frac{1}{-s-1} + 1 = 0.$$

Esta relación que tiene lugar igualmente cuando los coeficientes de $R(z)$ son arbitrarios conserva un sentido cuando ciertas $s$ tienden a $+1$ y sigue cumpliendose, como lo expondremos en detalle al final de este parágrafo, una condición para reemplazar $s$ por $+1$ un número de veces igual a la suma de los ordenes de multiplicidad de los puntos dobles de multiplicador $+1$ como raíces de la ecuación $R(z) = z$.

Se deriva fácilmente de esta relación (donde suponemos $t\neq+1$, $s\neq-1$) que siempre existen ya sea un valor de $t$, ó dos valores de $s$ superiores a la unidad en módulo, o bien un $s$ igual a $+1$ y otro más grande en módulo que $1$. En efecto si tenemos $\mid t\mid \leq1$ para todos las parejas de orden dos, ningun $s$ siendo igual a $+1$ , y un solo $s$, que designamos por $s'$, siendo superior a $1$, en módulo, igualando a cero la parte real del primer miembro, la relación precedente da:

$$4\sum^{\frac{d^2 + d}{3}}_{1}\Re\left(\frac{1}{t-1}\right) + \sum_{1}\Re\left(\frac{1}{-s-1}\right) + \Re\left(\frac{1}{-s' -1}\right) + 1 = 0,$$

$$4\sum^{\frac{d^2-d}{2}}_{1}\left(-\frac{1}{2} -P\right) + \sum^{d}_{1}\left(-\frac{1}{2} - Q\right) + \Re\left(\frac{1}{-s' - 1}\right) + 1 = 0,$$

siendo $P$ y $Q$ dos cantidades positivas o nulas. Como $d \geq 2$, $\frac{d^2 - d}{2} \geq 1$, de lo que obtenemos:

$$\Re\left(\frac{1}{-s' - 1}\right) = -1 + 4\sum^{\frac{d^2 - d}{2}}_{1}\frac{1}{2} + \sum^{d}_{1}\frac{1}{2} + H,$$

$$\Re\left(\frac{1}{-s' - 1}\right) = 2 + K,$$

siendo H y K dos cantidades positivas o nulas.

Por otra parte, la relación fundamental del parágrafo 2 da

$$\sum^{d}_{1}\left(\frac{1}{s-1}\right) + \frac{1}{s' - 1} + 1 = 0,$$

$$\sum^{d}_{1}\left(-\frac{1}{2} - L\right) + \Re\left(\frac{1}{s' - 1}\right) + 1 = 0 \hspace{0.1in} (L \geq 0),$$

$$\Re\left(\frac{1}{s' - 1}\right) = -1 + \sum^{d}_{1}\left(-\frac{1}{2}\right) + \Sigma{L},$$

$$\Re\left(\frac{1}{s' - 1}\right) = M \geq 0.$$

Tendremos entonces simultáneamente

$$\Re\left(\frac{1}{s' - 1}\right) \geq 0,$$

$$\Re\left(\frac{1}{-s' - 1}\right) \geq 2 > 0.$$

Estas dos desigualdades son incompatibles. En efecto, teniendo $s' = u + iv$, deduciríamos

$$u-1 \geq 0$$

y

$$u+1 < 0,$$

que son evidentes.

Suponemos ahora un $s$ igual a $+1$ (conservando las hipótesis $t\neq+1$, $s\neq-1$). La igualdad

$$4\sum^{\frac{d^2-d}{2}}_{1}\Re\left(\frac{1}{t-1}\right) + \sum^{d + 1}_{1}\Re\left(\frac{1}{-s-1}\right) + 1 = 0$$

muestra entonces, que existe un $\mid t \mid$ o un $\mid s \mid$ superior a 1 lo que se deriva del análisis del parágrafo 2.

Combinando estos resultados con aquellos de la sección 2, veamos en definitiva que siempre existe ya sea dos puntos dobles distintos, o un punto doble y una pareja periódica de orden $2$ cuyos multiplicadores son superiores a $1$ en módulo o iguales a $\pm1$.

Ahora suponemos que $n$ es un número primo cualquiera distinto de los enteros $r$ considerados anteriormente. Tenemos la relación

$$n\sum^{\frac{d^n - d}{n}}_{1}\frac{1}{t-1} + \sum^{d + 1}_{1}\frac{1}{s^n - 1} + 1 = 0,$$

si ningún $s$ ni ningún $t$ es igual a $+1$. Se sigue, como veremos, que para $n$ suficientemente grande, existe al menos un $t$ superior en módulo a la unidad, pues igualando a cero la parte real del primer miembro, tenemos

$$n\sum^{\frac{d^n - d}{n}}_{1}\Re\left(\frac{1}{t-1}\right) + \sum^{d + 1}_{1}\Re\left(\frac{1}{s^n - 1}\right) + 1 = 0.$$

El segundo término del primer miembro queda acotado cualquiera que sea $n$; pues la parte real de $\Large\frac{1}{s^n - 1}$ tiende a $-1$ para $n$ infinito si $\mid s \mid > 1$, a cero si $\mid s \mid < 1$ y es igual a $-\Large\frac{1}{2}$ si $\mid s \mid = 1$, tenemos entonces para cualquiera que sea $n$,

$$-A < \sum^{d + 1}_{1}\Re\left(\frac{1}{s^n - 1}\right) + 1 < + A,$$

siendo $A$ fija. Si todos los $\mid t \mid$ fueran inferiores a $1$, tendríamos

$$n\sum^{\frac{d^n - d}{n}}_{1}\Re\left(\frac{1}{t-1}\right) < - \left(\frac{d^n - d}{2}\right)$$

en valor algebraico; y por consiguiente

$$\frac{d^n - d}{2} < A,$$

lo que es claramente imposible, $\Large\frac{d^n - d}{2}$ tiende a infinito junto con $n$. Así que, si una substitución racional no tiene más que puntos invariantes distintos, posee ciclos de orden $n$ cuyo multiplicador es más grande que $1$ en módulo o igual a $+1$, en el supuesto que $n$ sea un número primo suficientemente grande.

Vamos a mostrar que la conclusión subsiste cuando la substitución tiene puntos invariantes idénticos, es decir de multiplicador igual a $+1$. En efecto, si primeramente los coeficientes de $R(z)$ son arbitrarios, tenemos las dos relaciones

$$n\sum^{\frac{d^n - d}{n}}_{1}\frac{1}{t-1} + \sum^{d + 1}_{1}\frac{1}{s^n - 1} + 1 = 0,$$

$$\sum^{d + 1}_{1}\frac{1}{s-1} + 1 = 0,$$

de donde deducimos

$$n\sum^{\frac{d^n - 1}{n}}_{1}\frac{1}{t-1} + \sum^{d + 1}_{1}\beta_{n}(s) + 1 - \frac{1}{n} = 0,$$

expresando

$$\beta_{n}(s) = \frac{1}{s^n - 1} - \frac{1}{n}\frac{1}{s-1}.$$

$\beta_n(s)$ no tiene polo en $s = 1$; su valor en ese punto es igual a $-\Large\frac{n-1}{2n}$.

La identidad precedente, que tiene lugar cuando los coeficientes de $R(z)$ son arbitrarios, subsiste cuando ciertos multiplicadores $s$ llegan a ser iguales a $+1$, teneniendo en cuenta que los valores de $s$ son múltiplos. Igualando a cero la parte real del primer miembro, tenemos

$$\sum^{\frac{d^n - d}{n}}_{1}\Re\left(\frac{1}{t - 1}\right) + \sum^{d + 1}_{1}\Re[\beta_n(s)] + 1 - \frac{1}{n} = 0.$$

Vemos fácilmente que $\Re[\beta_n(s)]$ tiende a cero si $\mid s \mid > 1$, a $-1$ si $\mid s \mid < 1$, y a $-\Large\frac{1}{2}$ si $\mid s \mid = 1$, sin excluir el valor $s = +1$. El análisis precedente muestra entonces que aunque $n$ sobrepase un cierto límite, existe al menos un valor $\mid t \mid > 1$, que es la conclusión por defecto solamente si existe un $t = +1$. Es importante justificar de una manera precisa la sustitución de $s$ por $+1$ en la última fórmula, aunque haya puntos invariantes idénticos. Sea $R(z)$ una fracción racional tal que la ecuación $R(z) = z$ admite la raíz $z= 0$ con un orden de multiplicidad igual a $q > 1$, de suerte que

$$R(z) = z + az^q + bz^{q+h} + \cdots$$

Reemplazemos $R(z)$ por $R(z) + \lambda$, siendo $\lambda$ un parámetro arbitrario; $R_n(z)$ llega a ser $R_n(z, \lambda)$, función racional de $z$ y de $\lambda$. Las raíces de las ecuaciones

$$R_n(z, \lambda) = z$$

y

$$R(z)+ \lambda = z$$

son funciones algebraicas de $\lambda$ que son holomorfas para $\lambda = 0$ si las expresiones

$$\frac{\partial}{\partial z}[R_n(z, \lambda) - z]$$

y

$$\frac{\partial}{\partial z}[R_n(z) + \lambda - z]$$

no son nulas para $\lambda = 0$, es decir si los multiplicadores $t$ y $s$ son diferentes de $+1$ para $\lambda = 0$; si es así los multiplicadores de los puntos dobles y los ciclos de orden $n$, para $\lambda$ cualquiera, teniendo para las expresiones

$$\frac{\partial}{\partial z}R_n(z, \lambda)$$

y

$$\frac{\partial}{\partial z}[R(z) + \lambda] = R'(z),$$

son igualmente funciones holomorfas de $\lambda$, continuas por consecuencia para $\lambda = 0$.

Consideremos ahora el punto doble $z= 0$ raíz de orden $q$ de la ecuación $R(z) = z$. Para $\lambda$ infinitamente pequeño, la ecuación $R(z) + \lambda = z$ es decir

$$\lambda + az^q + bz^{q+h} + \cdots = 0$$

admite $q$ raíces infinitamente pequeñas, formando un ciclo, y derivables según las potencias de $\Large\lambda^{\frac{1}{q}}$,

$$z = A\lambda^{\frac{1}{q}} + B\lambda^{\frac{2}{q}} + \cdots$$

Los multiplicadores correspondientes tienen por expresión

$$s = R'(z)1 + qaz^{q-1} + (q + h)bz^{q+h-1} + \cdots = 1 + ()\lambda^{\frac{q-1}{q}} + \cdots .$$

Estos $q$ multiplicadores toman el valor de $1$ y son continuos para $\lambda = 0$. Vemos aquí que el paso al límite efectuado en el curso de este parágrafo es una legítima condición de reemplazar $s$ por $+1$ en las fórmulas un número de veces igual a

$$q + q' + q'' + \cdots,$$

siendo $q, q', q''$ los ordenes de multiplicidad de los diversos puntos dobles de multiplicador $+1$, en calidad de raíces de $R(z) = z$. Entonces esto demuestra en todos los casos que existe una infinidad de ciclos cuyos multiplicadores son superiores a la unidad en valor absoluto o iguales a $+1$. Demostraremos más tarde un teorema mucho más preciso, a saber que existe solamente un número finito de ciclos cuyos multiplicadores son mayores o iguales a la unidad en valor absoluto; pero éste último resultado no podrá ser obtenido más que por métodos trascendentales, a saber, por la aplicación de los teoremas recientes referentes a las series de funciones analíticas. El resultado demostrado aquí, el cual nos servirá para los desarrollos ulteriores; ha sido obtenido, por el contrario, a través de un método algebraico elemental mismo que puede ser susceptible de desarrollo posterior.

Ahora vamos a abordar otra investigación igualmente elemental, a saber aquella de los puntos que solamente tienen un número finito de antecedentes. Sea $a$ uno de tales puntos y $R(z)$ la fracción racional considerada. Es claro que $a$ es un punto periodico, pues teniendo $a$ dos antecedentes de rangos diferentes $p$ y $p + q$ que coinciden, tendremos

$$R_{p+q}(a_{-p+q}) = a,$$

$$R_{p+q}(a_{-p}) = R_q[R_p(a_{-p})] = R_q(a).$$

Como $a_{-p} = a_{-p-q}$, tenemos también: $a = R_q(a)$, es decir que $a$ es un punto doble de substitución $[z \mid S(z)]$, expresando

$$S(z) = R_q(z).$$

Esta última substitución da lugar a una cadena de antecedentes de $a$ que designaremos por

$$a, a_{-1}, a_{-2}, \dots, a_{-n}, \dots,$$

y cada uno de éstos es antecedente inmediato de aquel que está escrito a su izquierda, es decir tenemos

$$S(a_{-n}) = a_{-(n-1)},$$

de donde deducimos

$$S_k(a_{-n}) = a_{-(n-k)} \hspace{1.0in} (k = 1, 2, ..., n).$$

Siendo finito el número de antecedentes distinto de $a$, tendremos

$$a_{-p} = a_{-p-q} \hspace{0.5in} (q\geq1),$$

de donde

$$S_{p+q-1}(a_{-p}) = S_{p+q-1}(a_{-p-q}).$$

Ahora bien, evidentemente

$$S_{p+q-1}(a_{-p}) = S_{q-1}[S_p(a_{-p})] = S_{q-1}(a) = a,$$

$$S_{p+q-1}(a_{-p-q}) = a_{-1}.$$

Por consiguiente,

$$a = a_{-1}.$$

Entonces todos los antecedentes inmediatos de $a$ son iguales a $a$. Si procuramos que, para una transformación homográfica previa, $a$ sea el punto en el infinito, la ecuación $S(z) = \infty$ teniendo solamente raíces infinitas, $S(z)$ es un polinomio.

Entonces somos llevados a tratar el problema siguiente:

Encontrar las funciones racionales $R(z)$ para la cual una de las iteradas $R_q(z)$ sea un polinomio.

Si $R(z)$ no es un polinomio, sea $\overline{\omega}$ un polo de $R(z)$ a distancia finita. En virtud de la identidad

$$R[R_{q-1}(z)] = S(z) = \mbox{ polinomio en }\hspace{0.2cm} z,$$

la ecuación

$$R_{q-1}(z) = \overline{\omega}$$

produce

$$S(z) = \infty \hspace{0.5in}{\mbox y}\hspace{0.5in} z = \infty.$$

De lo anterior se sigue que la fracción racional $\Large\frac{1}{R_{q-1}(z) - \overline{\omega}}$ no tiende a infinito más que para $z$ en el infinito, ésto es entonces un polinomio $P(z)$, y tenemos

$$R_{q-1}(z) = \overline{\omega} + \frac{1}{P(z)}.$$

Si R$(z)$ tuviera otro polo $\overline{\omega}'$ a una distancia finita, tendríamos

$$R_{q-1}(z) = \overline{\omega} + \frac{1}{P(z)} = \overline{\omega}' + \frac{1}{P'(z)}.$$

siendo $P'$ otro polinomio, esto es imposible, porque deduciríamos

$$\overline{\omega} - \overline{\omega}' = \frac{P(z) - P'(z)}{P(z)P'(z)}.$$

No siendo constantes $P$ y $P'$, el grado del numerador en el segundo miembro es inferior al grado del denominador; la igualdad puede tener lugar solo si ambos miembros son identicamente nulos; $\overline{\omega} = \overline{\omega}'$. $R(z)$ tiene entonces un polo único a distancia finita, y podemos escribirlo

$$R(z) = \frac{A}{(z - \overline{\omega})^h} + B,$$

siendo $A$ y $B$ dos polinomios en $z$ de los cuales el primero es de grado inferior a $h$. Vemos que $B$ es una constante, si no el infinito sería un punto doble de la sustitución $Z = R(z)$ y de todas sus iteradas, en particular de $Z = R_{q-1}(z)$, que es incompatible con la igualdad $R_{q-1}(z) = \overline{\omega} + \Large\frac{1}{P(z)}$ que da $R_{q-1}(\infty) = \overline{\omega}$.

Vamos a ver que $A$ también es una constante. Tenemos, en efecto,

$$R_{q-1}[R(z)] = S(z) = \mbox{ polinomio en }\hspace{0.2cm} z.$$

Invirtiendo la regla de las funciones $R$ y $R_{q-1}$ en el razonamiento hecho anteriormente , vemos que $R_{q-1}(z)$ tiene un polo único $\rho$ a distancia finita, y además

$$R(z) = \rho + \frac{1}{Q(z)},$$

siendo $Q(z)$ un polinomio. Igualando las dos expresiones obtenidas para $R(z)$, tenemos

$$\rho + \frac{1}{Q(z)} = \frac{A}{(z - \overline{\omega})^h} + B,$$

de donde, para $z = \infty$

$$\rho = B,$$

y como $A$ no es divisible por $(z-\overline{\omega})$ obtenemos enseguida

$$A = \mbox{const}.$$

Tenemos entonces

$$R(z) = \frac{A}{(z-\overline{\omega})^h} + \rho.$$

Pero también tenemos para $R_{q-1}(z)$, que admite el único polo $\rho$ a distancia finita, la expresión siguiente, donde $C$ y $D$ son polinomios:

$$R_{q-1}(z) = \frac{C}{(z - \rho)^k} + D,$$

siendo $C$ de grado inferior a $k$ y no divisible por $z- \rho$. Igualando las dos expresiones de $R_{q-1}(z)$, tenemos

$$\frac{C}{(z - \rho)^k} + D = \overline{\omega} + \frac{1}{P(z)}.$$

Haciendo $z = \infty$ vemos que $D$ es igual a la constante $\overline{\omega}$; de donde se deduce que $C$ es también una constante. Obtenemos^1.3 finalmente

$$R(z) = \frac{A}{(z-\overline{\omega})^h} + \rho,$$

$$R_{q-1}(z) = \frac{C}{(z-\rho)^k} + \overline{\omega},$$

siendo $A$ y $C$ dos constantes. La identidad

$$R_{q-1}[R(z)] = R[R_{q-1}(z)]$$

da entonces

$$\frac{A}{C^h}(z - \rho)^{kh} + \rho = \frac{C}{A^k}(z - \overline{\omega})^{kh} + \overline{\omega}.$$

Deducimos, igualando en los dos miembros los términos en $z^{kh}$ y $z^{kh - 1}$ (no hay lugar para detenerse en el caso trivial donde $k = h = 1$),

$$\frac{A}{C^h} = \frac{C}{A^k},$$

$$\overline{\omega} = \rho.$$

Obtenemos finalmente la expresión de $R(z)$:

$$R(z) = \frac{A}{(z - \overline{\omega})^h} + \overline{\omega}$$

ó

$$R(z) - \overline{\omega} = \frac{A}{(z-\overline{\omega})^h}.$$

Bajo esta forma, es evidente que las iteradas de orden par de $R(z)$ son polinomios, mientras que las iteradas de orden impar admiten el polo $z = \overline{\omega}$.

De lo anterior se sigue fácilmente que dada una substitución racional $Z = R(z)$, todo punto $a$ admite una infinidad de antecedentes, salvo en los casos siguientes: $1\circ$ Si la substitución se lleva a la forma polinomial, existe un punto: el punto en el infinito, que es igual a todos sus antecedentes; $2\circ$ Si la substitución se lleva a la forma $Z = Az^m$, existen dos puntos $0$ e $\infty$ gozando de ésta misma propiedad; $3\circ$ Si la substitución se lleva a la forma $Z = \Large\frac{A}{z^m}$, hay dos puntos $0$ e $\infty$ formando un ciclo de orden dos que constituyen el conjunto de antecedentes de cada uno de ellos.

Haremos intervenir frecuentemente, en los capítulos siguientes, los puntos críticos de las funciones inversas $R_{-n}(z)$. Vamos a mostrar que esos puntos son los consecuentes hasta el rango $n-1$ de los puntos críticos de la función $R_{-1}(z)$. En efecto, los puntos críticos $c$ de $R_{-1}(z)$ son los valores de $c$ para los cuales la ecuación $R(z) = c$ tiene dos raíces iguales. De igual forma los puntos críticos de $R_{-n}(z)$ son los números $c'$ para los cuales la ecuación

$$R_n(z) = R_{n-1}[R(z)] = c'$$

tiene dos raíces iguales. Esta última ecuación equivale al sistema

$$R_{n-1}(x) = c',$$

$$R(z) = x.$$ (1.1)

Que tendrá una raíz doble si alguna de éstas ecuaciones tiene una raíz doble; y si es la segunda, $x$ es igual a un punto crítico $c$ de $R_{-1}(z)$ y tenemos

$$c' = R_{n-1}(c).$$

Si la primera ecuación es la que tiene una raíz doble, $c'$ es un punto crítico de la función $R_{-(n-1)}(z)$. Así se deduce que si la proposición enunciada es verdadera cuando reemplazamos $n$ por $n-1$, aún es verdadera para $n$, pues los puntos críticos de $R_{-n}(z)$ son entonces los puntos: $c, R(c), ..., R_{n-2}(c), R_{n-1}(c)$. Ahora bien, para $n=1$, la proposición es una simple tautología; la cual es entonces general.

Tendremos que completar éstas notas sobre puntos críticos, pero debemos dar ciertas definiciones y propiedades simples referentes a los dominios invariantes para una substitución racional. Sea $D$ un dominio conexo y abierto, es decir un conjunto de puntos bien conectados y no teniendo más que puntos interiores; los puntos frontera de $D$ son los puntos que, no pertenecen a $D$, son límites de puntos de $D$; si $z$ describe $D$, $z_1 = R(z)$ describe $D_1$ que es también un dominio conexo y abierto (la demostración es inmediata); los puntos frontera de $D_1$ provienen de puntos frontera de $D$, lo recíproco no siempre es verdadero (a menos que se considere $D_1$ extendida sobre una superficie de Riemann a distintas capas^{1.4 1.5}). Si $D$ y $D_1$ coinciden, diremos que $D$ es invariante para la substitución $[ z \mid R(z)]$. Por consecuencia no tendremos que considerar más que dominios invariantes con frontera invariante, es decir tales que $R(\varepsilon)$ sea punto frontera de $D$ si también lo es de $\varepsilon$. En adelante asumiremos, para simplificar las discusiones, que se cumple esta condición.

Ahora vamos a definir la función inversa de $R(z)$ restringida a $D$; esto es, para cada punto $z$ en $D$, el conjunto de los valores de la función $R_{-1}(z)$ cuyos puntos representativos son ellos mismos interiores a $D$, los diversos valores de ésta función, que designamos por $R^{(D)}_{-1}(z)$, se permutan entre sí evolucionando a lo largo de líneas cerradas interiores a $D$: pues si $b$ y $b'$ son dos valores de esta función en el punto $a$, tenemos

$$R(b) = R(b') = a ;$$

$b$ y $b'$, siendo interiores a $D$, pueden estar unidas por una línea simple $L$ interior a $D$; $z$ describiendo a $L$, $z_1 = R(z)$ describiendo a $L_1$ igualmente interior a $D$ que se cierra en $a$: inversamente, $z$ describiendo el camino cerrado $L_1$ en $D$, la función $R^{D}_{-1}(z)$ que toma en $a$ el valor $b$ prolongado analíticamente a lo largo de la línea $L_1$, tomará el valor $b'$ en la extremidad de esta línea recorrida por completo. Recíprocamente si hablamos de $a$ con la determinación $b$ de $R_{-1}(z)$ (siendo $b$ interior a $D$), mientras $z$ describe caminos interiores a $D$, lo mismo sucede con el punto $z_{-1} = R_{-1}(z)$, si no $z_{-1}$ alcanzaría la frontera de $D$ y lo mismo sucedería con $z$, pues suponemos invariante la frontera.

Deducimos que la función $R^{(D)}_{-1}(z)$ posee $\gamma$ valores, con $\gamma$ independiente de $z$, y éstos valores de $\gamma$ siendo aquellos que se obtienen a partir de uno de los valores de la función en un punto de $D$ por prolongación analítica^1.6a lo largo de cualquier camino interior a $D$. Si ahora consideramos la función $R_n(z)$ que deja invariante el dominio $D$ y su frontera, la función inversa restringida a $D$ posee $\gamma^n$ valores: tenemos, por otra parte, la identidad

$$R^{(D)}_{-(n+n')}(z) = R^{(D)}_{ -n}[R^{(D)}_{-n'}(z)],$$

atribuyendo al segundo miembro de las funciones $R^{(D)}_{-n}$ y $R^{(D)}_{-n'}$ sus diversos valores en número $\gamma^n$ y $\gamma^{n'}$ respectivamente.

Los puntos críticos de la función $R^{(D)}_{-1}(z)$ son los puntos $c$ interiores a $D$ tales que la ecuación $R(z) = c$ tenga al menos dos raíces idénticas e interiores a $D$. La misma observación se hace para la función $R^{(D)}_{-n}(z)$. De ésto y del razonamiento hecho al inicio de éste parágrafo se puede deducir que los puntos críticos de la función $R^{(D)}_{-n}(z)$ son los consecuentes hasta el rango $n-1$ incluyendo los puntos críticos de la función $R^{(D)}_{-1}(z)$.

Ahora vamos a introducir una noción igualmente útil para los desarrollos de los capítulos siguientes, el de dominio completamente invariante; llamaremos también un dominio que no solamente es invariante por la substitución considerada, sino que aún contiene todos los antecedentes de cada uno de sus puntos. Un dominio completamente invariante tiene siempre una frontera invariante. Vamos a establecer que, si un dominio completamente invariante es simplemente conexo, siempre encierra al menos $d - 1$ puntos críticos de la función $R_{-1}(z)$. Dejando de lado los casos fáciles donde $D$ contiene todo el plano o bien posee un punto frontera único. Podemos suponer que $D$ no contienen el punto en el infinito: concluyendo que $R(z)$ no tiene polos interiores a $D$. Si $a$ es un punto interior a $D$ podemos trazar en $D$ un contorno cerrado simple $\epsilon$ (constituido si queremos por un arco regular y sin punto doble de curva analítica) comprendiendo a $a$ en su interior y cuyos puntos están tan próximos a la frontera de $D$ como queremos, para convencernos, podemos utilizar la representación conforme de $D$ sobre un círculo de radio $1$ tomando para $\epsilon$ la curva que corresponde en $D$ a una circunferencia de radio $1-\epsilon$ concéntrica al círculo representativo; o aún hacer un razonamiento directo viendo a $D$ como límite de dominios acotados por arcos de círculo. Sentado esto, decimos que si $\epsilon$ es suficientemente cercano a la frontera, todas las ramas de la función $R_{-1}(z)$ se permutan circularmente sobre $\epsilon$. En el caso general, las diversas ramas de una función algebraica, cuando el punto representativo de la variable describe un contorno cerrado, forman un cierto número de ciclos distintos y los valores que corresponden a un mismo ciclo se permutan circularmente entre sí cuando la variable regresa a su punto de partida. Sea un ciclo de orden $\gamma$ de los valores de $R_{-1}(z)$ sobre $\epsilon$ al cual le co-rres-pon-de una curva $\epsilon_1$ descrita por el punto representativo de $R_{-1}(z)$ y que se cierra cuando $z$ ha descrito $\gamma$ veces $\epsilon$ en el mismo sentido; resulta del caracter completamente invariante de la frontera y de la continuidad de funciones algebraicas que las curvas $\epsilon_{-1}$ tienden uniformemente a la frontera al mismo tiempo que $\epsilon$. Ahora consideremos las diversas raíces $a_{-1}$ de la ecuación $R(z) = a$; que son interiores a $D$ y que pueden estar unidas de dos en dos por las líneas $\lambda$ interiores a $D$ cuya distancia a la frontera es superior al número positivo $\epsilon$; como podemos suponer que todos los puntos del contorno cerrado $\epsilon_{-1}$ están a una distancia de la frontera menor que $\varepsilon$, $\epsilon_{-1}$ no encuentra las líneas $\lambda$; los puntos $a_{-1}$ son pues todos interiores ó todos exteriores a $\epsilon_{-1}$; o cuando $z$ describe una vez $\epsilon_{-1}$, $R(z)$ describe $\gamma$ veces seguidas en el mismo sentido el contorno cerrado $\epsilon$ que encierra a $a$ en su interior; entonces el argumento de $R(z) - a$ a variado de $2\gamma\pi$ y, puesto que $R(z) - a$ no tiene polos en $D$; concluimos que el número de ceros de esta función en el interior de $\epsilon_{-1}$ es igual a $\gamma$; como tenemos $\gamma \geq 1$, entonces hacemos que todos los puntos $a_{-1}$ sean interiores al contorno $\epsilon_{-1}$; pues $\gamma = d$ y todas las ramas de la función $R_{-1}(z)$ se permutan circularmente entre sí a lo largo de $\epsilon$.

Ahora suponemos que $R_{-1}(z)$ no tuviera más que los puntos críticos simples alrededor de los cuales se permutan solamente dos soluciones de esta función, que es el caso general. Llamemos $\Delta$ al dominio limitado por $\epsilon$ e interior a $D$, puesto que $D$ es simplemente conexo; a partir de cada uno de los puntos críticos de $R_{-1}(z)$ contenido en $\Delta$, tracemos un corte extendiendose hasta el contorno $\epsilon$; cuando cruzamos un corte, dos ramas $u_i$ y $u_k$ de la función son permutadas entre si; decimos que el corte tiene el caracter ($ik$). Sean $L_1, ..., L_p$ los diversos cortes escritos en el orden donde se suceden sus puntos de intersección con $\epsilon$ descrito en sentido directo. Sea $T = (i_1, k_1)(i_2, k_2)...(i_p, k_p)$ la tabla de caracteres de éstos cortes. Podemos cambiar el trazo de los cortes de tal manera que se reestablezca la tabla $T$ a la forma canónica

$$T = (1,2)^{\lambda_1}(2,3)^{\lambda_2}...(d-1, d)^{\lambda_{d-1}},$$

siendo los $\lambda_i$ enteros positivos o nulos. Esos enteros son impares, pues, si $\lambda_1$ fuese par, describiendo $\epsilon$ con la solución inicial $u_1$, encontraríamos a $u_1$ como solución final después de una vuelta completa y no habría permutación circular de $u_i$ sobre $\epsilon$. Siendo $\lambda_1$ impar, lo mismo sucede con $\lambda_2$ si no al describir $\epsilon$ con la solución inicial $u_1$ obtendríamos $u_2$ como determinación final y viceversa, de suerte que los dos valores $u_1$ y $u_2$ formarían un ciclo sólo para ellos sobre $\epsilon$. Siendo $\lambda_1$ y $\lambda_2$ impares, lo mismo sucede con $\lambda_3$, si no los tres valores $u_1$, $u_3$, $u_2$ se permutarían circularmente sobre $\epsilon$, y sin interrupción. Entonces existen al menos $d - 1$ cortes distintos y de carateres distintos, de los cuales al menos $d - 1$ puntos críticos pertenecen a $\Delta$ y a fortiori a $D$.

Si los puntos críticos de $R_{-1}(z)$ no son simples, la conclusión subsiste, un punto crítico al cual le corresponden diferentes ciclos de raíces de ordenes $\gamma, \gamma', \gamma'', ...$ respectivamente siendo vistos como la reunión de $(\gamma - 1)+(\gamma' - 1)+(\gamma'' - 1)+ \cdots -$ puntos críticos simples. Bastará, para convencerse, hacer variar infinitamente poco los coeficientes de $R(z)$, lo que hará variar infinitamente poco la posición de los puntos críticos sin modificar la propiedad que tienen las ramas de $R_{-1}(z)$ de ser todas permutadas entre sí sobre $\epsilon$.

$2(d-1)$ es el número total de puntos críticos de $R_{-1}(z)$, resulta de lo anterior que no pueden existir más de dos dominios simplemente conexos y completamente invariantes para substitución $[ z \mid R(z)]$, si dejamos de lado los dominios que no tienen más de un punto frontera. Ese resultado es fundamental más tarde. Ahora consideremos el caso donde el dominio $D$ es invariante para una cierta potencia de la substitución dada, de suerte que denotando como $D_1, D_2, ...$ a sus consecuentes sucesivos tendríamos $D = D_p, D_1 = D_{p+1}, ...$; el conjunto de dominios $D, D_1, ..., D_{p-1}$ forman entonces un ciclo de dominios invariantes; siempre suponemos que las fronteras de esos dominios tienen el mismo caracter de invarianza que los dominios mismos. Cuando $z$ es interior a uno de ellos, $D$ por ejemplo, existen ramas de $R_{-1}(z)$ cuyos puntos representativos son interiores a $D_{p-1}$; esas diversas ramas, cuyo número es independiente de la posición de $z$ en $D$, son aquellas que se deducen de una de ellas por prolongación analítica a lo largo de los caminos interiores a $D$; definimos también la función $R_{-1}(z)$ restringida a $D_{p-1}$ y pasamos fácilmente de ahí a la definición de la función $R_{-n}(z)$ restringida al dominio $D_{p-h}$, siendo $h$ el residuo de $n (mod p)$; los puntos críticos de ésta última función en $D$ son los consecuentes hasta el rango $n-1$ de los puntos críticos de las funciones restringidas $R_{-1}(z)$ correspondiendo a los diversos dominios $D_i$. Tomamos por ejemplo $n = 4, p = 3$. Los puntos críticos interiores a $D$ de la función restringida $R_{-4}(z)$ son los puntos $c, R_3(c), R(c'') {\mbox y} R_2(c')$ llamando $c, c', c''$ a los puntos críticos de las funciones restringidas $R_{-1}(z)$ cuando $z$ varía sucesivamente en los dominios $D, D_1, D_2$ que forman un ciclo de orden $3$. La nocion de dominio completamente invariante se extiende partiendo de si misma a un ciclo de dominios. Por lo anterior es claro que si un ciclo de dominios de orden $p$ es completamente invariante y formado por dominios simplemente conexos, $p$ no puede más que tener los valores $1$ ó $2$; pues los dominios simplemente conexos $D, D_1, ..., D_{p-1}$ son completamente invariantes para la subsitución $[ z \mid R_p(z)]$ luego entonces su número no puede sobrepasar a dos. Las nociones de dominio invariante o completamente invariante se extienden sin dificultad a conjuntos cualquiera. Veremos sin esfuerzo que un conjunto invariante que no comprende más que un número finito de puntos está formado por la unión de un número finito de ciclos. Un conjunto completamente invariante y que no comprende más que un número finito de puntos está formado de uno o de dos puntos excepcionales (n$^\circ 3$).